2024-2025学年山东省济宁市嘉祥一中高三（上）第三次月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年山东省济宁市嘉祥一中高三（上）第三次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合U=R，A={x|x=2n,n∈N}，B={x|x(x−2)>0}，则A∩(∁UB)=A.{0} B.{2} C.{0,2} D.{0,1,2}2.已知数列{an}，则“an−2+aA.充分不必烈条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知向量a,b,c满足|a|=|b|,a与b的夹角为A.π6 B.π3 C.2π34.已知数列{an}的前n项和为Sn，若an+aA.48 B.50 C.52 D.545.已知sin(π3−α)=−2sin(α+πA.−34 B.34 C.−6.已知正四棱台的顶点都在同一球面上，其上、下底面边长分别为2,22，高为3A.40π B.20π C.16π D.207.已知函数f(x)=cosx+12cos2x+1A.π是f(x)的一个周期 B.x=π是f(x)图象的一条对称轴

C.(π2,0)是f(x)图象的一个对称中心 D.f(x)8.已知函数f(x)=ln(|xx−1|)+x−1A.−20232 B.−2023 C.−1012 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设i为虚数单位，下列关于复数的命题正确的有(

)A.|z1z2|=|z1|⋅|z2| B.若z1，z10.已知函数f(x)及其导函数f′(x)，若存在x0使得f(x0)=f′(x0)，则称x0A.f(x)=x2 B.f(x)=e−x C.11.如图，已知二面角α−l−β的棱l上有A，B两点，C∈a，AC⊥l，D∈βBD⊥l，若AC=AB=BD=2,CD=22，则下列结论正确的有(

)A.直线AB与CD所成角的大小为45°

B.二面角α−l−β的大小为60°

C.三棱锥A−BCD的体积为23

D.直线CD与平面β三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知(2x−1)10=a0+13.已知函数f(x)=sin2x+sin(2x−π3)在区间(0,m)上有且仅有214.函数f(x)=(1x+3)(1−2x)(2x2+ax+b)，对任意的x≠0时，都有f(x)−f(1x)=0，则a+2b=四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

数列{an}中，a1=2，记Tn=a1a2a3⋯an，{Tn}是公差为16.(本小题15分)

某学校对高三(1)班50名学生的第一次模拟考试的数学成绩和化学成绩统计得到数据如下：数学成绩的方差为s12=10，化学成绩的方差为s22=8，i=150xi2=500500，其中xi，yi(i∈N，且1≤i≤50)分别表示这50名学生的数学成绩和化学成绩，y关于x的线性回归方程为y=0.4x+t．

(1)求y与x的样本相关系数r；

(2)从概率统计规律来看，本次考试高三(1)班学生数学成绩η服从正态分布N(μ,σ2)，用样本平均数x−

作为μ的估计值，用样本方差s12作为σ2的估计值，试估计该校共1600名高三学生中，数学成绩位于区间(96.84,106.32)的人数.附：①17.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=12AD=1，CD=3．

(1)求证：平面MQB⊥平面PAD；

(2)若二面角M−BQ−C的大小为60°，求18.(本小题17分)

设f(x)=ax2+cosx−1，a∈R．

(1)当a=1π时，求函数f(x)的最小值；

(2)当a≥12时.证明：f(x)≥0；19.(本小题17分)

