2025高考数学一轮复习-4.1-任意角和弧度制及任意角的三角函数-专项训练模拟练习【含解析】

2025高考数学一轮复习-4.1-任意角和弧度制及任意角的三角函数-专项训练模拟练习【A级基础巩固】一、单选题1．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是()A．90°－α B．90°＋αC．360°－α D．180°＋α2．2022年北京冬奥会开幕式倒计时环节把二十四节气与古诗词、古谚语融为一体，巧妙地呼应了今年是第二十四届冬奥会，更是把中国传统文化和现代美学完美地结合起来，彰显了中华五千年的文化自信．地球绕太阳的轨道称为黄道，而二十四节气正是按照太阳在黄道上的位置来划分的，当太阳垂直照射赤道时定为“黄经零度”，即春分点，从这里出发，每前进15度就为一个节气，从春分往下依次顺延，清明、谷雨、立夏等等．待运行一周后就又回到春分点，此为一回归年，共360度，因此分为24个节气，则今年高考前一天芒种为黄经()A．60度 B．75度C．270度 D．285度3．已知点P(tanα，cosα)在第三象限，则角α的终边在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限4．已知扇形的周长为100cm，则该扇形的面积S的最大值为()A．100cm2 B．625cm2C．1250cm2 D．2500cm25．已知角α的终边经过点(m，－2m)，其中m≠0，则sinα＋cosα＝()A．－eq\f(\r(5),5) B．±eq\f(\r(5),5)C．－eq\f(3,5) D．±eq\f(3,5)6．设θ是第三象限角，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(θ,2)))＝－coseq\f(θ,2)，则eq\f(θ,2)是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角7．已知点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为()A．eq\f(5π,6) B．eq\f(2π,3)C．eq\f(11π,6) D．eq\f(5π,3)8.达·芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名，画中女子神秘的微笑数百年来让无数观赏者入迷，某爱好者对《蒙娜丽莎》的同比例影像作品进行了测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角A，B处作圆弧所在圆的切线，两条切线交于点C，测得AB＝12.6cm，∠ACB＝eq\f(2π,3)，则《蒙娜丽莎》中女子嘴唇的长度约为(单位：cm)()A．12.6 B．4πC．4.2π D．4.3π二、多选题9．下列各式中结果为正值的是()A．sin1125° B．taneq\f(37,12)π·sineq\f(37,12)πC．eq\f(sin5,tan5) D．sin|－1|10．若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线x＋y＝0上，则角α的取值集合是()A．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝2kπ－\f(π,4)，或α＝2kπ＋\f(3π,4)，k∈Z))B．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α＝2kπ＋\f(3π,4)，k∈Z))))C．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α＝kπ＋\f(π,4)，k∈Z))))D．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α＝kπ－\f(π,4)，k∈Z))))11．在平面直角坐标系xOy中，角α以x的非负半轴为始边，且终边经过点P(－1，m)(m>0)，则下列各式的值一定为负的是()A．sinα＋cosα B．sinα－cosαC．sinαcosα D．eq\f(sinα,tanα)三、填空题12．2025°角是第象限角，与2025°角终边相同的最小正角是，最大负角是.13．已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为.14．如图所示，角的终边与单位圆交于第二象限的点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosα，\f(3,5)))，则cosα－sinα＝.15.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式；弧田面积＝eq\f(1,2)(弦×矢＋矢2)．弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中，“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为eq\f(2π,3)，半径等于4m的弧田，则矢是m，所得弧田面积是m2.16．函数y＝eq\r(2sinx－1)的定义域为.INCLUDEPICTURE"B组.