2024-2025学年山东省济宁市嘉祥一中高三（上）第六次月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年山东省济宁市嘉祥一中高三（上）第六次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={−1,2,3,4}，B={x∈Z|y=ln(9−x2)}A.{1,2,3} B.{−1,2} C.{2,3} D.{0,1,2,3,4}2.已知随机变量X～B(n,p)，若D(2X)=2E(X)，则p=(

)A.116 B.18 C.143.已知复数z满足(1−i)z=2i，且z+ai(a∈R)为实数，则a=(

)A.1 B.2 C.−1 D.−24.已知函数f(x)=−2(12)|x|+a，其图象无限接近直线y=1但又不与该直线相交，则A.(−∞,−2)∪(2,+∞) B.(−2,2)

C.(−∞,−1)∪(1,+∞) D.(−1,1)5.函数y=f(x)的图象如图①所示，则如图②所示的函数图象所对应的函数解析式可能为(

)A.y=f(1−12x) B.y=−f(1−12x) 6.近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口，Peukert于1898年提出蓄电池的容量C(单位：Aℎ)，放电时间t(单位：ℎ)与放电电流I(单位：A)之间关系的经验公式：C=In⋅t，其中n为Peukert常数.为测算某蓄电池的Peukert常数n，在电池容量不变的条件下，当放电电流I=30A时，放电时间t=15ℎ；当放电电流I=40A时，放电时间t=8ℎ.若计算时取lg2≈0.3，lg3≈0.477，则该蓄电池的Peukert常数nA.1.25 B.1.75 C.2.25 D.2.557.若α为锐角，且sin2αsinα+cosα−1=A.45 B.35 C.7258.记Sn为数列{an}的前n项和，且a1=0，A.−26 B.−31 C.−36 D.−40二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=2cos(2x+A.f(x)的一个对称中心为(38π,0)

B.f(x)的图象向右平移3π8个单位长度后得到的是奇函数的图象

C.f(x)在区间[5π8,7π8]上单调递增

D.10.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为BC的中点，若一点P在底面ABCD内(包括边界A.D1E与平面CC1D1D的夹角的正弦值为13

B.A1点到D1E的距离为423

C.线段B1P的长度的最大值为22A.点(1,1)在曲线G上

B.直线l：y=−x与曲线G无交点

C.设直线l：y=kx+2，当k∈(−1,0)时，直线l与曲线G恰有三个公共点

D.直线l：x+y=2与曲线G所围成的图形的面积为π−2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若某等腰直角三角形的两个顶点恰为椭圆C的两个焦点，另一个顶点在C上，则C的离心率为______．13.某传媒公司针对“社交电商用户是否存在性别差异”进行调查，共调查了40n(n∈N∗)个人，得到如列联表.已知x0.05=3.841，若根据α=0.05的独立性检验认为“社交电商用户存在性别差异”，则n的最小值为______.参考公式：χ是社交电商用户不是社交电商用户合计男性8n12n20n女性12n8n20n合计20n20n40n14.已知关于x的方程2sinx+cosx=1在[0,2π)内有2个不同的解α，β，则cos(α−β)=______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

记△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知3sinA−cosA=1．

(1)求A；

(2)记△ABC的外接圆半径为R，内切圆半径为r，若a=3，求r16.(本小题15分)

已知函数f(x)=(x2+a)x+1(a<0)．

(1)试确定函数f(x)的极大值与1的大小关系，并说明理由；

(2)若函数f(x)有3个零点，求实数a17.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，△PDC为钝角三角形且DP=DC，∠DAB=∠ABC=2∠ADB=2∠DCB=90°，E是PA的中点．

(1)证明：BD⊥PD；

(2)若直线PD与底面ABCD所成的角为60°，求平面BDE与平面CDE夹角的正弦值．18.(本小题17分)

已知A(−1,0)，B(1,0)，平面上有动点P，且直线AP的斜率与直线BP的斜率之积为1．

(1)求动点P的轨迹C的方程．

(2)过点A的直线与C交于点M(M在第一象限)，过点B的直线与C交于点N(N在第三象限)，记直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，且k1=4k2．

