《工程力学》课件第8章

第8章梁的变形分析与刚度问题

8.1引言8.2梁变形的基本方程8.3积分法求梁的变形8.4叠加法求梁的变形8.5梁的刚度条件与合理刚度设计8.1引言

1.工程中的弯曲变形问题精密机床的主轴变形过大将影响加工精度(图8.1)。轧钢机轧辊的弯曲将使轧出的钢板厚度不均匀(图8.2)。细长轴的车削加工对车工来说是高难度工作，在车刀的横向车削力作用下，靠近两端支承处轴的弯曲变形小而中部弯曲变形大，很容易将轴加工成两头细中间粗(图8.3)。若铁路桥梁变形过大，则在火车通过时将引起很大振动。高精度高速机械中，过大的变形能引起运动零件之间的相互干涉和振动。图8.1图8.2图8.3另一方面，有些构件(如弹簧)主要是根据变形而设计的。例如：汽车的钢板弹簧利用较大的弯曲变形来减振(图8.4)；扭矩扳手利用把手的弯曲变形来测量扭矩的大小(图8.5)；热继电器中的双金属片则利用弯曲变形完成断路操作；车床上的割刀往往做成弯头形状，为的是使它遇到被切割零件上的硬点时能自动“让刀”，即刀杆变形使切削深度减小，以免刀头因切削力突然增加而折断(图8.6)。图8.4图8.5图8.6

2.弯曲变形的描述为研究等直梁在对称弯曲时的位移，取梁在变形前的轴线为x轴，垂直向上的轴为y轴，而xy平面即为梁上荷载作用的纵向对称平面(图8.7)。梁在对称弯曲变形后，其轴线将变形成在xy平面内的平面曲线AC1B，如图8.7所示。度量梁变形后横截面位移的两个基本量是：横截面形心(即轴线上的点)在垂直于x轴方向的线位移w，称为该截面的挠度；横截面对其原来位置的角位移θ，称为该截面的转角。由于梁变形后的轴线是一条光滑的连续曲线AC1B，横截面仍与曲线保持垂直，因此，横截面的转角θ也就是曲线在该点处的切线与x轴之间的夹角。图8.7在第7章中已知，度量等直梁弯曲变形程度的是曲线AC1B的曲率。但由于曲率难以度量，且在工程实际中，梁的变形程度还要受到支座约束的影响，而横截面的位移量w和θ不仅与曲率的大小有关，同时还与梁的支座约束有关，因此，通常就用这两个位移量来反映梁的变形情况。应当指出，梁轴线弯曲成曲线后，在x轴方向也是有线位移的。仅在小变形情况下，梁的挠度远小于跨长，梁变形后的轴线是一条平坦的曲线，横截面形心沿x轴方向的线位移与挠度相比属于高阶微量，可略去不计。因此，在选定坐标系后，梁变形后的轴线(即曲线AC1B)可表达为w=f(x)

(8.1)式中，x为梁在变形前轴线上任一点的横坐标；w为该点的挠度。梁变形后的轴线称为挠曲线，由于是在线弹性范围内的挠曲线，因此也称为弹性曲线。表达式(8.1)则称为挠曲线(或弹性曲线)方程。由方程(8.1)还可求得转角θ的表达式。因为挠曲线是一平坦曲线，故有θ≈tanθ=w′=f′(x)

(8.2)亦即挠曲线上任一点处切线的斜率w′即可足够精确地代表该点处横截面的转角θ。表达式(8.2)可称为转角方程。8.2梁变形的基本方程在建立纯弯曲正应力公式时已经得到，用中性层曲率表示的弯曲变形公式为一般工程上常用的梁跨长l往往大于截面高度的10倍，故在横力弯曲时，剪力对梁变形的影响很小，可以忽略不计。所以，上式对非纯弯曲情况也适用。但这时的M和ρ都是x的函数，即另外，由高等数学可知，挠曲轴w=w(x)上任一点的曲率为于是得如前节所述，在小变形情况下，是一个很小的量，是更高阶小量，可近似取1+≈1。于是上式可近似写为式(8.3)称为挠曲线近似微分方程。当规定w轴向上为正(图8.8)，弯矩仍采用第7章中的正负号规定，则不论x坐标轴向左或是向右，式(8.3)中均取正号。图8.8于是，挠曲线近似微分方程可进一步写为8.3积分法求梁的变形由以上分析得挠曲线近似微分方程为将上述方程相继积分两次，依次得:式中，C与D为积分常数。积分常数可利用梁上某些截面的已知位移来确定。梁截面的已知位移条件或位移约束条件称为梁位移的边界条件。例如，在固定端处，横截面的挠度与转角均为零，即w=0，θ=0在铰支座处，横截面的挠度为零，即w=0在集中力作用处，由于梁必须是光滑连续的，梁挠曲线既不可能间断，也不可能有折点，因此该点处两侧的挠度相等、转角相等：w1=w2θ1=θ2如果两根梁由中间铰连接，挠度曲率在中间铰处，挠度连续，但转角不连续，即中间铰处两侧的挠度相等，转角不相等：w1=w2θ1≠θ2积分常数确定后，将其代入式(8.5)与(8.4)，即得梁的挠曲线方程w=f(x)与转角方程由此可求出任一横截面的挠度与转角。当弯矩方程需要分段建立或弯曲刚度沿梁轴变化，以致其表达式需要分段建立时，挠曲线近似微分方程也需要分段建立，而在各段的积分中，将分别包含两个积分常数。为了确定这些常数，除利用位移边界条件外，还应利用分段处挠曲线的连续、光滑条件，这是因为在相邻梁段的交接处，相连两截面应具有相同的挠度与转角。分段处挠曲线所应满足的连续、光滑条件，简称为梁位移的连续条件。对于分段数为n的静定梁，求解时将包含2n个积分常数。但由于存在n－1个分界面，因而将提供2(n－1)个连续条件，再加上两个位移边界条件，共2n个约束条件，恰好可用于确定2n

