2024-2025学年高一【数学(人教A版)】函数的单调性-教学设计

课程基本信息课例编号学科数学年级高一学期第一学期课题函数的单调性教科书教学人员姓名单位授课教师指导教师教学目标教学目标：1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性，会用定义证明简单函数的单调性；2.经历从定性到定量的概念形成过程，体现了数学抽象的一般过程，培养学生的数学抽象的素养；3.通过构建一个从具体到抽象，从特殊到一般的过程，使学生归纳概括出用严格数学语言精确刻画单调性的方法，提升数学运算和直观想象的素养．教学重点：函数单调性的概念、判断及证明．教学难点：符号语言的引入，对“任意”“都有”等涉及无限取值的语言的理解和使用．教学过程时间教学环节主要师生活动3分钟（一）知识引入教师引导：我们知道函数是描述事物变化规律的数学模型，这样我们可以通过研究函数的性质获得对客观世界中事物变化规律的认识．那么什么是函数性质呢？总体而言，函数性质就是“变化中的不变性，变化中的规律性”．研究函数性质，就是要学会在运动变化中发现规律．请大家回顾初中学习过的一次函数、二次函数、反比例函数，我们通过什么来研究它们的性质呢？师生活动：学生回答，师生共同得到结论：通过图象研究函数性质.问题1：请看下面的函数图象，从中能发现什么变化中的规律？师生活动：教师利用PPT展示例子，学生观察图象并回答问题．学生的回答可能涉及很多方面（如升降变化，对称性，最高点或最低点等），教师引导学生关注图象从左到右升降变化的特点．追问：函数图象所反映的这些特点就是函数的性质．你能回顾一下初中的知识，用定性的方法描述前两个图象从左到右的升降变化吗？即随的增大是如何变化的？预设：第一个图象从左到右是上升的，即在上，随的增大而增大；第二个函数在及两个区间上，从左到右图象分别上升，随的增大而增大；在及两个区间上，从左到右图象分别下降，随的增大而减小．教师指出：本节课我们继续研究这一性质，我们要用定量的方法刻画函数值随自变量的增大而增大（或减小）的变化规律．设计意图：通过实例，使学生感受研究函数性质的必要性；结合初中已学的定性方法刻画函数单调性的知识，明确学习任务．12分钟（二）函数单调性的定量刻画1.具体实例的分析问题2：初中我们研究过二次函数，现在我们以函数为例，我们知道在区间上，随的增大而减小．请问你是怎样理解“随的增大而减小”的？你能说说它的数量特征吗？师生活动：学生独立思考并交流．设计意图：从刻画数量特征的角度进行描述，促使学生深入思考单调性，从定性描述转向定量刻画．追问1：“增大了”如何用符号语言表示？“对应的函数值减小”又该如何表示？观察下表，你能给出具体的描述吗？…-5-4-3-2-1……2516941…师生活动：一般地，学生会从表格中看到具体数值的变化规律，如：当从-5增大到-4，函数值从25减小到16；当从-4增大到-3，函数值从16减小到9；当从-3增大到-2，函数值从9小到4；……追问2：这样的变化过程能写的完吗？你能借助字母符号，归纳出上述具体数值变化的共同点吗？师生活动：先让学生从具体到抽象尝试概括，教师进行启发，最后得到符号表示“只要，就有”．追问3：这里对，有什么要求？只取上的某些数对是否可以？你能举例说明吗？师生活动：让学生展开讨论，教师适当引导，并举出反例进行说明，要让学生明确，应该是区间上的所有数对，．预设反例：如图象所示函数，我们可以找到、，但很明显函数在区间上并不单调递减．追问4：“所有”又该如何说明？既然“所有”不易操作，可以用什么量词来代替“所有”呢？你能严格的表达出来吗？师生活动：教师引导学生说出用“任意”代替“所有”，帮助学生体会用“任意”处理“无限”的思想．预设：任取，，只要，就有．教师总结：我们借助数学符号语言，给出了一个与“无限”相关的变化规律的定量描述，即任取，，把“无穷”问题转化为了可操作的有限过程，这就是数学抽象的力量．追问5：你能说出为什么吗？教师引导：要对两个函数值比大小，实质上是不等式的代数证明，具体证明方法我们稍后会说明．追问6：对于函数，你能模仿上述方法，给出“在区间上，随的增大而增大”的符号语言刻画吗？