浙江省南太湖联盟2024-2025学年高一上学期第一次联考数学学科试题 含解析

2024学年第一学期“南太湖”联盟第一次联考高一数学学科试题卷命题学校：吴兴高中审核学校：金陵高中一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据集合的交集运算，可得答案.【详解】由题意可得.故选：B.2.已知命题，，则命题p的否定是（）A， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】根据特称命题的否定，可得答案.【详解】由题意可得命题的否定为，.故选：C.3.集合的真子集个数为（）A.63 B.64 C.32 D.31【答案】A【解析】【分析】解不等式，又，可得集合，共6个元素，所以集合的真子集有个.【详解】由，得，所以，又，所以，共6个元素，所以集合的真子集个数为.故选：.4.已知集合，，则中的元素个数为（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】A【解析】【分析】采用列举法，分别计算出的值，结合集合的互异性，可得集合，从而知集合中的元素个数.【详解】当，分别为时，可得分别为；当，分别时，可得分别为；当，分别为时，可得分别为.根据集合的互异性，可知，共有5个元素.故选：.5.设a,b,c分别是的三条边，则“为直角三角形”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据勾股定理与反例，，结合必要不充分的概念，可得答案.【详解】当时，易知是直角三角形，但，所以充分性不满足；根据勾股定理，由，则是直角三角形，所以必要性可证.故选：B.6.下列不等式成立的是（）A.若，则 B.若，则C.若，，则 D.若，则【答案】D【解析】【分析】特殊值验证A，B；由不等式性质验证C，D.【详解】对于A，若，则，此时不成立，故A错误；对于B，若，则，此时不成立，故B错误；对于C，因为，所以，又因为，所以，故，故C错误；对于D，因为，，所以，因为，，所以，所以，故D正确.故选：D7.已知正实数，满足，则下列说法错误的是（）A.有最大值 B.有最小值C.有最大值 D.有最小值【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式判断A，B，C；利用二次函数判断D.【详解】对于A，因为正实数，满足，所以，当且仅当时取到最大值，故A正确；对于B，因，为正实数，所以，当且仅当即时，取到最小时，故B正确；对于C，因为，所以，故，所以，当且仅当，即时等号成立，由于，所以取不到等号，故C错误；对于D，因为，所以，故，所以，所以当时取到最小值.故正确故选：C8.已知集合，，若集合中恰好只有两个整数，则实数a的取值范围是（）A.或 B.或C.或 D.或【答案】A【解析】【分析】首先解一元二次不等式求出集合、，再分中的两个整数是、和中的两个整数是、两种情况讨论，分别得到不等式组，计算可得.【详解】由，即，解得，所以；由，即，解得，所以，若集合中的两个整数是、，则，解得；若集合中的两个整数是、，则，解得；综上可得实数a的取值范围是或.故选：A二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是（）A.有些菱形是正方形 B.若x>2，则C， D.，【答案】ACD【解析】【分析】根据特称命题的定义，逐项进行检验，可得答案.【详解】对于A，命题等价于存在一个菱形是正方形，显然正方形都满足该条件，故A正确；对于B，等价于，则，这不是存在量词命题，故B错误；对于C，对x=1有，故C正确；对于D，对x=0有，故D正确.故选：ACD.10.命题“，”为假命题的充分不必要条件可以是（）A. B. C. D.【答案】CD【解析】【分析】由题意可得为真命题，由判别式得出再根据充分不必要条件的定义得出选项.【详解】由题意，命题的否定为为真命题，，解得，所以的充分不必要条件可以是或.故选：CD.11.下列说法正确的是（）A.不等式的解集是B.若，则的最小值为C.若，，则D.已知正数，满足，则的最小值为2【答案】ABD【解析】【分析】解分式不等式判断A，利用基本不等式判断B、D，利用不等式的性质判断C.【详解】对于A：不等式，即，解得，即不等式的解集是，故A正确；对于B：因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故B正确；对于C：令，所以，解得，所以，因为，，所以，，所以，即，故C错误；对于D：因为正数，满足，所以，即，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故D正确.故选：ABD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.12.已知集合，且，则的值为________.【答案】3或2【解析】【分析】根据给定条件，利用元素与集合的关系，结合集合元素的性质求解即得.【详解】由，且，得或，解得或，当时，，符合题意；当时，，符合题意；当时，，不符合元素的互异性，舍；所以的值为3或2.故答案为：3或213.已知集合或，，若，则实数m的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】解出集合，由得到实数m的取值范围.【详解】解得，即，∵，∴故答案为：14.已知正实数，满足，若不等式有解，则实数的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】利用“1”的代换及基本不等式求出的最小值，即可求出参数的取值范围.【详解】因为正实数，满足，所以，当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为，因为不等式有解，所以，即实数的取值范围为.故答案为：四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设全集，，，.求：，，.【答案】，，【解析】【分析】根据交集、并集、补集的定义计算可得.【详解】因为，，，，所以，，，，16.设命题p：实数满足，命题q：实数满足.（1）若，且命题p和q都是真命题，求实数x的取值范围；（2）若命题p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分别解出命题p和q对应的集合，再求交集即可；（2）分别解出命题p和q对应的集合，由必要不充分条件得到两个集合间的包含关系，列出不等式求得实数a的取值范围.小问1详解】当时，解得，即命题p：，解得，即命题q：，当命题p和q都是真命题时，，∴【小问2详解】由（1）知：命题q：，解得，即命题p：，由题意可知，即，∴∴17.已知集合，.（1）若，求及；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）首先表示出集合，再根据集合的运算法则计算可得；（2）分和两种情况讨论，分别求出参数的取值范围.【小问1详解】当时，，又，所以，，所以；【小问2详解】因为，当，即时，满足；当时，要使，则或，解得或；综上可得实数的取值范围为.18.在国家大力推广新能源汽车的背景下，各大车企纷纷加大对新能源汽车的研发投入，某车企研发部有100名研发人员，原年人均投入40万元，现准备将这100名研发人员分成两部分：燃油车研发部和新能源车研发部，其中燃油车研发部有x名研究人员，调整后新能源车研发部的年人均投入比原来增加，而燃油车研发部的年人均投入调整为万元.（1）若要使新能源车研发部的年总投入不低于调整前原100名研发人员的年总投入，求调整后新能源车研发人员最少为多少人？（2）若要使新能源车研发部的年总投入始终不低于燃油车研发部的年总投入，求正整数m的最大值.【答案】（1）34（2）6【解析】【分析】（1）列出新能源车研发部的年总投表达式，建立不等式，求得的最大值，即可得到调整后新能源车研发人员最少人数；（2）列出燃油车研发部的年总投入，令恒大于0，求出m的取值范围，从而找到最大值.【小问1详解】令新能源车研发部的年总投入，则，令，则，∵，∴，故调整后新能源车研发人员最少为34人【小问2详解】令燃油车研发部的年总投入则，即在恒成立.令，即在上恒成立，，是开口向上的二次函数，∵①对称轴时，即，时在上恒成立；②当对称轴时，即，，解得综上所述：∴的最大值为：6.19.已知关于x的不等式的解集为.（1）求实数的值；（2）求关于的不等式的解集；（3）若对任意的实数，恒成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）（2）答案见解析（3）【解析】【分析】（1）由的两根为-1和2，代入方程即可求解；（2）结合（1）通过和，两类情况讨论即可；（3）通过参变分类求最值即可求解.【小问1详解】由题意可得：的两根为-1和2，所以，解得：.【小问2详解】由（1）知：可化为：，即：