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF"INET【B级能力提升】1．(多选题)下列结论中正确的是()A．若角α的终边过点P(3k,4k)(k≠0)，则sinα＝eq\f(4,5)B．若α是第一象限角，则eq\f(α,2)为第一或第三象限角C．若扇形的周长为6，半径为2，则其圆心角的大小为1弧度D．若0<α<eq\f(π,2)，则sinα<tanα2．设集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,2)·180°＋45°，k∈Z))))，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝\f(k,4)·180°＋45°，k∈Z))，那么()A．M＝N B．M⊆NC．N⊆M D．M∩N＝∅3．(多选题)函数f(x)＝eq\f(sinx,|sinx|)＋eq\f(cosx,|cosx|)＋eq\f(tanx,|tanx|)的值可能为()A．1 B．－1C．3 D．－34．月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为“敦煌八景”之一，得名“月泉晓澈”，因其形酷似一弯新月而得名，如图所示，月牙泉边缘都是圆弧，两段圆弧可以看成是△ABC的外接圆和以AB为直径的圆的一部分，若∠ACB＝eq\f(2π,3)，南北距离AB的长大约60eq\r(3)m，则该月牙泉的面积约为m2(精确到整数位)(参考数据：π≈3.14，eq\r(3)≈1.73)5．已知eq\f(1,|sinα|)＝－eq\f(1,sinα)，且lg(cosα)有意义．(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边上一点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，m))，且OM＝1(O为坐标原点)，求m及sinα的值． 参考答案 【A级基础巩固】一、单选题1．(C)[解析]由题意逐一考查所给选项即可求得最终结果．若α是第一象限角，则：90°－α位于第一象限，90°＋α位于第二象限，360°－α位于第四象限，180°＋α位于第三象限，故选C．2．(B)[解析]春分往下依次顺延，清明、谷雨、立夏、小满、芒种，所以芒种为黄经15×5＝75度．故选B．3．(B)[解析]由题意知tanα<0，cosα<0，根据三角函数值的符号规律可知，角α的终边在第二象限．故选B．4．(B)[解析]由扇形的周长和面积公式都和半径和弧长有关，可设出半径和弧长，表示出周长和面积公式，利用配方法即可求解，也可以应用均值定理求解．方法一：设扇形半径为r，弧长为l，则周长为2r＋l＝100，面积为S＝eq\f(1,2)lr，因为S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)(100－2r)r＝－r2＋50r＝－(r－25)2＋625，所以当r＝25时，Smax＝625；方法二(应用均值定理)：S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)(100－2r)r＝(50－r)r≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(50－r＋r,2)))2＝625，当且仅当50－r＝r，即r＝25时等号成立，故选B．5．(B)[解析]∵角α的终边经过点(m，－2m)，其中m≠0，∴当m>0时，sinα＝eq\f(－2m,\r(5)m)＝－eq\f(2,\r(5))，cosα＝eq\f(m,\r(5)m)＝eq\f(1,\r(5))，∴sinα＋cosα＝－eq\f(\r(5),5).当m<0时，sinα＝eq\f(－2m,－\r(5)m)＝eq\f(2,\r(5))，cosα＝eq\f(m,－\r(5)m)＝－eq\f(1,\r(5))，∴sinα＋cosα＝eq\f(\r(5),5)，∴sinα＋cosα＝±eq\f(\r(5),5)，故选B．6．(B)[解析]∵θ为第三象限角，∴eq\f(θ,2)为第二或第四象限角．又∵eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(θ,2)))＝－coseq\f(θ,2)，∴coseq\f(θ,2)<0，∴eq\f(θ,2)是第二象限角．7．(C)[解析]因为点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))在第四象限，所以根据三角函数的定义可知tanθ＝eq\f(－\f(1,2),\f(\r(3),2))＝－eq\f(\r(3),3)，又θ∈[0,2π)，所以θ＝eq\f(11π,6).8.(C)[解析]画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，如图，设圆心为O，依题意，OA⊥AC，OB⊥BC，O，A，C，B四点共圆，∵∠ACB＝eq\f(2π,3)，∴∠AOB＝eq\f(π,3).∵OA＝OB，∴△AOB为等边三角形，∴OA＝AB＝12.6cm.∴《蒙娜丽莎》中女子嘴唇的长度约为OA×eq\f(π,3)＝4.2π(cm)．故选C．二、多选题9．(ACD)[解析]确定一个角的某一三角函数值的符号关键要看角在哪个象限，确定一个式子的符号，则需观察构成该式的结构特点及每部分的符号．