若函数f(x)的定义域为R，且存在非零常数T，使得对任意x∈R，都有f(x−T)+f(x+T)=Tf(x)，则称f(x)是类周期为T的“类周期函数”．

(1)若函数f(x)是类周期为1的“类周期函数”，证明：f(x)是周期函数；

(2)已知f(x)=2x−sinωx(ω>0)是“类周期函数”，求ω的值及f(x)的类周期；

(3)若奇函数f(x)是类周期为T(T>0)的“类周期函数”，且f(3T)f(T)=1，求T的值，并给出符合条件的一个f(x)．参考答案1.C

2.B

3.D

4.C

5.C

6.B

7.B

8.A

9.ABD

10.AC

11.ABD

12.21

13.(7π12,14.−1

−36

15.解：(1)当n=1时，T1=a1=2，

所以Tn=T1+(n−1)×1=n+1，

所以a1a2a3⋯an=n+1，

当n≥2时，a1a2a3⋯an−1=n，

所以an=n+1n(n≥2)，

又a1=2符合an16.解：(1)因为y关于x的线性回归方程为y=0.4x+t，

所以b=i=150(xi−x−)(yi−y−)i=150(xi−x−)2=0.4，

即i=150(xi−x−)(yi−17.(1)证明：∵AD/​/BC，BC=12AD，Q为AD的中点，∠ADC=90°，

∴四边形BCDQ为矩形，

∴CD//BQ，QB⊥AD，

又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴BQ⊥平面PAD，

∵BQ⊂平面MQB，

∴平面MQB⊥平面PAD；

(2)解：∵PA=PD，Q为AD的中点，

∴PQ⊥AD，

∵平面PAD⊥平面ABCD，

平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴PQ⊥平面ABCD，

如图，以Q为原点建立空间直角坐标系，

则Q(0,0,0)，A(1,0,0)，

P(0,0,3)，B(0,3,0)，C(−1,3,0)，

设PM=λPC，且0≤λ≤1，

则由

PM=λPC=λ(−1,3,−3)，且0≤λ≤1，

得M(−λ,3λ,3−3λ)

所以QM=(−λ,3λ,3(1−λ))，

又QB=(0,3,0)，

设平面MBQ法向量为m=x,y,z，18.解：(1)由f(x)=ax2+cosx−1，a∈R可知，f(x)的定义域为R，

且f(−x)=a(−x)2+cos(−x)−1=ax2+cosx−1=f(x)，

所以f(x)为偶函数，下取x≥0，

当a=1π时，f(x)=1πx2+cosx−1，则f′(x)=2πx−sinx，

当x>π2时，则f′(x)=2πx−sinx>1−sinx≥0，此时f(x)在(π2,+∞)内单调递增，

当0≤x≤π2时，令g(x)=f′(x)，则g′(x)=2π−cosx，显然g′(x)在[0,π2]内单调递增，

因为0<2π<1，所以∃x0∈(0,π2)，使得cosx0=2π，

当x∈[0,x0)时，g′(x)<0；当x∈(x0,π2]时，g′(x)>0；

所以g(x)在[0,x0)上单调递减，在(x0,π2]上单调递增，且g(0)=g(π2)=0，

则f′(x)=g(x)≤0在[0,π2]内恒成立，所以f(x)在[0,π2]内单调递减；

综上，f(x)在[0,π2]内单调递减，在(π2,+∞)内单调递增，

所以f(x)在[0,+∞)内的最小值为f(π2)=π4−1，

又因为f(x)为偶函数，所以f(x)在R内的最小值为π4−1．

(2)证明：由(1)可知，f(x)为定义在R上的偶函数，下取x≥0，

由f′(x)=2ax−sinx，令φ(x)=f′(x)=2ax−sinx，19.解：(1)证明：因为f(x)是类周期为1的“类周期函数”，

所以f(x−1)+f(x+1)=f(x)，①

用x+1代换x得f(x)+f(x+2)=f(x+1)，②

①+②得f(x+2)=−f(x−1)，所以f(x+3)=−f(x)，

所以f(x+6)=−f(x+3)=f(x)，所以f(x)是周期为6的周期函数．

(2)因为f(x)是“类周期函数”，

所以存在非零常数T，使得对任意x∈R，都有f(x−T)+f(x+T)=Tf(x)，

即2(x−T)−sin(ωx−ωT)+2(x+T)−sin(ωx+ωT)=2Tx−Tsinωx，

整理得4x−2sinωxcosωT=2Tx−Tsinωx，

所以4=2T,2cosωT=T，所以T=2，cos2ω=1，

所以ω=kπ(k∈N∗)，f(x)的类周期为2．

(3)因