2024-2025学年天津市南开中学高三（上）统练数学试卷（6）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年天津市南开中学高三（上）统练数学试卷（6）一、单选题：本题共9小题，每小题3分，共27分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合M={−2,−1,0,1,2,3}，N={x|2x−1>0}，则M∩N=(

)A.{2,3} B.{1,2,3}

C.{0,1,2,3} D.{−2,−1,0,1,2,3}2.记Sn为数列{an}的前n项和．“任意正整数n，均有an>0A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能是(

)A.f(x)=(x−1x)cosx

B.f(x)=(x+1x)sinx4.设a=(35)0.5，b=(53A.c<a<b B.a<b<c C.c<b<a D.a<c<b5.下列说法错误的是(

)A.线性相关系数|r|越接近1，两个变量的线性相关程度越强

B.独立性检验可以100%确定两个变量之间是否具有某种关系

C.在回归分析中，可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高

D.甲、乙两个模型的决定系数R2分别约为0.88和0.806.设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且an+1an<1，若A.63或126 B.252 C.120 D.637.已知数列{an}满足：a1=1，a2=2A.22 B.3 C.4 8.将函数g(x)=cos(ωx+π12)(ω∈N到函数f(x)的图象，若f(x)在(0,π2)上只有一个极大值点，则ωA.2 B.3 C.4 D.59.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(1+x)=f(−x)，且当x∈[0,12]时，f′(x)>π，则不等式f(x)≤sinπx在[−3A.[−1,0]∪[1,32] B.[−12, 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。10.复数z=2+i1−2i的共轭复数z−=11.若(x−ax)n的展开式的二项式系数和为32，且x12.在1和15之间插入m个数，使得这m+2个数成等差数列.若这m个数中第1个为a，第m个为b，则1a+2513.甲、乙两个箱子中各装有8个球，其中甲箱中有4个红球，4个白球，乙箱中有6个红球，2个白球.A同学从乙箱子中随机摸出3个球，则3个球颜色不全相同的概率是______；B同学掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，则从甲箱子中随机摸出1个球，如果点数为3，4，5，6，则从乙箱子中随机摸出1个球，那么B同学摸到红球的概率为______．14.已知△ABC内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，2b(2bcosA−acosC)=b2+c2−15.已知函数f(x)=ax2+6x−3(a∈R)，若关于x的方程f(x)+|ax+3|+1=0有2个不相等的实数根，则实数a三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题12分)

△ABC的内角A，B，C，的对边分别为a，b，c，已知2b+c=2acosC且a=10．

(1)求角A的大小；

(2)若△ABC的周长为23+10，求△ABC的面积；

17.(本小题12分)

如图，四棱台ABCD−A1B1C1D1中，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，AB=2A1B1=4，E，F分别为DC，BC的中点，上下底面中心的连线O1O垂直于上下底面，且O1O与侧棱所在直线所成的角为45°．

(1)求证：B1D//平面C1EF；

(2)求点18.(本小题12分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1 (a>b>0)，四点P1(1,1)，P2(0,1)，P3(−1,32)，P4(1,32)中恰有三点在椭圆C上．

(1)求C的方程；19.(本小题12分)

设{an}是等差数列，其前n项和Sn，{bn}是等比数列，且a1=b1=3，a4=b2，S3=15．

(1)求{an}与{b20.(本小题12分)

已知函数f(x)=ex−ax(e是自然对数的底数)．

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)若g(x)=ex(x−1)−alnx+f(x)有两个零点分别为x1，x2．

(i)求实数a的取值范围；参考答案1.B

2.A

3.D

4.A

5.B

6.C

7.C

8.B

9.A

10.−i

11.−2

12.9413.914

214.(215.(−916.解：(1)因为2b+c=2acosC，所以2b+c=2a⋅a2+b2−c22ab，

整理可得：b2+c2−a2=−bc，由余弦定理可得：b2+c2−a2=2bccosA，

所以cosA=−12，A∈(0,π)，所以可得A=2π3；

(2)由三角形的周长为23+10，a=10，所以b+c=23，

由(1)可得a2=b2+c2−2bccosA=(b+c)2−2bc−2bccosA，

17.解：(1)由题设，得四棱台为正四棱台，可建立如图所示空间直角坐标系，

由题意B1D1=22，BD=42，

过点D1作D1M垂直BD，

所以DM=2，

因为OO1与侧棱所在直线成角45°，

所以D1M=DM=BD−B1D12=2，

所以DM⋅sin45°=2×22=1，DM⋅cos45°=2×22=1，

故D1(1,1,2)，C1(1,3,2)，

A1(3,1,2),B(4,4,0),E(0,2,0),F(2,4,0)，

所以EF=(2,2,0),EC1=(1,1,2),D1B=(3,3,−2)，

若平面C1EF的一个法向量为n=(x,y,z)，

则n⊥EFn⊥EC1，则n⋅EF=2x+2y=0n⋅EC1=x+y+2z=0，

18.解：(1)由椭圆的对称性可得：所给的四点中P2(0,1)，P3(−1,32)，P4(1,32)在椭圆上，

可得b=1，将P3的坐标代入椭圆的方程可得1a2+34=1，可得a2=4，

所以椭圆的方程为：x24+y2=1；

(2)证明：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+t，t≠1，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，

联立y=kx+tx2+4y2=4，整理可得：(1+4k2)x2+8ktx+4t2−4=0，

Δ=64k2m2−4(1+4k2)(4t2−4)>0，可得t2<1+4k19.解：(1)设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q，

由题意知3+3d=3q3+d=5，

解之得q=3d=2，an=2n+1，bn=3n．

(2)当n为奇数时，cn=(2n+1)3n，

设An=c1+c3+…+c2n−1=32+7×33+11×35+…+(4n−1)×32n−1，

9An=3×33+7×35+11×37+…(4n−5)×32n−1+(4n−1)×32n+120.解：(1)f′(x)=ex−a，

当a≤0时，f′(x)>0，f(x)在R上单调递增；

当a>0时，x>lna时，f′(x)>0，f(x)单调递增，

x<lna时，f′(x)<0，f(x)单调递增．

综上，当a≤0时，f(x)在R上单调递增；

当a>0时，f(x)在(−∞,lna)上单调递减，在(lna,+∞)上单调递增．

(2)①g(x)=ex(x−1)−alnx+f(x)=xex−a(lnx+x)=xex−aln(xex)(x>0)有两个零点，

令t=xex，则t′=(x+1)ex>0，在x>0时恒成立，所以t=xex在x>0时单调递增，

所以g(x)=xex−aln(xex)有两个零点，等价于g(t)=t−alnt有两个零点．

因为g′(t)=1−at=t−at，所以当a≤0时，g′(t)>0，g(t)单调递增，不可能有两个零点；

当a>0时，令g′(t)>0，得t>a，g(t)单调递增，

令g′(t)<0，得0<t<a，g(t)单调递减，所以g(t)min=g(a)=a−alna，

若g(a)=0，得a=e，此时g(t)有一个零点；

若g(a)>0，得0<a<e，此时g(t)>0恒成立，没有零点；

若g(a)<0，得a>e，因为g(1)=1>0，g(e)=e−a<0，

记m(x)=ex−x2，x>e，则m′(x)=ex−2x，

记