设计意图：这个环节是本节课的重点，也是难点，其核心是通过从具体到抽象的过程，让学生学会用严格的符号语言刻画“在区间上，当增大时，相应的随之减小”．从图象到定性再到定量的不断精确化的过程中，通过问题串，设法引出“任意”，引导学生体会用“任意”刻画“无限”的力量．练习：请你模仿上述过程，用严格的符号语言刻画函数的单调性．2.单调性定义的抽象问题3：请你归纳以上两个函数单调性的刻画方法，给出函数在区间上单调性的符号表述．师生活动：先由学生独立完成并交流，再由教师给出严格的单调性定义表述．定义：一般地，设函数的定义域为，区间．如果，，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递增．特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数．再由学生类比给出单调递减及减函数的定义．3.单调性定义的辨析问题4：函数的单调性是对定义域内的某个区间而言的，你能举出在整个定义域内单调递增的函数（即增函数）例子吗？你能举出在定义域内的某些区间上单调递增但在另一些区间上单调递减的函数例子吗？师生活动：先由学生思考并交流，教师帮助完善．预设1：如函数在上单调递增；函数在上单调递减，在上单调递增，描述函数单调性，要说清哪个函数、在哪个区间上，单调怎样．预设2：允许函数在某些区间上单调递增，在另一些区间上单调递减，只有在整个定义域上单调递增才能叫增函数．预设3：当函数有多个单调区间时，不能随意用并集．如反比例函数，我们不能说它在单调递减，因为可以找到如，但这样的反例，不满足单调递减的定义，所以只能说函数在及上分别单调递减．设计意图：这个辨析是为了区分“单调递增”与“增函数”、“单调递减”与“减函数”等概念，也是为了引导学生体会函数的单调性是对定义域内的某个区间而言的，是函数的局部性质．函数在某个区间上单调，并不意味着函数在整个定义域内都是单调的．8分钟（三）单调性定义的简单应用例1根据定义，研究函数的单调性．师生活动：先让学生独立思考，共同讨论研究思路，教师给出严格的表述．教师强调：（1）研究一个函数的单调性，需要利用单调性的定义，考察在定义域内的哪些区间上单调递增、在哪些区间上单调递减；（2）具体的操作方法是，在条件下，考察与的大小关系，比大小可以做差，这里往往要用到不等式的性质和代数变形．设计意图：例1不仅是让学生熟悉利用定义研究函数单调性的过程，也是对初中阶段从图象中得到的结论进行严格的证明．此外，这里将“比较与的大小”转化为“比较与0的大小”的做法，体现了数学中“化繁为简”“化难为易”的转化与化归思想．例2物理学中的玻意耳定律（为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积减小时，压强将增大，试对此用函数的单调性证明．师生活动：先让学生独立思考“体积减小时，压强增大”的含义，建立物理意义与函数单调性的联系，明确只要证明函数（）是减函数即可．再让学生独立给出证明，教师完善．设计意图：例2是一个物理学中的公式，本例要使学生体会函数模型可以用来刻画现实世界中的现象．数学的研究是将一类运动变化的现象抽象成一类函数，通过研究这一类函数的性质而获得事物的变化规律．注意培养学生数学表达的严谨性和规范性．追问：你能由例1、例2的解题过程，归纳一下用单调性定义研究或证明一个函数在区间上的单调性的基本步骤吗？师生活动：师生共同归纳出证明函数在区间上的单调性的基本步骤：第一步，在区间上任取两个自变量的值，，并规定；第二步，计算，将分解为若干个可以直接确定符号的式子；第三步，确定的符号．若，则函数在区间上单调递增；若，则函数在区间上单调递减．设计意图：此环节旨在帮助学生规范证明过程．2分钟（四）课堂小结问题5：请同学们回答下列问题：（1）什么叫函数的单调性？你能举出一些具体例子吗？（2）证明函数单调性时，应把握好哪些关键问题？（3）结合本节课的学习过程，你对函数性质的研究方法有什么体会？师生活动：学生思考并回答，教师进行归纳．设计意图：（1）让学生准确叙述单调