浙江省宁波市余姚中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题 含解析

余姚中学2024学年第一学期期中测试高一数学学科试卷命题：乐陶军审题：丁莉静一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用集合补集和交集的定义求解即可．【详解】，故选：C2.命题：的否定是()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由全称命题的否定直接改写即可.【详解】因为全称命题的否定为特称命题，所以命题：的否定是：.【点睛】本题主要考查含有一个量词的命题的否定，一般只需要改量词和结论即可，属于基础题型.3.函数的零点所在的区间为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先判断函数的单调性，再根据零点的存在性定理即可得解.【详解】因为函数在上都增函数，所以在上单调递增，因为，所以的零点所在的区间为.故选：C.4.若，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】取，，可得“”不能推出“”；由基本不等式可知由“”可以推出“”，进而可得结果.【详解】因为，，取，，则满足，但是，所以“”不能推出“”；反过来，因为，所以当时，有，即.综上可知，“”是“”的必要不充分条件.故选：B.5.函数的图像大致为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由函数为偶函数可排除AC，再由当时，，排除D，即可得解.【详解】设，则函数f(x)的定义域为，关于原点对称，又，所以函数f(x)为偶函数，排除AC；当时，，所以，排除D.故选：B.6.已知函数（且）在定义域内单调，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意可知每一段函数在其定义域上为增函数，再当时，可求得结果.【详解】因为函数（且）在定义域内单调，而在上只能单调递增，所以在定义域内单调递增，所以，解得，即的取值范围为.故选：B7.若关于的函数的定义域为，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据定义域为实数集，转化为且恒成立，结合二次不等式恒成立求解即可.【详解】由题意，，且对任意，，①且，②对于①，，结合，得.若，由②知对任意，矛盾；若，由②知对任意，即，则，得，综上，当时，对任意，①②同时成立.故选：C8.已知实数，且满足，则的最小值为（）A.6 B. C. D.5【答案】D【解析】【分析】由题意可得，结合函数单调性可得，即可得，即可得解.【详解】由可得，由，则，令，则在上单调递增，有，故，即，则，当且仅当时，等号成立，故的最小值为.

故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题5分，共15分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9.下列结论正确的是（）A.，都有B.已知为常数且，则，当时，恒有C.函数的单调递减区间是D.在上具有零点的必要不充分条件是【答案】BC【解析】【分析】由指数幂的运算即可判断A，由指对幂函数的特点即可判断B，由复合函数的单调性即可判断C，由函数零点的定义即可判断D.【详解】对于A，当为奇数时，，当为偶数时，，故A错误；对于B，当时，函数均为单调递增函数，且各类函数的增长速度为指数函数最快，对数函数最慢，所以，当时，恒有ax>ax>logax对于C，由解得或，又在单调递减，在单调递增，且是减函数，由复合函数的单调性可知，在单调递增，在单调递减，故C正确；对于D，取函数，则函数的零点为和，即在上存在零点，但是f−2⋅f2>0，故故选：BC10.下列不等式正确的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】由指数函数的单调性即可判断A，由的单调性即可判断B，由对数函数的单调性以及换底公式代入计算，即可判断C，由作商法代入计算，即可判断D.【详解】对于A，因为，且在上单调递增，则，故A正确；对于B，由在单调递减可得，故B错误；对于C，由在上单调递增，则，所以，即，故C正确；对于D，由可得，由可得，故D正确；故选：ACD11.一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍跟随区间”；若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”.下列结论正确的是（）A.若为的跟随区间，则B.函数存在跟随区间C.若函数存在跟随区间，则D.二次函数存在“3倍跟随区间”【答案】ACD【解析】【分析】A，由已知可得函数在区间上单调递增，进而可以求解的值；B，假设存在跟随区间，则根据跟随区间的条件求解，的值，结合函数图象进行判断；C，先设跟随区间为，则根据跟随区间满足的条件建立方程组，找出，的关系，然后统一变量表示出，列出关于的关系式，利用方程思想求解的取值范围，D，若存在3倍跟随区间，则设定义域为，值域为，由此建立方程组，再等价转化为一个方程有两个不相等实数根，进而可以求解．【详解】选项：由已知可得函数在区间,上单调递增，则有，解得或1（舍，所以，正确；选项：若存在跟随区间，又因函数在单调区间上递减，图象如图示，则区间一定是函数的单调区间，即或,则有，解得，此时异号，故函数不存在跟随区间，不正确；选项：由已知函数可得：函数在定义域上单调递减，若存在跟随区间，则有，即，两式作差得：，即，又，所以，得，所以，设，则，即在区间上有一个实数根，只需：，解得，正确；选项：若函数存在3倍跟随区间，设定义域为，值域为，当时，函数在定义域上单调递增，则，是方程的两个不相等的实数根，解得或，故存在定义域为使得值域为，正确，故选：ACD.