2024-2025学年高一【数学(人教A版)】函数的性质应用-教学设计

课程基本信息课例编号学科数学年级高一学期第一学期课题函数的性质应用教科书教学人员姓名单位授课教师指导教师教学目标教学目标：1.归纳抽象形成函数性质的判断规则，通过对关键词的辨析和应用规则判断函数性质的练习，掌握判断函数的操作步骤；2.体会函数性质对于函数自变量、函数值以及区间的影响和联系；3.发展学生的数形结合思想，培养学生数学抽象与直观想象等数学素养.教学重点：掌握利用性质解决对陌生函数的研究方法，更加透彻的理解函数的单调性和奇偶性的应用规则.教学难点：精准理解函数单调性和奇偶性的定义，将文字语言抽象为数学符号、数学运算等具体可操作的步骤.教学过程时间教学环节主要师生活动5分钟（一）利用函数性质作图各位同学，大家好，我是来自北京市第二十五中学的数学教师许雯，通过之前对于函数的单调性、最值和函数的奇偶性的学习，你是否已经对函数有更多角度的理解了呢？今天，咱们结合之前所学内容，看看函数性质有哪些更广泛的应用.例1：利用函数的性质画出y=1x的图象，并判断函数的奇偶性，讨论函数的单调性师生活动：学生独立思考尝试画y=1x的图象，老师引导学生从解析式寻找函数的性质，在函数性质的指导下作图，并对比与函数y=1x的图象师：我们在初中阶段学画新函数图象的时候都是在自变量的取值范围内取值、列表、描点、作图.现在我们已经学习了函数的一些性质，是否可以从解析式出发，直接得到函数的某些特征呢？分析：函数的定义域是x≠0的全体实数，值域是（0,+∞），因此函数图7分钟6分钟3分钟（二）函数奇偶性的应用（三）函数单调性的应用（四）归纳总结，布置作业象位于第一二象限.再由f(-x)=1−x=1x=f(x)我们可以得到它是偶函数，即它的图象关于y轴对称，那么我们就可以通过只作出第一象限（x＞当x＞0时，y=1x的图象与反比例函数y=1x的图象相同，再利用偶函数关于y轴对称，我们就可以得到它的完整图象不难看出y=1x的单调增区间是（-∞,0），它的单调减区间是（0,+∞）.函数没有最大值和最小值设计意图：从函数的解析式入手研究函数的性质，在函数性质的指导下做出函数的图象，而不仅仅是整个图象依赖列表描点的作图方法.从反比例函数入手解决函数y=1x的图象性质，将陌生的知识转化为熟悉的知识，感受学以致用的过程，体会例2：已知y=f(x)是定义域为R的奇函数，当x＜0时f(x)=−2x2−4x−3求f(−1)的值.②求f(1)的值.③写出f(x)的解析式并画出函数图象.④写出函数的单调递减区间.师生活动：教师提出问题，学生经过思考、讨论后回答问题，教师板书解答过程，师生共同分析解题思路，归纳解此类问题的研究方法.师：题目给出了x＜0的解析式，因此可以直接利用解析式求f(−1)，即f(−1)=−2−12−4−1那么怎么求f(1)呢，很显然我们要利用函数的奇偶性来解决问题.由题目y=f(x)是定义域为R的奇函数，我们可以通过f(1)=−f(−1)=1直接求解.我们还可以求出当x＞0时函数的解析式，进一步求f(1)的值.对于第三个问题，我们首先要考虑f(x)的定义域为R，因此我们需要解决x=0和x＞0时函数的解析式是什么的问题.由于f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)=0.对于x＞0的解析式，我们可以设x＞0，则−x＜0就可以代入到题目所给的解析式中求解.再根据奇函数的定义我们有f(−x)=−2(−x)2−4(−x)−3=−2x2+4x+3=−f(x).所以得到当x＞0时，f(x)=2x2−4x+3，因此−2x2−4x−3，x＜0，f(x)=0，x=0，2x2−4x+3，x＞0.由图象可以看出f(x)的单调递减区间是（−1，0），（0，1）（注意为什么不能写成（−（−1，0）∪（0，1追问：当x＜0时，点（−1，−1）是图象的一个最高点，能否说此函数存在最大值y=−1呢？很显然最大（小）值是定义在全体定义域上的一个性质，此函数无设计意图：本例题是利用函数的奇偶性求函数值以及解析式的问题，归纳此类问题的研究方法，即从奇偶性的定义出发求解，最后从图形上刻画函数做更加深入的理解，再对分段函数的单调区间以及最值问题进行考察，巩固了之前所学的知识.例3：已知y=f(x)是定义域为R的单调增函数(1)比较f(1)与f(5)的大小；(2)比较f(a2+2)与f(2a)的大小；(3)若f(a2)＞f(a+6)，求a的取值范围．师生活动：学生独立思考，教师启发引导学生独立解决问题.师：这道题没有给出函数的具体解析式，那么我们还能比较f(1)与f(5)的大小吗？对于在某个区间上已知单调性的函数，我们是否可以通过比较该区间内自变量的大小比较函数值大小？它们间有何种对应关系？分析：函数单调性的定义既是充分条件也是必要条件，即我们除了可以通过在某个区间自变量的大小与函数值的大小判断函数的单调性，还可以由函数在某个区间的单调性建立自变量大小与函数值大小的联系.因为y=f(x)是定义在R的单调增函数，而自变量1＜5，所以函数值f(1)＜f(5).师：怎样判断f(a2+2)与f(2a)的大小呢？分析：由已知y=f(x)是定义域为R的单调增函数，f(a2+2)与f(2a)的大小可以由a2+2与2a的大小关系确定.因为a2+2−2a=(a−1)2+1＞0，所以a2+2＞2a.再由f(x)是单调增函数，所以f(a2+2)＞f(2a).师：若f(a2)＞f(a+6)，自变量需要满足什么条件？分析：由于函数单调性的定义是一个充要条件，因此对于在某个区间上已知单调性的函数，我们还可以通过该区间内函数值的大小关系得到其对应自变量大小关系.即由f(x)是定义域为R的单调增函数，已知f(a2)＞f(a+6)，可以确定a2＞a+6，利用一元二次不等式的解法，可得a＞3或a＜−2.设计意图：通过本例题的学习，学生对于函数的单调性的定义有更加深刻的认识，对于单调函数的自变量对函数值的大小关系的影响理解更加透彻，并且综合了一元二次不等式的解法，温故知新.教师引导学生回顾本节知识，并回答以下问题：（1）对于不熟悉的函数我们的作图方法有哪些改进？（2）对于具有奇偶性的函数，我们是否可以通