2024-2025学年高一【数学(人教A版)】诱导公式(2)-教学设计

课程基本信息课例编号学科数学年级高一学期第一学期课题诱导公式（2）教科书教学人员姓名单位授课教师指导教师教学目标教学目标：1.能够类比诱导公式二、三、四的研究方法，推导其它诱导公式；并能够运用诱导公式解决三角函数的求值问题；2.在诱导公式的推导过程中，感受数形结合，转化与化归思想的应用；3.通过对诱导公式的推导与应用，发展数学运算和数学推理的素养.教学重点：诱导公式的探究与应用.教学难点：各组诱导公式间的整合与应用.教学过程时间教学环节主要师生活动1分钟2分钟10分钟5分钟5分钟2分钟（一）情景导入（二）预习课本，引入新课（三）新知探究（四）典例分析、举一反三（五）例题（五）课堂小结、布置作业各位同学，大家好，我是来自北京市第二十五中学的数学教师许雯，今天我们学习的内容是“诱导公式二”.通过之前的学习，我们利用了圆的对称性以及三角函数的定义，推导出诱导公式二、三、四，并且利用这些诱导公式将任意范围内的角的三角函数值转化到间的角的三角函数值求解，而这三个诱导公式也是今后我们解决三角函数问题的重要手段.回顾这三个诱导公式的推导过程，都是借助单位圆以及角的终边关于坐标轴，原点的特殊对称而得到的.那么在单位圆中是否还有其他特殊的对称关系呢？它们所对应的角的三角函数是否也存在某些特殊的关系？今天我们来继续对诱导公式进行探究.回顾：上节课，我们是通过什么方法推导出诱导公式二、三、四的？生：从单位圆上的点关于原点、坐标轴的对称性出发探究得到的.师：我们对对称前后的角都建立了那些联系？生：对称前后角的关系，它们的终边与单位圆交点的坐标关系，以及三角函数的关系.师：今天我们将对称轴变为直线y=x看看能否得到新的诱导公式.设计意图：师生共同回顾，为新课做准备．问题1：作P1关于直线y=x的对称点P5，以OP5为终边的角与角有什么关系？师生活动：学生画图独立思考尝试说出角的关系，学生可能只画一种情况（如图一），提醒学生可以画终边不同象限（或坐标轴上）的角，确定终边关于直线y=x对称的角始终有的关系（图一）（图二）（图三）（图四）事实上，不管角的终边OP1在什么位置，化成一圈内终边在OP1与OP5的角都可以表示为与（见图二）.另，则.问题2：角的关系已经有了，那直角坐标系中关于直线y=x对称的两个点的坐标之间有什么关系吗？学生活动：学生分小组讨论，由图一可以猜想点P1（x1，y1）与点P5（x5，y5）关于y=x对称，那么有x5=y1，y5=x1.引导学生利用全等知识对图一进行证明.作P1关于y轴的垂线，P5关于x轴的垂线，由于P1与P5关于y=x对称，我们可以证明图中的两个三角形全等，因此对应边相等，将长度转化为坐标关系，就有x5=y1，y5=x1.对于终边的其他的不同位置，你们课后可以去证明它们的坐标依然有这种等量关系.问题3：最后我们要探究角与角的三角函数值有什么关系？学生活动：学生独立思考写出诱导公式五的关系.师：根据三角函数的定义，得.从而得公式五：终边关于y=x对称的角.，.探究：你能合理利用对称关系推导出下面的公式吗？公式六：，.画图并思考角的终边与角的终边具有怎样的对称性？我们怎么利用你发现的对称关系证明公式六.学生活动：学生思考，老师引导学生可以利用二次对称得到终边关系.我们可以角的终边OP1首先关于直线y=x对称得到OP5，再关于y轴对称得到的OP6就是角的终边.因此得到P1（x1，y1）与P6（x6，y6）的横纵坐标具有x6=﹣y1，y6=x1的数量关系，从而利用三角函数的定义就可以得到诱导公式六.当然你还可以利用别的方法推导这个公式，这个留给你们下课去探索.问题4：（教师总结性提问）这两组公式的与众不同之处是什么？学生：公式左右的函数名称改变.教师：因此这组公式的特点是：等号左右的函数名发生改变，即等号右侧变为角的余名三角函数值；公式右侧的符号是把当成锐角时，所求三角函数值的符号.设计意图：由两个角的终边关于y=x对称、到需要二次对称或者旋转变化的情况进行自然过渡，给学生留下了自主探究的空间，让他们再次经历公式的研究过程，从而得出公式五和公式六，培养学生的化归思想.例1证明：（1）；（2）.证明：（1）（2）设计意图：通过证明题巩固诱导公式的应用，同时体现了转化的数学思想方法.初步熟悉诱导公式的使用，补充了六组诱导公式.例2.化简求值，其中化简过程略.思想：①化负角的三角函数为正角的三角函数；②化为[0,2π]内的三角函数；③化为锐角的三角函数.可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”（有时也直接化到锐角求值），将诱导公式学有所用，合理利用.教师活动：1.请你选择下面一个或几个关键词谈一谈研究的过程中的体会：知识、方法、思想、收获、喜悦……2.公式五和六的作用是什么？学生活动：知识上，又学会了两组诱导公式；思