河南省部分学校2024-2025学年高三上学期11月月考数学试题（含答案）

1PAGE第13页高三数学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．4．本卷命题范围：集合、常用逻辑用语、不等式、函数、导数，三角函数、三角恒等变换，解三角形、平面向量．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.函数的值域可以表示为（）A. B.C. D.2.若“”是“”的充分条件，则是（）A第四象限角 B.第三象限角 C.第二象限角 D.第一象限角3.下列命题正确的是（）A， B.，C， D.，4.函数的大致图象是（）A. B.C. D.5.已知向量，满足，，则向量与的夹角为（）A. B. C. D.6.已知，则（）A. B. C. D.7.已知，，，则的最小值为（）A.8 B.9 C.12 D.168若，，则（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数，则（）A.的值域为 B.为奇函数C.在上单调递增 D.的最小正周期为10.国庆节期间，甲、乙两商场举行优惠促销活动，甲商场采用购买所有商品一律“打八四折”的促销策略，乙商场采用“购物每满200元送40元”的促销策略．某顾客计划消费元，并且要利用商场的优惠活动，使消费更低一些，则（）A.当时，应进甲商场购物 B.当时，应进乙商场购物C.当时，应进乙商场购物 D.当时，应进甲商场购物11.已知函数满足：①，，；②，则（）A. B.C.在上是减函数 D.，，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数，则曲线在点处的切线方程为______．13.已知函数，若为偶函数，且在区间内仅有两个零点，则的值是__________．14.若内一点P满足，则称P为布洛卡点，为布洛卡角．三角形的布洛卡点是法国数学家和数学教育家克洛尔于1816年首次发现，1875年被法国军官布洛卡重新发现，并用他的名字命名．如图，在中，，，若P为的布洛卡点，且，则BC的长为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在中，内角的对边分别为，且．（1）求；（2）若为的外心，为边的中点，且，求周长的最大值．16.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，．（1）求a；（2）如图，D是外一点（D与A在直线BC的两侧），且，，求四边形ABDC的面积．17.已知平面向量，，且，其中，．设点和在函数的图象（的部分图象如图所示）上．（1）求a，b，的值；（2）若是图象上的一点，则是函数图象上的相应的点，求在上的单调递减区间．18.已知函数，m，．（1）当时，求的最小值；（2）当时，讨论的单调性；（3）当时，证明：，．19.已知非零向量，，，均用有向线段表示，现定义一个新的向量以及向量间的一种运算“”：．（1）证明：是这样一个向量：其模是的模的倍，方向为将绕起点逆时针方向旋转角（为轴正方向沿逆时针方向旋转到所成的角，且），并举一个具体的例子说明之；（2）如图1，分别以的边AB，AC为一边向外作和，使，．设线段DE的中点为G，证明：；（3）如图2，设，圆，B是圆O上一动点，以AB为边作等边（A，B，C三点按逆时针排列），求的最大值．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【答案】B2.【答案】B3.【答案】C4.【答案】C5.【答案】A6.【答案】C7.【答案】A8.【答案】D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.【答案】AD10.【答案】AC11.【答案】BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.【答案】13.【答案】214.【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.【解析】【分析】（1）由正弦定理结合三角恒等变换进行化简即可求解；（2）利用向量表示出，由余弦定理结合基本不等式、三角形周长公式即可求解.【小问1详解】由已知及正弦定理得：，由得：，所以，又，所以，即，因为，所以，所以解得.【小问2详解】因为为的外心,且由上问知，所以,设（为的外接圆半径），因为为边的中点，且，所以在中易得：，所以，即，解得：，在中由余弦定理可得：，解得，在中由余弦定理可得：，由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立，所以，即.所以周长，当且仅当时等号成立.故周长的最大值为.16.【解析】【分析】（1）首先根据两角和的正切公式求，即求角，再根据余弦定理求解；（2）根据诱导公式求解，以及两角和的三角函数求，再根据正弦定理求，最后根据面积公式，即可求解.【小问1详解】由条件可知，，所以，所以，即，所以，则所以；【小问2详解】，，，,中，，即，所以，，所以四边形的面积为.17.【解析】【分析】（1）由得，利用向量数量积计算公式和辅助角公式化简得，根据题设条件列出三角方程组，结合图象即可求出a，b，的值；（2）由题意中点的变换求得，利用正弦函数的图象特点即可求得在上的单调递减区间.【小问1详解】因，，由，可得，由，其中，因点和在函数的图象上，则有，，结合图象，由①可得，将其代入②式，可得，即，（*）由图知，该函数的周期满足，即又，则有，由（*）可得，故.由解得，，故，，；【小问2详解】不妨记，则，因是图象上的一点，即得，即，又因是函数图象上的相应的点，故有.由，可得，因，故得.在上的单调递减区间为.18.【解析】【分析】（1）利用求导判断函数的单调性，即得函数的极小值即最小值；（2）利用求导，就导函数中的参数进行分类，分别讨论导函数的符号，即得函数的单调性；（3）将待证不等式等价转化为，设，依题意，只需证在时，成立，分别求即可得证.【小问1详解】当时，，，由，可得或，由，可得，即在和上单调递增；在上单调递减，时，，时，，故时，取得极小值也即最小值，为.【小问2详解】当时，，函数的定义域为，，当时，恒成立，故在上增函数；当时，由，可得，故当或时，；即在和上单调递增；当时，，即在上单调递减.综上，当时，在上为增函数；当时，在和上单调递增,在上单调递减.【小问3详解】当时，,要证，，只需证，即证在上恒成立.设，依题意，只需证在时，.因，，由，可得，由，可得，故在上单调递减，在上单调递增,则在时取得极小值也是最小值，为；因，，由，可得，由，可得，由，可得，故在上单调递增，在上单调递减，则在时取得极大值也是最大值，为.因，即在上成立，故得证.即，．19.【解析】【分析】（1）根据圆的参数方程设定的坐标，再依据题意证明即可；（2）依据新定义把的坐标表示出来再运算证明即可；（3）掌握平面向量的模的运算和三角函数的最值求法即可解答.【小问1详解】证明：设（分别为轴正方向逆时针到所成角，且），则，，于是，即，轴正方向逆时针到所成的角