对于A，因为1125°＝1080°＋45°，所以1125°是第一象限角，所以sin1125°>0；对于B，因为eq\f(37,12)π＝2π＋eq\f(13,12)π，则eq\f(37,12)π是第三象限角，所以taneq\f(37,12)π>0，sineq\f(37,12)π<0，故taneq\f(37,12)π·sineq\f(37,12)π<0；对于C，因为5弧度的角在第四象限，所以sin5<0，tan5<0，故eq\f(sin5,tan5)>0；对于D，因为eq\f(π,4)<1<eq\f(π,2)，所以sin|－1|>0.10．(AD)[解析]因为直线x＋y＝0的倾斜角是eq\f(3π,4)，所以终边落在直线x＋y＝0上的角的取值集合为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝2kπ－\f(π,4)))))或α＝2kπ＋eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，k∈Z))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α＝kπ－\f(π,4)，k∈Z)))).故选AD．11．(CD)[解析]由已知得r＝|OP|＝eq\r(m2＋1)，则sinα＝eq\f(m,\r(m2＋1))>0，cosα＝－eq\f(1,\r(m2＋1))<0，tanα＝－m<0，则sinα＋cosα的符号不确定，sinα－cosα>0，sinαcosα<0，eq\f(sinα,tanα)＝cosα<0.故选CD．三、填空题12．[解析]因为2025°＝6×360°－135°，所以2025°角的终边与－135°角的终边相同．所以2025°角是第三象限角，与2025°角终边相同的最大负角是－135°.又－135°＋360°＝225°，故与2025°终边相同的最小正角是225°.13．[解析]∵在[0,2π)内，终边落在阴影部分角的集合为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(5π,6)))，∴所求角的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,4)))<α<2kπ＋\f(5π,6)，k∈Z)).14．[解析]由题意得cos2α＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2＝1，cos2α＝eq\f(16,25).又cosα<0，所以cosα＝－eq\f(4,5)，又sinα＝eq\f(3,5)，所以cosα－sinα＝－eq\f(7,5).15.[解析]根据题意画出图形，结合图形利用直角三角形的边角关系求出矢和弦的值，代入公式计算求值即可．如图所示，由题意可得：∠AOB＝eq\f(2π,3)，OA＝4，在Rt△AOD中，可得：∠AOD＝eq\f(π,3)，∠DAO＝eq\f(π,6)，OD＝eq\f(1,2)AO＝eq\f(1,2)×4＝2，可得：矢＝4－2＝2，由AD＝AO·sineq\f(π,3)＝4×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3)，可得：弦＝2AD＝4eq\r(3)，所以：弧田面积＝eq\f(1,2)(弦×矢＋矢2)＝eq\f(1,2)×(4eq\r(3)×2＋22)＝4eq\r(3)＋2.16．[解析]∵2sinx－1≥0，∴sinx≥eq\f(1,2).由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分)．∴x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,6)，2kπ＋\f(5π,6)))(k∈Z)．INCLUDEPICTURE"B组.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF"INET【B级能力提升】1．(BCD)[解析]当k＝－1时，P(－3，－4)，则sinα＝－eq\f(4,5)，故A错误；∵2kπ<α<2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，∴kπ<eq\f(α,2)<kπ＋eq\f(π,4)，k∈Z，∴eq\f(α,2)为第一或第三象限角，故B正确；|α|＝eq\f(l,r)＝eq\f(6－4,2)＝1，故C正确；∵0<α<eq\f(π,2)，∴sinα<tanα⇔sinα<eq\f(sinα,cosα)⇔cosα<1，故D正确．2．(B)[解析]由于M中，x＝eq\f(k,2)·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1是奇数；而N中，x＝eq\f(k,4)·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整数，因此必有M⊆N.3．(BC)[解析]由sinx≠0，cosx≠0，知x终边不在坐标轴上，若x为第一象限角，f(x)＝eq\f(sinx,sinx)＋eq\f(cosx,cosx)＋eq\f(tanx,tanx)＝3.若x为第二象限角，f(x)＝eq\f(sinx,sinx)＋eq\f(cosx,－cosx)＋eq\f(tanx,－t