【点睛】关键点点睛：根据新的定义求解参数或者是判断函数是否符合新定义，考查学生的理解新知识运用新知识的能力，解答时要能根据新定义，灵活求解，综合性较强.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.函数f(x)=的定义域为____________.【答案】.【解析】【分析】由题意得到关于的不等式组，解不等式组可得函数的定义域．【详解】由题意得，解得，所以函数的定义域为．【点睛】已知函数的解析式求函数的定义域时，可根据解析式的特征得到关于自变量的不等式（组），解不等式（组）后可得函数的定义域．13.求值：（1）________；（2）________．【答案】①.##0.5②.11【解析】【分析】（1）根据指数幂的运算法则逐项化简运算即可的答案；（2）根据对数运算法则、对数恒等式、指数运算化简即可得答案.【详解】（1）原式；（2）原式.14.若定义在上的函数同时满足：①为奇函数；②；③对任意的，且，都有，则称函数具有性质，已知函数具有性质，则不等式的解集为________．【答案】【解析】【分析】由对任意的，且，可得在0,+∞上递减.注意到2x+1⋅fx<0⇔2x+1fxx<0【详解】因对任意的，且，都有，则在0,+∞上单调递减，又因为奇函数及f1=0则为偶函数，且，在上单调递增.因x∈−∞,0当，2x+1fxx当，时，2x+1fxfxx=g当，时，2x+1fx，则；综上，不等式的解集为.故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.设命题：实数满足，其中，命题：实数满足．（1）若，且是真命题，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解一元二次不等式可得答案；（2）解一元二次不等式可得命题中的，根据充分不必要条件定义可得答案．【小问1详解】由命题实数满足，其中，当时，即命题，解得；【小问2详解】，命题实数满足，解得，命题实数满足，解得．因为是的充分不必要条件，则满足，解得，所以实数的取值范围为．16.据观测统计，某湿地公园某种珍稀鸟类的现有个数约只，并以平均每年的速度增加．(1)求两年后这种珍稀鸟类的大约个数；(2)写出（珍稀鸟类的个数）关于（经过的年数）的函数关系式；(3)约经过多少年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的倍或以上？（结果为整数）(参考数据：，)【答案】（1）1166个；（2），（3）15年【解析】【分析】(1)根据题意求出一年后的只数，再求出两年后的只数即可;(2)根据珍稀鸟类的现有个数约只，并以平均每年的速度增加，列出函数关系即可；(3)由题意得到不等式，化简得到，利用对数运算的性质，化简即可求解.【详解】解：(1)依题意，一年后这种鸟类的个数为两年后这种鸟类的个数为(2)由题意可知珍稀鸟类的现有个数约只，并以平均每年的速度增加则所求的函数关系式为，(3)令，得：两边取常用对数得：，即考虑到，故，故因为所以约经过15年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的倍或以上【点睛】本题主要考查了利用指数函数模型解决实际问题，考查学生利用数学知识分析和解决问题的能力，属于中档题.17.已知定义域为的函数是奇函数.（1）求a，b的值；（2）判断函数的单调性，并用定义证明；（3）当时，恒成立，求实数k的取值范围.【答案】（1），；（2）单调递减，见解析；（3）【解析】【分析】（1）根据得到，根据计算得到，得到答案.（2）化简得到，，计算，得到是减函数.（3）化简得到，参数分离，求函数的最小值得到答案.【详解】（1）因为在定义域R上是奇函数.所以，即，所以．又由，即，所以，检验知，当，时，原函数是奇函数.（2）在上单调递减.证明：由（1）知，任取，设，则，因为函数在上是增函数，且，所以，又，所以，即，所以函数在R上单调递减.（3）因为是奇函数，从而不等式等价于，因为在上是减函数，由上式推得，即对一切有恒成立，设，令，则有，，所以，所以，即的取值范围为.【点睛】本题考查了函数解析式，单调性，恒成立问题，将恒成立问题通过参数分离转化为最值问题是解题的关键.18.已知，函数．（1）当时，求使成立的的集合；（2）若在区间上的最大值为2，求实数的值；（3）求函数在区间上的最小值（用表示）．【答案】（1）（2）或（3）【解析】【分析】（1）分段求解不等式即可；（2）分在三种情况处取最大值即可；（3）讨论对称轴的位置即可.【小问1详解】当a=2时，当时，，解得；当时，，解得．综上，所求解集为【小问2详解】（ⅰ）当时，或3，，在区间的最大值，舍去；，在区间的最大值，舍去；（ⅱ）当时，或（舍）在区间的最大值，成立（ⅲ）时，此时在区间的最大值，成立或【小问3详解】①当时，在区间上，，其图像是开口向上的抛物线，对称轴是，，，②当时，在区间[1，2]上③当时，区间上，，其图像是开口向下的抛物线，对称轴是，1°当即时，．2°当即时，19.已知函数是偶函数．（1）求实数的值；（2）若函数的最小值为，求实数的值；（3）若关于的方程有两根，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）（3）或或【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性列方程，从而求得的值.（2）利用换元法化简的解析式，根据最小值列不等式来求得的值.（3）先判断的单调性，结合奇偶性、换元法以及判别式进行分类讨论，由此求得实数的取值范围.【小问1详解】由题意知的定义域为R，，整理得，而，∴；【小问2详解】，∴，依题意，函数的最小值为，令，，当且仅当时等号成立，故的最小值为﹣3，则，或，解得；【小问3详解】由，函数在区间上单调递增，当时，，所以在上单调递增，故当时，函数单调递增，由函数为偶函数，可知函数的增区间为，减区间为，令，有，方程①，可化为，整理为②