个积分常数。由此可见，梁的位移不仅与弯矩及梁的弯曲刚度有关，而且与梁位移的边界条件及连续条件有关。

【例8.1】图8.9所示悬臂梁，在其自由端受一集中力F的作用。已知EI为常数，试求梁的最大挠度和最大转角。图8.9

解

(1)列弯矩方程。

x处横截面的弯矩为M(x)=－F(l－x)

(2)列挠曲线近似微分方程并积分。通过两次积分，得(a)(b)挠度方程为(c)(d)

(3)确定积分常数。悬臂梁在固定端处的挠度和转角都等于0，故边界条件为：在x=0处，w=0，θ=0。将其代入式(a)和式(b)，可解得C=0，D=0。

(4)确定转角方程和挠度方程。转角方程为根据梁的受力及边界条件，画出梁的挠曲线的示意图(见图8.9)。

(5)求最大转角和最大挠度。最大挠度wmax和最大转角θmax都发生在x=l自由端处，将x=l代入式(c)及式(d)可得：

【例8.2】图8.10所示简支梁AB，承受矩为Me的集中力偶作用，试计算梁的最大挠度。设弯曲刚度EI为常数。图8.10

解(1)计算支反力。由平衡方程∑MB=0与∑MA=0，得铰支座A与B的支反力分别为:

(2)建立挠曲线近似微分方程并积分。梁的弯矩方程为所以，挠曲线近似微分方程为经积分，得(a)(b)

(3)建立转角与挠度方程。梁两端铰支座处的挠度均为零，即：在x=0处，w=0在x=l处，w=0将上述边界条件分别代入式(b)，得将所得积分常数代入式(a)与(b)，得梁的转角与挠度方程分别为：(c)(d)

(4)计算最大挠度。挠曲线的大致形状如图8.10所示，最大挠度处的转角为零。于是，由式(c)并令得最大挠度所在截面的横坐标为将xD值代入式(d)，于是得梁的最大挠度为

【例8.3】承受集中载荷作用的简支梁如图8.11(a)所示，EI为常数。试求此梁的挠度方程和转角方程，并确定其最大挠度和最大转角。图8.11

解

(1)列弯矩方程。用平衡方程求得

，

。因集中荷载F将梁分为两段，各段的弯矩方程不同，故需分别写出它们的弯矩方程，即:

(2)列挠曲线近似微分方程并积分。(b)(c)(d)

(3)确定积分常数。对简支梁，边界条件为：当x1=0时，w1=0；当x2=l时，w2=0。可见，只能得到两个方程，而积分常数有四个。由挠曲线的连续光滑条件可知：在交接处，左、右两段应有相等的挠度和相同的转角。于是，当x1=x2=a时，有θ1=θ2，w1=w2，由此可列出两个连续条件。这样，可由四个方程求得四个积分常数为

(4)确定转角方程和挠度方程。(e)(f)(g)(h)

(5)求最大转角和最大挠度。将x1=0和x2=l

分别代入式(e)、式(g)，即得左、右两支座处的最大转角为：确定梁的最大挠度：简支梁的最大挠度应发生在θ=0处。在本例中，设a＞b。当x1=0时，θ<0，当x=a时，则θ>0，即θ=0处的位置(即最大挠度位置)必定在AC段内。令可解得将上式代入式(f)，得最大挠度为当b→0时，

(图8.11(b))；当b=/2时，x1=0.5l(图8.11(c))。由此可见，集中载荷F的位置对于最大挠度的位置影响并不大。故为了计算简便，可不考虑集中载荷F的位置，均认为最大挠度发生在梁跨中点。8.4叠加法求梁的变形

1.叠加法由前述分析知，在小变形的条件下，且当梁内应力不超过材料的比例极限时，挠曲线近似微分方程为它是一个线性微分方程。由前述分析还可知，在小变形的条件下，由于横截面形心的轴向位移可以忽略不计，因而梁内任一横截面的弯矩与载荷成线性齐次关系。例如图8.12所示的梁，任一横截面的弯矩为即M与载荷Me、F及q

