重庆市南开中学高2024-2025学年高三上学期12月初数学测试卷（含答案）

1PAGE第11页重庆南开中学高2025级高三（上）数学测试（12.1）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.已知等差数列的前n项和为，若，则（）A.7 B.14 C.21 D.422.已知复数，则（）A.2 B. C.1 D.03.已知直线和，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知圆：，直线：，则当的值发生变化时，直线被圆所截的弦长的最小值为，则的取值为（）A. B. C. D.5.已知椭圆左、右焦点分别为，，其右顶点为A，若椭圆上一点P，使得，，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.6.已知双曲线的左、右焦点分别为、，过坐标原点的直线与双曲线C交于A、B两点，若，则（）A. B. C. D.47.已知抛物线C：的焦点为，直线与C交于A，B两点，则（）A.18 B.16 C.6 D.48.设无穷等差数列的公差为，集合.则（）A.不可能有无数个元素B.当且仅当时，只有1个元素C.当只有2个元素时，这2个元素的乘积有可能为D.当时，最多有个元素，且这个元素的和为0二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．9.在数列和中，，，，下列说法正确的有（）A. B.C.36是与的公共项 D.10.已知椭圆，不经过原点、斜率为的直线与椭圆相交于A，B两点，为线段的中点.下列结论正确的是（）A.直线与垂直B.若点M坐标为，则直线方程为C.若直线方程，则点M坐标为D.若直线方程为，则11.已知直线l经过点，曲线，下列说法正确的（）A.当直线l与曲线有2个公共点时，直线l斜率的取值范围为B.当直线l与曲线有奇数个公共点时，直线l斜率的取值共有4个C.当直线l与曲线有4个公共点时，直线l斜率的取值范围为D.存在定点Q，使得过Q的任意直线与曲线的公共点的个数都不可能为2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若点A在第一象限，且，则直线AB的倾斜角为___________.13.已知圆，直线，直线l被圆C截得的最短弦长为________．14.椭圆C：的左右焦点分别为、，点M为其上的动点.当为钝角时，点M的横坐标的取值范围是________四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知圆C的半径为1，圆心既在直线上又在直线上.（1）求圆C的标准方程（2）过点作圆C的切线，求切线方程．16.已知双曲线与椭圆有相同的焦点.求双曲线的方程；以为中点作双曲线的一条弦，求弦所在直线的方程.17.某研发团队实现了从单点光谱仪到超光谱成像芯片的跨越.为制定下一年的研发投入计划，该研发团队需要了解年研发资金投入量（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响.结合近12年的年研发资金投入量和年销售额，该团队建立了两个函数模型：①，②，其中均为常数，为自然对数的底数.经对历史数据的初步处理，得到散点图如图.令，计算得到如下数据.2066770200144604.203125000030821500（1）设变量和变量的样本相关系数为，变量和变量的样本相关系数为，请从样本相关系数的角度，选择一个与相关性较强的模型.（2）（i）根据（1）的选择及表中数据，建立关于的经验回归方程（系数精确到0.01）；（ii）若下一年销售额需达到80亿元，预测下一年的研发资金投入量.附：；样本相关系数；经验回归方程，其中.18.已知椭圆（，）的左、右焦点分别为、，左顶点为A，点P、Q为C上关于坐标原点O对称的两点，且，且四边形的面积为.（1）求椭圆C标准方程；（2）若斜率不为0的直线过椭圆C的右焦点且与椭圆C交于G、H两点，直线、与直线分别交于点M、N.求证：M、N两点的纵坐标之积为定值.19.已知函数．（1）若曲线和直线相切，求a的值；（2）若存在两个不同a，使得的最小值为0，求证：．

重庆南开中学高2025级高三（上）数学测试（12.1）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.【答案】B2.【答案】B3.【答案】A4.【答案】C5.【答案】B6.【答案】A7.【答案】B8.【答案】D二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．9.【答案】ACD10.【答案】BD11.【答案】ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.【答案】##13.【答案】14.【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15.【分析】(1)由圆心既在直线上又在直线上，所以条直线的交点即为圆心．（2）分别讨论斜率存在和不存在时两种情况，再利用相切时点到直线的距离等于半径即可．【详解】（1）联立，得，则圆C的圆C坐标为．因为圆C的半径为1，所以圆的方程为：．（2）如果不存在，则方程为，是圆的切线；如果斜率存在，设切线方程为：，即．运用距离公式，解得．方程为．综上所述切线方程为：和．16.【解析】【分析】根据椭圆的方程和题意，得到双曲线的焦点坐标，求出，再由等轴双曲线的性质，以及，即可求出结果；先讨论所在直线斜率不存在时，根据题意，可直接排除；再讨论所在直线斜率存在时，联立直线与双曲线方程，根据韦达定理，以及中点坐标公式，即可求出结果.【详解】由已知椭圆得双曲线的焦点为，即，由等轴双曲线的性质及，则所求双曲线的方程为当所在直线斜率不存在时，由对称性可知，中点不可为，故此时不满足题意;当所在直线斜率存在时，设所在直线的方程为，联立方程组得①点在所在的直线上，即②.联立①②两式，解得，经检验，直线方程即为所求.17.【解析】【分析】（1）分别将表中数据代入相关系数公式求出，比较大小即可判断；（2）（i）由取对数，换元得，由表中数据分别求和，得经验回归方程，利用指数式和对数式的互化，即得；（ii）将代入回归方程，利用题设条件，即可预测下一年的研发资金投入量.【小问1详解】由题意知.因为，所以，故从样本相关系数的角度，模型中与的相关性较强.【小问2详解】（i）由，得，即.因，所以，故关于的经验回归方程为，即,所以.（ii）将代入得.，故得，解得，故预测下一年的研发资金投入量是27.1亿元.18.【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义与勾股定理列式求解即可得椭圆方程；（2）直线与椭圆相交确定交点坐标关系，根据坐标运算即可得结论.【小问1详解】因为点P，Q为C上关于坐标原点O对称的两点，且，所以四边形为矩形，又，所以.所以，由椭圆定义与勾股定理知，所以，所以，所以.又，解得.所以，故椭圆C的标准方程为.【小问2详解】因为，所以可设直线的方程为.联立方程组，消去x化简并整理得.设，，可得，.因为A-2,0，所以直线的方程为y=y设点M、N的纵坐标分别为，，令，可得，同理可得.所以.所以M、N两点的纵坐标之积为定值.19.【解析】【分析】（1）设切点为x1,fx1，结合导数的几何意义可得（2）求出导数后，分、与讨论函数的调性后，构造函数，结合导数可得存在两个不同的，使得的最小值为0等价于存在两个不同的，使得，再构造函数，利用导数研究其单调性后即可得证.【小问1详解】由，则，设切点为x1,fx1，则又，即，则，解得或，当时，，不符合题意，舍去；当时，由，即.综上所述，.【小问2详解】证明：由，则，令，则，当时，，单调递增，没有最小值，不满足题意；当时，考虑这一侧，有，则当时，，不满足题意；当时,恒成立,f'x在R上单调递增，取即有f'x当时，有，则