专题10 几何压轴中的证明与猜想题型（解析版）

专题10几何压轴中的证明与猜想题型几何压轴中证明与猜想题指有些数学问题的条件、结论或解决方法不确定或不唯一，需要根据题目的特点进行分析、探索，从而确定出符合要求的答案(一个、多个或所有答案)或探索出解决问题的多种方法．该题型对考查学生思维能力和创造能力有积极的作用，是近几年各地中考命题的一个热点．通常这类题目有以下几种类型：条件开放与探索，结论开放和探索，条件与结论都开放与探索及方案设计、命题组合型、问题开放型等．考生在复习时，首先对于基础知识一定要复习全面，并力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系，选择合适的解题途径完成最后的解答．由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑：1．利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律．2．反演推理法（反证法），即假设结论成立,根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致．3．分类讨论法．当命题的题设和结论不唯一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果．4．类比猜想法．即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证． （2022·贵州黔西·统考中考真题）如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD边上的点（点E不与点B，C重合），且．(1)当时，求证：；(2)猜想BE，EF，DF三条线段之间存在的数量关系，并证明你的结论；(3)如图2，连接AC，G是CB延长线上一点，，垂足为K，交AC于点H且．若，，请用含a，b的代数式表示EF的长．（1）先利用正方表的性质求得，，再利用判定三角形全等的“SAS”求得三角形全等，然后由全等三角形的性质求解；（2）延长CB至M，使，连接AM，先易得，推出，，进而得到，最后利用全等三角形的性质求解；（3）过点H作于点N，易得，进而求出，再根据（2）的结论求解．【答案】(1)见解析(2)，见解析(3)【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴，．在和中，∴，∴；（2）解：BE，EF，DF存在的数量关系为．理由如下：延长CB至M，使，连接AM，则．在和中，∴，∴，．∵，∴．∴∠MAE=∠FAE，在和中，∴，∴EM=EF，∵EM=BE+BM，∴；（3）解：过点H作于点N，则．∵，∴，∴．在和中，∴，∴．∵，，∴，∴，由（2）知，．本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值，作出辅助线，构建三角形全等是解答关键．（2022·山东济南·统考中考真题）如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE．(1)判断线段BD与CE的数量关系并给出证明；(2)延长ED交直线BC于点F．①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为_______；②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数，并说明理由．（1）利用等边三角形的性质和旋转的性质易得到，再由全等三角形的性质求解；（2）①根据线段绕点A按逆时针方向旋转得到得到是等边三角形，由等边三角形的性质和（1）的结论来求解；②过点A作于点G，连接AF，根据等边三角形的性质和锐角三角函数求值得到，，进而得到，进而求出，结合，ED＝EC得到，再用等腰直角三角形的性质求解．【答案】(1)，理由见解析(2)①；②，理由见解析【详解】（1）解：．证明：∵是等边三角形，∴，．∵线段绕点A按逆时针方向旋转得到，∴，，∴，∴，即．在和中，∴，∴；（2）解：①理由：∵线段绕点A按逆时针方向旋转得到，∴是等边三角形，∴，由（1）得，∴；②过点A作于点G，连接AF，如下图．∵是等边三角形，，∴，∴．∵是等边三角形，点F为线段BC中点，∴，，，∴，∴，，∴，即，∴，∴．∵，，∴，即是等腰直角三角形，∴．本题主要考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，理解相关知识是解答关键．（2022·广东深圳·统考中考真题）（1）【探究发现】如图①所示，在正方形中，为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于点．求证：（2）【类比迁移】如图②，在矩形中，为边上一点，且将沿翻折到处，延长交边于点延长交边于点且求的长．（3）【拓展应用】如图③，在菱形中，，为边上的三等分点，将沿翻折得到，直线交于点求的长．（1）根据将沿翻折到处，四边形是正方形，得，，即得，可证；（2）延长，交于，设，在中，有，得，，由，得，，，而，，可得，即，，设，则，因，有，即解得的长为；（3）分两种情况：（Ⅰ）当时，延长交于，过作于，设，，则，，由是的角平分线，有①，在中，②，可解得，；（Ⅱ）当时，延长交延长线于，过作交延长线于，同理解得，．