成线性齐次关系。既然挠曲线近似微分方程为线性微分方程，而弯矩又与载荷成线性齐次关系，那么，当梁上同时作用几个载荷时，挠曲线近似微分方程的解，必等于各载荷单独作用时挠曲线近似微分方程的解的线性组合，而由此求得的挠度与转角也一定与载荷成线性齐次关系。由此可见，当梁上同时作用几个载荷时，如果梁的变形很小，而且应力不超过材料的比例极限，则可利用叠加法计算梁的位移。图8.12例如对于图8.12所示的梁，若载荷q、F与Me单独作用时横截面A的挠度分别为wq、wF、

，则当它们同时作用时该截面的挠度为w=wq+wF+

为了便于工程计算，人们已经将常见静定梁在简单载荷作用下的挠度和转角方程以及一些特定点的挠度和转角算出，并形成手册。叠加法就是运用叠加原理以及常见静定梁在简单载荷作用下的挠度和转角方程的计算结果，得到常见静定梁在复杂载荷作用下的挠度和转角。常用简支梁、悬臂梁受多种载荷的挠度方程、端截面转角和最大挠度列于表8.1中，该表称为挠度表。

【例8.4】桥式起重机大梁的自重为均布载荷，集度为q，吊重为集中力F，作用于跨度中点，如图8.13所示。试求大梁中点处的挠度。图8.13

解该简支梁的变形是由均布载荷q和集中力F共同引起的。均布载荷q单独作用时，简支梁跨度中点的挠度由表8.1中第10栏查出为式中负号表示挠度向下。集中力F单独作用时，简支梁中点的挠度由表8.1中第8栏查出为故根据叠加法可知，在两组载荷的共同作用下，跨度中点的挠度为

【例8.5】图8.14(a)所示悬臂梁，弯曲刚度为EI，梁承受间断性分布载荷。试利用叠加法确定自由端的挠度和转角。

解(1)将梁上的载荷变成有表可查的情况。为利用挠度表中关于梁全长承受均布载荷的计算结果，计算自由端C处的挠度和转角，先将均布载荷延长至梁的全长。为了不改变原来载荷作用的效果，在AB段还需再加上集度相同、方向相反的均布载荷，如图8.14(b)所示。图8.14

(2)将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，计算各个简单载荷引起的挠度和转角。图8.14(c)和(d)所示是两种不同的均布载荷作用情形，分别画出这两种情形下挠度曲线的大致形状。于是，由表8.1中关于承受均布载荷悬臂梁的计算结果，上述两种情形下自由端的挠度和转角分别为：

(3)将简单载荷作用的结果叠加。上述结果叠加后，得到：

【例8.6】试求图8.15(a)所示悬臂梁自由端的挠度wA，梁各段E相同。图8.15

解将悬梁臂沿C截面处假想截开，根据力平移法则，C处作用有集中力F和力偶矩

。此时悬臂梁BC在C处的转角和挠度为(图8.15(b)):由于截面C的转角和挠度带动CA段作刚体转动，于是有将AC段视为悬臂梁，则AC段自身的弯曲变形产生挠度为因此，阶梯形悬臂梁自由端A的总挠度为从上述例题可以归纳出叠加法求梁弯曲位移的解题步骤和注意事项如下：

(1)载荷的分解。要善于分解载荷，不仅多个载荷可以分解，一个载荷也存在分解的问题(如变刚度梁)，甚至可以分解成微分载荷，即无限单个载荷作用的情形。

(2)查表求解。要正确而灵活地运用挠度表中的公式，要注意公式成立的条件、各种符号的实际含义及载荷的作用方向。

(3)叠加求和。要注意是代数和，故应注意各项的正负。叠加法虽然简单、实用、方便，但不注意上述几点还是很容易出错的。根据弯矩图和弯矩的正负可判断梁的挠曲线的形状(凹凸性)，并由支承条件可判断挠曲线的大致位置，从而大致绘出梁的挠曲线，这对定性检查计算有无错误是很有帮助的。8.5梁的刚度条件与合理刚度设计

1.梁的刚度条件梁的变形过大，就会影响梁的正常使用，故按强度条件设计了梁的截面后，常需进一步按梁的刚度条件检查梁的变形是否在许用的范围以内，进行刚度校核；若变形超过了许用值，则应按刚度条件重新选择梁的截面。设以［w］表示许用挠度，［θ］表示许用转角，则梁的刚度条件为：|w|max≤［w］(8.6)|θ|max≤［θ］(8.7)在各类工程中，对梁变形许用值的规定出入很大。例如，对跨度为l的桥式起重机梁，其许用挠度为在土建工程中，梁的许用挠度为对一般用途的轴，其许用挠度为在安装齿轮或滑动轴承处，轴的许用转角为［θ］=0.001rad其他梁或轴的许用位移值，可从有关规范或手册中查得。

【例8.7】一简支梁，跨度中点承受集中载荷F。已知F=35kN，跨度l=4m，许用应力［σ］=160MPa，许用挠度[w]=l/500，弹性模量E=200GPa。试选择工字形钢型号。

解

(1)按强度要求考虑。梁的最大弯矩为根据弯曲正应力强度条件，要求

(2)按刚度要求考虑。由表8.1中的第8栏可知，梁的刚度条件为由此得: