2024年高考数学专项复习：导数中利用构造函数解不等式（学案+练习）

2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结(新高考通用)

素养拓展07导数中利用构造函数解不等式(精讲+精练)

一、知识点梳理

一、构造函数解不等式解题思路

利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：

(1)把不等式转化为了[g(x)]>/[Mx)]；

(2)判断函数〃尤)的单调性,再根据函数的单调性把不等式的函数符号脱掉，得到具体的不等式(组),

但要注意函数奇偶性的区别.

二、构造函数解不等式解题技巧

求解此类题目的关键是构造新函数，研究新函数的单调性及其导函数的结构形式，下面是常见函数的变形

模型1.对于>g'(x),构造h(x)=f(x)-g(x)

模型2.对于不等式f(x)>左(左wo),构造函数g(x)=/a)——+4

模型9.对于不等式f(x)+/(x)〉0,构造函数g(x)=e"(x)

拓展：对于不等式f(x)+A/(x)〉O,构造函数g(x)=*/(x)

模型4.对于不等式/'(x)-/(x)>0,构造函数g(x)=1^

e

模型5.对于不等式xf\x)+/(%)>0,构造函数g(x)=VW

拓展：对于不等式靖(x)+W(x)〉0,构造函数g(x)=x"(x)

模型6.对于不等式xf'(x)-/(x)>0,构造函数g(x)=上出(x手0)

拓展：对于不等式对'(x)-布(x)〉0,构造函数g(x)=/^

X

模型7.对于七君>0,分类讨论：(1)若/。)>0,则构造〃(x)=ln/(x)；

于(x)

(2)若1/(x)<0,则构造/?(%)=ln[—/(x)]

模型8.对于f'(x)+Inaf{x}>0(<0),构造//(%)=axf(x).

模型9.对于/•'(%)Inx+皿>0(<0),构造/z(x)=/(x)lnx.

X

模型10.(1)对于尸(%)>/(x)tanx(或1(x)</(x)tanx),即f\x)cosx-f(x)sinx>0(<0),

构造h(x)=/(x)cos].

(2)对于/'(%)851+/(%)$足龙>0(<0),构造h(x)=.

cosx

模型H.(1)f\x)sinX+/(x)cosx=[/(x)sinx]r(2)于⑴而[,⑴侬”=[21^1了

sinxsinx

二、题型精讲精练

【典例1］定义在R上的可导函数/（x）满足/（x）＜2,则〃2的取值范围

是()

A.(-oo,-l]B.00,—1C.[-1,-KX))1

D.-.4-00

3

【解析】令g(x)=/(x)-2X,贝！I,则g(x)在R上单减，

又/（间_/（1_2m）26加_2等价于/（加）_2机2/（1_2加）_2（1_2帆）,

即g(m)之g(l-2〃。，由单调性得〃区1一2m，解得加wg.故选：B.

□

【典例2】己知定义在(0,口)上的函数〃可满足2#(X)+X7'(X)<0,〃2)=；,则关于x的不等式

3

〃x)>7的解集为()

A.(0,4)B.(2,-bw)C.(4,+8)D.(0,2)

【详解】令八㈤二f/⑺，则〃'(力=2#(力+尤2/(无)<0,所以〃⑺在(0,4w)单调递减,

33

不等式可以转化为X2〃X)>4X;=22/(2),即〃(X)>〃(2),所以0<x<2.故选：D.

2

【典例9】设函数f(x)是函数F(x)的导函数，MxsR,且1(1)=2,则不等式/(x)>的解集为

()

A.(1,+a))B.(2,+oo)C.(-oo,l)D.(-00,2)

【解析】依题意，令函数g(£)=e"(£),则g'a)=/"a)+r(x)]>0,且g⑴=2e,

2

所以g(x)是7?上的增函数，/(%)>—^exf(x)>2e<^g(x)>g(l),解得x>l.故选：A

e

【典例4】定义在R上的函数/(x)的导函数为/'(x),若对任意实数了,有〃£)>/'(尤)，

且/(x)+2022为奇函数，则不等式/(x)+2022/<0的解集是()

A.(-co,0)B.(—8,仇2022)C.(0,+8)D.(2022,-H»)

【解析】设g(x)=?h则g，(「)」⑴丁⑴,

因为/(x)>/'(£)，所以g'(x)<。，g(x)为定义在R上的减函数，

因为/(x)+2022为奇函数，所以*0)+2022=0,/(0)=-2022,g(0)=芈■=一2022,

/(无)+2022/<0,即工1<一2022,g(x)<g(0),x>Q,故选：C.

【典例5】已知/(%)是定义域为卜名日的奇函数〃尤)的导函数，当。「后时，都有〃x)cos尤+((力

sinx>0,后]=」,则不等式〃x)>」一的解集为()

<4ysin%

n

C.~2

【详解】因为“X)是奇函数，所以“X)sin尤是偶函数.设/z(x)=/(x)sinx,

.•.当0<x<~时，/zr(x)=/(x)cosx+/r(x)sinx>0,

MH在区间mm上是增函数，.•.〃(£)在区间,?。)是减函数，

h[j^=h[^=f[7}sin7=1,当g<x<°时，不等式，(x)>白等价于/(x)sinx<l=〃[-7]，

当0<x<g时，不等式八无)>」一等价于〃尤)sinx>l=4q],

2smx14J

原不等式的解集为'故选：D.

【题型训练】

1.加减法模型

一、单选题

1.(2029秋•江西萍乡•高三统考期末)已知“X)是定义在R上的奇函数,/'(尤)是其导函数.当它0时,

/(x)-x2>0,且"2)=3,则"xVg(尤3+1)的解集是()

A.[-2,+oo)B.[-2,2]

C.[2,+oo)D.(-oo,-2]

2.(2029・全国•高三专题练习)已知函数〃尤)的导函数为尸(x),若对任意的x>0,都有((尤)>、，且

/(e)=3,则不等式〃x)>21nx+l的解集为()

A.(e,+oo)B.(2e,+co)C.(0,e)D.(0,2e)

9.(2029•漠河市高级中学)已知是定义在R上的奇函数，/'(尤)是函数Ax)的导函数且在[0,上

/(x)<l,/(2020-m)-f(m)>2020-2m,则实数加的取值范围为()

A.[-1010,1010]B.[1010,4w)c.(-oo,-1010]

D.(^o,-1010]U[1010,+OO)

4.(2029•全国高三专题练习)已知定义在R上的函数/(%)满足/⑴=3,对VxeR恒有/'(无)<2,则

+l的解集为()

A.[1,+co)B.C.(1,+℃)D.(-oo,l)

2.g(x)=x"/(x)和g(x)=△二模型

X

一、单选题

1.(2029•江西・瑞金市第三中学高三阶段练习(理))已知定义在R上的函数/(无)的导函数为尸(x),若

对任意的实数x,不等式好''(力+/(力<0恒成立，且"1)=3,则不等式/•(尸)<3/的解集为()

A.(-<»,0)B,C.(In3,+co)D.(1,+℃)

2.(2029秋・山西太原•高三山西大附中校考期末)设定义R在上的函数y=/(x),满足任意xeR,都有

〃x+4)=〃x),且xe(O,4]时，矿(x)>/(x),则“2021),"誓),工野3的大小关系是()

A./(2021)<Z»<Z»B,Z»</(2021)<«

C.«<^M</(2021)D,管1<-2。21)(守

9.(2029秋•陕西•高三校联考期末)定义在(0,+")上的函数八力的导函数为(⑴，且矿(x)<4/(x)恒

成立，贝I()

A.16/(1)>4/(V2)>/(2)B.16/(1)>/(2)>4/(72)

C.16/(1)<4/(72)</(2)D.16/(1)</(2)<4/(72)

4.(2029春•上海浦东新•高三上海市建平中学校考阶段练习)设定义在R上的奇函数人力的导函数为尸(x),

已知〃一2)=0,当x>0时，3/(力+矿(x)>0,则不等式〃尤)>0的解集为.

9.g(x)=*"X)和g(x)=与模型

e

一、单选题

1.(2029・贵州贵阳•高三月考(理))己知广(力是函数”力的导数，且满足广(x)+〃x)>0对恒

成立，A,3是锐角三角形的两个内角，则下列不等式一定成立的是()

A"sinA)</(sinB)R"sin4)>"sin8)

,e—sinB—esinA,-esinB—esinA

C“COSA)<"sinB)D"cosA)>〃sinB)

,e—sinB—ecos4,^esinBe—CosA

2.(2029•陕西渭南•高三期末(理))己知定义在R上的函数/(X)的导函数为/'(x),对任意xeR满足

/(力+/'("<0,则下列结论一定正确的是()

A.e2/(2)>e7(3)B.C.e7(2)>e2/(3)D.e7(2)<e2/(3)

9.(2029・全国•高三专题练习)已知函数〃尤)在x>0上可导且满足了'⑺-/(x)>0,则下列不等式一定成

立的为()

A.〃2)>仪3)B./(3)<ef(2)

c./(3)>ef(2)D./(2)<ef(3)

4.(2029•全国•高三专题练习)/(x)是定义在R上的函数，满足2"x)+/'(x)=xe)/(-1)=-^,则下

列说法正确的是()

A./(尤)在R上有极大值B.7(x)在R上有极小值

C.7(x)在R上既有极大值又有极小值D./(X)在R上没有极值

5.(2029秋.陕西汉中.高三统考期末)已知定义在R上的函数满足“力一7'(x)>0,且有“2)=2,

则〃x)>2ei的解集为()

A.B.(-oo,2)C.D.(2,+oo)

6.(2029春•广东惠州•高三校考阶段练习)己知定义在R上的函数"X)的导函数为了'(x),且

3/(x)+r(x)<0,/(ln2)=1,则不等式/(x)e3，>8的解集为()

A.(-oo,2)B.(-co,In2)C.(In2,+oo)D.(2,+co)

4.九(%)=/(%)cosx(sinx)和=(cosx)模型

cosx

一、单选题

JT

1.(2029•广东东莞市东华高级中学高三期末)已知函数》=/(x)为火上的偶函数，且对于任意的xe0,-

满足尸(元)cosx+/(尤)sin无<0,则下列不等式成立的是()

TTTT

2.已知定义在(0,1)上的函数Ax)的导函数为了'(%),且对于任意的xe(0，W),都有

f*(x)cosx<f(x)sinx,则()

A.y/2f(^-)>f(^)B.(今

43O4

C.y/3f(^)<42f(^)D.G/(g)</(g)

6463

9.(2029・辽宁・大连市第四十八中学高三期中)设奇函数/(x)的定义域为，且/(x)的图象是连续

不间断，任意尢，有/(%)cosx+〃x)sinx>0,若;/(附</

COS(-机)，则加的取值范围是(

4.(2029・江苏•高三阶段练习)已知定义在(。仁)的函数〃x)的导函数为尸(无)，且满足

/'(彳同2-/⑺为少样成立，则下列不等式成立的是()

5.(2022.湖北.高二阶段练习)奇函数〃力定义域为(-E。)。(0,万)，其导函数是f(x).当0—时，有

/'(X)sinx-/(x)cosx<0,则关于x的不等式)

A.(7,兀)日-匹-#［了万D.

6.(2021•甘肃省武威第二中学高二期中(理))对任意xe(0,3,不等式sinx-/(x)<cosx・7'(x)恒成立,

则下列不等式错误的是()

A.B./「)>2cosl"⑴C./^<A/2COS1./(1)

。■小呼小

2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结(新高考通用)

素养拓展07导数中利用构造函数解不等式(精讲+

精练)

一、知识点梳理

4〃

一、构造函数解不等式解题思路

利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求

解，方法是：

(1)把不等式转化为/口(尤)]>/[〃(司];

(2)判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“了”脱掉，得到

具体的不等式(组)，但要注意函数奇偶性的区别.

二、构造函数解不等式解题技巧

求解此类题目的关键是构造新函数，研究新函数的单调性及其导函数的结构形式，下面是

常见函数的变形

模型1.对于f'(x)>g'(x),构造h(x)=f(x)-g(x)

模型2.对于不等式f(x)>左(左片0),构造函数g(x)=/(x)—山+4

模型9.对于不等式/(x)+/(x)>0,构造函数g(x)=e"(x)

拓展：对于不等式〃%)+炉(6〉0,构造函数g(x)=e*"(x)

模型4.对于不等式f(x)-f(x)>0,构造函数g(x)=」*

模型5.对于不等式谈(x)+/(x)>0,构造函数g(x)=切心)

拓展：对于不等式对''(%)+"(x)〉0,构造函数g(x)=x"/(x)

模型6.对于不等式对"'(x)—/(x)>0,构造函数g(x)=(x/0)

拓展：对于不等式对'(x)-W(x)>0,构造函数8(%)=华

ff(x\

模型7.对于f〉0,分类讨论：⑴若/(x)>0,则构造/z(x)=ln/(x)；

f(x)

(2)若/。)<0,则构造/z(x)=ln[-〃切

模型8.对于八x)+Inqf(x)>0(<0),构造h(x)=axf(x).

模型9.对于f'(x)lnx+以乃>0(<0),构造h(x)=/(x)lnx.

X

模型10.⑴对于/'(%)>/(x)tanM或/*'(%)</(x)tanx),即

/'(%)cosx-f(x)sinx>0(<0),

构造力(％)=/(x)cosx.

(3)对于/'(%)cosX+/(%)sinX>。(<。)，构造=

cosx

模型IL(1)/r(x)sinX+f(x)cosx=[/(x)sinx]r(2)

/'(x)sinx-/(%)cos%「/(九)】,

=L--J

sin2%smx

二、题型精讲精练

【典例1]定义在R上的可导函数/(元)满足r(x)<2,若〃〃,)-/(1—2根"6根一2,则

机的取值范围是()

A.B.卜°0，；C.D.；，+00)

【解析】令g(X)=/(尤)-24贝!],则g(x)在R上单减，

又/(“7)-/(1—2〃z)>6"z—2等价于/(_2m>/(I-2m)-2(1-2m),

即g(〃7)2g(l-2m),由单调性得〃解得相故选：B.

【典例2】已知定义在(0,+口)上的函数F(x)满足2#(耳+/广(力<0,/(2)=|,则关于

3

X的不等式有的解集为()

A.(0,4)B.(2,-HX))C.(4,+oo)D.(0,2)

【详解】令Mx)=xV(x)，贝!I"(X)=24(X)+X7'(X)<0,所以％(x)在(0,母)单调递减，

不等式〃X)>/可以转化为炉〃句>4乂(=22/(2),即旗%)>网2),所以0<》<2.故选：

D.

【典例9】设函数/'(尤)是函数Ax)的导函数，VxeH,,且/⑴=2,则不等式

7•(%)>义的解集为()

e

A.(1,+oo)B.(2,+oo)C.(-oo,1)D.(-oo,2)

【解析】依题意，令函数g(x)=e"(x),则g'(x)=e[/(H+/'(切>0,且g⑴=2e,

2

所以g(x)是7?上的增函数，/(%)>—<^exf(x)>2e^g(x)>g(l),解得x>l.故

e

选：A

【典例4］定义在R上的函数/(九)的导函数为/'(x),若对任意实数了,有

/(x)>/'(x),

且/⑴+2022为奇函数，则不等式/(x)+2022/<0的解集是()

A.(-oo,0)B.(-co,Zn2022)C.(0,+“)D.(2022,”)

【解析】设g(x)=?L则g，(x))⑴]⑶,

因为/()>」(),所以g'(x)<0,g(x)为定义在R上的减函数，

因为/(%)+2。22为奇函数，所以/(。)+2022=。，f(0)=-2022,

g(°)=，。)='2022,

/(尤)+2022/<0,即工1<_2022,g(x)<g(O),x>0,故选:C.

【典例5】已知/⑺是定义域为上多年的奇函数/(x)的导函数，当0＜丈苦时，都有

〃x)cosx+/'(x)sinx＞0,=④，则不等式“司＞白的解集为()

【详解】因为“X)是奇函数，所以〃x)sinx是偶函数.设/z(x)=/(x)sinx,

.,•当0＜x＜］时，(x)=/(x)cosff(x)sinx＞0,

:.〃(可在区间［。,3上是增函数，；.成)在区间是减函数，

••"【一?》”.7值卜吟二L当一与。＜。时，不等式小)＞高等价于

/(x)sinx<l=/z

当0〈无<9时，不等式-等价于y（x）sinx>l=〃

二原不等式的解集为.故选：D.

【题型训练】

1.加减法模型

一、单选题

1.（2029秋・江西萍乡•高三统考期末）己知了（无）是定义在R上的奇函数,/（x）是其导函

数.当这0时，/（x）-x2>0,且"2）=3,则“司4（/+1）的解集是（）

A.[-2,+co)B.[-2,2]

C.[2,+co)

【答案】C

【详解】设g（x）=/（》）-g3+1）,

可得g'（x）=f（X）-Y,

因为当时，/（x）-x2>0,,

所以g（无）=/（x）-g（/+1）在［0,+e）上递增,

又因为〃尤）是定义在R上的奇函数，

所以g（x）=/（尤）一料+1）=7（尤）一宁一：的图像关于（0,一；）对称，如图,

所以g(x)在R上递增，

又因为"2)=3,所以g(2)=/(2)T(23+l)=0,

3

贝!)/(x)>|(x+1)等价于g(无)=/(尤)+1)>0=g(2),

所以xN2,即〃司4(/+1)的解集是［2,+0)),

故选：C.

2.(2029・全国•高三专题练习)已知函数的导函数为尸(x),若对任意的x>0,都

有((x)>2±,且f(e)=3,则不等式〃x)>21nx+l的解集为()

x

A.(e,+co)B.(2e,+oo)C.(0,e)D.(0,2e)

【答案】A

【详解】令g(尤)=f(x)—21nx,

2

贝！Jg'(x)=7'(尤)一一>0,

x

所以g⑴在(O,+8)上单调递增，

g(e)=/(e)-21ne=l,

/(%)〉21n%+l等价于/(x)-21n%〉l,

即g(x)>g(e),

即%>e,

所以不等式/(x)>21nx+l的解集为(e,+8).

故选：A.

9.(2029•漠河市高级中学)已知/(X)是定义在R上的奇函数，/'(X)是函数Ax)的导函

数且在[0,+8)上/'(x)<l,若/(2020—m)一/(加)22020-2相，则实数加的取值范围

为()

A.[-1010,1010]B.[1010,4w)C.(-00,-1010]

D.(^o,-1010]U[1010,+O0)

【答案】B

【解析】设g(x)=/(x)-x,贝!Jg'(x)=/(x)-l

又xe[0,+w)上，贝！Jg'(x)<0,即函数g(x)在xe[0,”)上单调递减，

又/(x)是定义在R上的奇函数，则函数g(x)为R上的奇函数，故g(x)在R上单调递减，

又/(2020-m)-f(m)>2020-2m,/(2020-m)-(2020-m)>f(rri)-m,即

g(2020-m)>g(m)

可得：2020—m<mf解得：M21010.故选：B.

4.(2029•全国高三专题练习)已知定义在R上的函数/(%)满足/⑴=3,对VxeR恒有

/'(x)<2,则〃x)22x+l的解集为()

A.B.(-co,l]C.(l,+°o)D.(-00,1)

【答案】B

【解析】令尸(x)=/(x)—2x—1,贝！j尸(x)=/'(%)—2,又因为对VxeR恒有/'(x)<2

所以F'(x)=/'(尤)一2<0恒成立，所以F(x)=〃幻—2x—1在R上单减.

又尸⑴=7'⑴一2—1=0,所以尸。)20的解集为(一8』故选：B

2.g(x)=x"/(x)和g(x)=43模型

一、单选题

1.（2029•江西•瑞金市第三中学高三阶段练习（理））已知定义在R上的函数/（X）的导函

数为（⑺，若对任意的实数尤，不等式犷'（力+/（耳＜。恒成立，且〃1）=3,则不等式

f（er）＜3e，的解集为（）

A.（-ao,0）B.（-co,-l）C.（In3,+oo）D.（l,+oo）

【答案】A

【详解】设g（x）=4（x），则夕（尤）=矿（力+〃力＜0,所以g（x）在R上单调递减；

由/（/）＜3/,得⑴，即g（e-，）＜g（l）,所以解得尤＜0.故选：

A.

2.（2029秋•山西太原•高三山西大附中校考期末）设定义R在上的函数y=/（尤），满足任意

xeR,都有/（x+4）=/（x）,且xe（O,4］时，xf\x）＞/（x）,则/（2021）,以产,〃：23）

的大小关系是（）

A./（2021）＜W＜Z»B,®＜/（2021）＜Z»

c./«＜Z»＜/（202］）D,Z»＜/（2O21）＜Z»

【答案】A

【详解】依题意，任意xeR,都有/卜+4）=〃尤），所以〃尤）是周期为4的周期函数.

/（2022）_/（2）/（2023）_/（3）

所以〃2021)=f(l),

2233

构造函数,

所以网X)在区间(0,4]上单调递增，所以F(l)<F(2)<F(3),

即如也(2021)<3h3T

123v723

故选：A

9.(2029秋・陕西•高三校联考期末)定义在(0,+。)上的函数/⑴的导函数为广(%),且

矿(x)<4/(x)恒成立，则()

A.16/(1)>4/(A/2)>/(2)B.16/(1)>/(2)>4/(A/2)

C.16/(1)<4/(^)</(2)D.16/(1)</(2)<4/(A/2)

【答案】A

【详解】设函数g(x)=0，x>0,则,

所以g(力在(0,+功上单调递减，从而g⑴>g(及)>g⑵,

”1)/(R"2)

即,则16/(1)>4/(夜)(2).

I424

故选：A.

4.(2029春•上海浦东新•高三上海市建平中学校考阶段练习)设定义在R上的奇函数/(x)

的导函数为尸(x),已知/(-2)=0,当x>0时，的⑺+靖(尤)>0,则不等式〃力>0的

解集为•

【答案】(―2,0)U(2,E)

【详解】令g(x)=£〃x),取x«y,o)"o,=),则函数g(x)为偶函数，

当尤>0时，3/(%)+矿(x)>0,故3%2/(力+炉/(x)>0,即g[x)〉o,

由偶函数性质知，函数g(x)在xe(Y⑼是严格减函数，在xe(O,y)是严格增函数,

又g(/-2、)=-8/(/-2x)=。，故//⑺、>°等价[x于<0或「fx⑺>0>°，

解得尤e(-2,0)U(2,y).

故答案为：(-2,0)U(2,+8)

9.g(x)=e*"(x)和g(x)=坐模型

e

一、单选题

1.(2029•贵州贵阳•高三月考(理))已知尸⑺是函数/(X)的导数,且满足f'(x)+〃x)>0

对xe[0』恒成立，A,B是锐角三角形的两个内角，则下列不等式一定成立的是()

A/(sinA)/(sinB)B/(sinA)/(sing)

,e—sinBe—sinA,e—sinBe—sinA

C/(cosA)；/(sinB)口〃cosA),“sin8)

,e—sinB—ecosA,—esinBe^cosA

【答案】c

【分析】先令g(x)=e"(x),求导，根据题意，得到g(x)=e"(x)在区间[0,1]上单调递增，

再由题意，得到cosAvsinB,进而可得出结果.

【详解】令g(x)=e'/(x),则g'(x)=(〃x)+〃x))el

因为广(x)+〃x)>0对xe[0』恒成立，所以g'(x)>。对xe[0』恒成立，g(x)=exf(x)

在区间[0』上单调递增；

7TTT

又『A,8是锐角三角形的两个内角，...A+B>5，二4>万-2,.•.cosAvsinB,

因此g(cosA)<g(sin8),即e8s4〃cosA)<eSinB〃sin3),二小学回望.故选：C.

esinecos

2.（2029•陕西渭南•高三期末（理））已知定义在R上的函数/（x）的导函数为（（无），对

任意xeR满足/（力+/'（力＜0,则下列结论一定正确的是（）

A.e2/（2）＞e7（3）B.C.e7（2）＞e2/（3）

D.e3/（2）＜e2/（3）

【答案】A

【详解】构造函数g（x）=e"（x），则g'⑺=e[r（x）+”切,因为/（x）+f（x）＜0,故

g'（x）＜。，

因此可得g（x）在R上单调递减,由于2＜3,故8出＞8（3）=62〃2）*〃3）,故选：A

9.（2029・全国•高三专题练习）已知函数在x＞0上可导且满足/'（x）-/（x）＞0,则下

列不等式一定成立的为（）

A.〃2）＞叭3）B./（3）＜ef（2）

C./（3）＞e/-（2）D.〃2）＜y⑶

【答案】C

【详解】构造函数g（x）=/学，

e

、/W'-ywfe'）「⑴一/（x）c疗卡一

g（X）=---------,、2=、＞0在X＞0时恒成H，

Me

所以g（x）=驾在无＞0时单调递增，

e

所以g（3）＞g（2）,即所以〃3）＞炉⑵，

故选:C.

4.（2029・全国•高三专题练习）〃x）是定义在R上的函数，满足2/（力+/'（力=氏）

/(T)=-上，则下列说法正确的是()

2e

A.〃x)在R上有极大值B.〃尤)在R上有极小值

C./(无)在R上既有极大值又有极小值D.“X)在R上没有极值

【答案】D

【详解】解：根据题意，2f(x)+f,(x)=xex,故+广(—l)=-eT,

又〃T)=-；，得2(-：]+-(-1)=_,，故/'(-1)=0,

，eize)e

令g(x)=e"/(x),

则g，(x)=2e2V(^)+e2T(x)=e2j;[2/(%)+/(%)]=e"•xe，=.心，

即2e2，/(x)+e2V'(x)=xe3',

记h[x}=(x)=%e3x-2e2x/(x)=xe3x-2g(x),

所以〃(x)=e3x+3xe3x-2g'(x)=e3x+3xe3x-2xe3x=e3x(x+l),

当x<-l时，〃(x)<0,当x>—l时，/Z(x)>0,

所以函数〃(%)在(-8,-l)上递减，在上递增，

所以网x”/z(T)=e2r(—1)=0,即e2了⑴即广(力20,

所以〃尤)在R上单调递增，故/(无)在R上没有极值.

故选项ABC说法错误，选项D说法正确.

故选:D

5.(2029秋•陕西汉中•高三统考期末)已知定义在R上的函数“可满足/⑺-/'(x)>0,

且有"2)=2,则〃x)>2ei的解集为()

A.(-℃,1)B.(f,2)C.(1,+<»)D.(2,+co)

【答案】B

，/、f'(xYex-f(xYexf'(x)-f(x)

【详解】设/(x)="f(At则产(x)=/L=<『一]<0,

.•.*x)在R上单调递减.

又"2)=2,则网2)=萼=2.

ee

•••f(x)>2]-2等价于ZH>3,BPF(X)>F(2),

ee

.•.x<2,即所求不等式的解集为(y,2).

故选：B.

6.(2029春・广东惠州•高三校考阶段练习)己知定义在R上的函数"X)的导函数为了'(%),

且3/(x)+f(x)<O"(ln2)=l,则不等式/(%把3，>8的解集为()

A.(-oo,2)B.(-co,In2)C.(In2,+oo)D.(2,+oo)

【答案】B

【详解】令g(x)=e3"(x),函数g(x)的定义域为R,

因为3〃x)+广(x)<0

3r3x

所以，(e)'f(X)+ef(x)<0

故/(%)=(巧(x)”0

故g(x)在R上单调递减，

又因为“In2)=l

所以，g(ln2)=e3ta2/(ln2)=8,

所以不等式f(x)e3x>8可化为g(x)>g(In2),

所以尤vln2,

所以，(X把3工＞8的解集为(y,ln2)

故选：B.

4.A(X)=f(x)cosx(sinx)和=(cosx)模型

cosx

一、单选题

1.(2029•广东•东莞市东华高级中学高三期末)已知函数y=/(x)为R上的偶函数，且对

于任意的xe0,|^|满足/(x)cosx+/(x)sinx＜0,则下列不等式成立的是()

【答案】B

【详解】解：偶函数，=/(%)对于任意的尤e0,5j满足尸(无)cosx+/(x)sin尤＜0,

f(x)

令g(x)=则g(—x)=X)、=以2=g(x),即g(x)为偶函数.

cosxcos(-x)cosX

又g,(x)=＜。，故g(x)在区间r0,9)上是减函数,

cosx|_2J

所以g(0)>g

n

即/(0)=*(4

>----=故B正确;

cost)n

cos—

4

故D错误;故选：B.

jrjr

2.已知定义在(0，w)上的函数/(%)的导函数为了'(x),且对于任意的%w(O，w),都有

f*(x)cosx<f(x)sinx,则()

71

A.B.V2/(|)<73/A

o4

c.6皑)〈旧白

64

【解析】由题意：构造函数，

则在恒成立，

所以g(x)在(0,3单调递减,

所以

兀71>cos^gj>cos^/gj)

所以cos：/

6

即多⑶■佃，佃

故选：A

9.(2029・辽宁・大连市第四十八中学高三期中)设奇函数的定义域为［4eJ,且

的图象是连续不间断，任意有/''(x)cosx+y(x)sinx>。，若

1/(m)</f|Xos(-m),则加的取值范围是()

【答案】C

【详解】令g(x)=@,定义域为

COS%

因为函数y=y(x)为奇函数，所以g(-x)==,

COSIXICOSJC

则函数g(x)=d?是定义在(d上的奇函数，g，(x)=.(x)cos»〃x)sinx,

cos尤<LL)cosx

因为任意的xe，；,。｝有/,(%)cosx+/(%)sinx>0,

所以当时，g'(x)>0,则g(x)=△。在xe\*o］上单调递增，

则函数g(x)=△立是Ju］上的奇函数并且单调递增，

cos尤12Zy

由，

因为所以COS,">0,/H<\2,即8⑻翼图，所以帆J,

22cosmcqs3