①求证：直线MN过定点；

②试判断19.(本小题17分)

已知n为正整数，数列X：x1，x2，⋯，xn，记S(X)=x1+x2+⋯+xn，对于数列X，总有xk∈{0,1}，k=1，2，⋯，n，则称数列X为n项0−1数列．

若数列A：a1，a2，⋯，an，B：b1，b2，⋯，bn，均为n项0−1数列，定义数列A∗B：m1，m2，⋯，mn，其中mk=1−|ak−bk|，k=1，2，⋯，n．

(Ⅰ)已知数列A：1，0，1，B：0，1，1，直接写出S(A∗A)和S(A∗B)的值；

(Ⅱ)若数列A，参考答案1.B

2.D

3.C

4.A

5.A

6.C

7.B

8.B

9.BD

10.ABD

11.BCD

12.22或13.3

14.−315.解：(1)因为3sinA−cosA=1，即sin(A−π6)=12，

因为A∈(0,π)，

可得A−π6=π6，可得A=π3；

(2)由正弦定理可得asinA=332=23=2R，

可得R=3，

由余弦定理可得：a2=b2+c2−2bccosA=b2+c2−bc，而a=3，

即b2+c2−bc=9，即(b+c)2=3bc+9，

16.解：(1)f(x)的极大值大于1，理由如下：

根据题设导函数f′(x)=3x2+a，令导函数f′(x)=0，解得x=±−a3，

当−−a3<x<−a3时，导函数f′(x)<0，函数f(x)单调递减，

当x<−−a3或x>−a3时，导函数f′(x)>0，函数f(x)单调递增，

因此x=−−a3时函数f(x)取得极大值，根据单调性知f(−−a3)>f(0)=1，

因此f(x)的极大值大于1．

(2)根据第一问知，当x=−−a3时，函数17.解：证明：(1)由∠DAB=∠ABC=2∠ADB=2∠DCB=90°，得AD=AB，AD//BC，

则∠DBC=∠DCB=45°，

所以BD=CD，∠BDC=90°，即BD⊥CD，

因为平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，BD⊂平面ABCD，

所以BD⊥平面PCD，

又PD⊂平面PCD，

所以BD⊥PD．

(2)如图，过点P作CD的垂线，交CD的延长线于点H，连接AH，

因为平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，PH⊂平面PCD，PH⊥CD，

所以PH⊥平面ABCD，

则DH为PD在底面ABCD内的射影，

所以∠PDH为直线PD与底面ABCD所成的角，即∠PDH=60°，

设AD=1，得BD=DC=DP=2,BC=2，

△PHD中．DH=22,PH=62，

在△ADH中，∠ADH=45°，

由余弦定理得AH=AD2+DH2−2AD⋅DHcos45°=22，

所以AH2+DH2=AD2，所以AH⊥CD，

如图，过点D作DF//PH，则DF⊥底面ABCD，

以DB，DC，DF所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则B(2,0,0),C(0,2,0),P(0,−22,62),A(22,−22,0),E(24,−22,18.解：(1)设P(x,y)，又A(−1,0)，B(1,0)，

且直线AP的斜率与直线BP的斜率之积为1，

所以kAP⋅kBP=yx+1⋅yx−1=y2x2−1=1，

整理得x2−y2=1，

所以动点P的轨迹方程为x2−y2=1(x≠±1)；

(2)①证明：因为kAM⋅kBM=1，且kAM=4kBN，

所以kBN⋅kBM=14，

显然直线MN的斜率不为0，

所以设直线MN的方程为x=my+t(t≠±1)，M(x1,y1)，N(x2,y2)，

联立x=my+tx2−y2=1，得(m2−1)19.解：(I)S(A∗A)=3，S(A∗B)=1；

(II)证明：对于两个0−1数列A：a1，a2，⋯，an，B：b1，b2，⋯，bn，

记数列A∗B：c1，c2，⋯，cn，则对于ck(1,2,3,⋯,n)，

若ak=1，则此时|ak−bk|=1−bk，ck=1−|ak−bk|=bk，

若ak=0，则此时|ak−bk|=bk，ck=1−|ak−bk|=1−bk，

故对于数列(A∗B)