【答案】（1）见解析；（2）；（3）的长为或【详解】证明：（1）将沿翻折到处，四边形是正方形，，，，，，；（2）解：延长，交于，如图：设，在中，，，解得，，，，，，即，，，，，，，，即，，设，则，，，，即，解得，的长为；（3）（Ⅰ）当时，延长交于，过作于，如图：设，，则，，，，，沿翻折得到，，，，是的角平分线，，即①，，，，，在中，，②，联立①②可解得，；（Ⅱ）当时，延长交延长线于，过作交延长线于，如图：同理，，即，由得：，可解得，，综上所述，的长为或．本题考查四边形的综合应用，涉及全等三角形的判定，相似三角形的判定与性质，三角形角平分线的性质，勾股定理及应用等知识，解题的关键是方程思想的应用．1．（2022·安徽合肥·校联考三模）已知分别是四边形和四边形的对角线，点E在的内部，．(1)探索发现：如图1，当四边形和四边形均为正方形时，则的度数为；(2)引申运用：如图2，当四边形和四边形均为矩形时，①若，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；②若，，求线段的长；(3)联系拓展：如图3，当四边形和四边形均为菱形且时，设，试探究a，b，c三者之间的等量关系，并说明理由．【答案】(1)(2)①（1）中的结论还成立；证明见解析；②(3)．理由见解析【分析】（1）根据正方形的性质得到，，由相似三角形的性质得到，由余角的性质得到；（2）①如图2，连接，设，，于是得到，，根据勾股定理得到，，推出，根据相似三角形的性质得到，于是得到；②根据相似三角形的性质得到，，推出，设，得到，，根据勾股定理即可得到结论；（3）首先根据，可得，在中，根据勾股定理可求得之间的关系，之间的关系；然后根据相似三角形判定的方法，判断出，即可用b表示出的值；最后判断出，在中，根据勾股定理，判断出a，b，c三者之间满足的等量关系即可．【详解】（1）解：∵四边形和四边形均为正方形，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∴；故答案为：；（2）解：①若，（1）中的结论还成立；证明：如图2，连接，∵，，∴，∴，设，，∴，，∴，，∴，∴，∵，，∴，∴；②∵，∴，，又∵，∴，∴，设，又∵，∴，，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴；（3）解：同理可得，如图3，过C点作延长线于H，∵四边形为菱形，∴，设，∵，∴，，∴，∴，同理可得，∴，在和中，，∵四边形和四边形均为菱形，，∴，∴，∴，∴，∴，，又∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，即a，b，c三者之间满足的等量关系是：．2．（2022·浙江宁波·校考三模）【基础巩固】(1)如图①，在四边形中，，，求证∶；(2)【尝试应用】如图②，在平行四边形中，点在上，与互补，，求的长；(3)【拓展提高】如图③，在菱形中，为其内部一点，与互补，点在上，，且，，求的长．【答案】(1)见解析(2)(3)【分析】（1）由，可得，再利用，即可得出；（2）根据两组角相等可求得，可得，进而可求得的值；（3）延长交于G，则四边形是平行四边形，，由得，由（2）可得．，，可得，即，，根据菱形得，则，即可求解．【详解】（1）证明：∵，∴，又∵，∴；（2）解：∵四边形是平行四边形，∴，，，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（3）解：延长交于G，∵四边形是菱形，∴，，∵，∴四边形是平行四边形，∴，∵，∴，∴，由（2）可得．，∴，∴，∴，，∴，∴，∴，∴．3．（2022·山东济南·统考模拟预测）（1）【问题情境】如图，四边形是正方形，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接、，则与的数量关系是______；（2）【类比探究】如图，四边形是矩形，，，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接、．判断线段与有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；（3）【拓展提升】如图3，在（2）的条件下，连接，则的最小值为______．【答案】（1）；（2）．理由见解析；（3）【分析】（1）通过证明全等，得到；（2）通过证明得到，，延长相交于点H．可以证明；（3）作于N，交的延长线于M．首先证明点G的运动轨迹是线段，将的最小值转化为求的最小值．【详解】解：，理由：∵正方形，∴，∵正方形，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴；（2）解：．理由如下：延长相交于点H．∵矩形、矩形，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，，∴，∵矩形，∴，∴，，∴，∴；（3）解：作于N，交的延长线于M．∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴点G的运动轨迹是直线，作点D关于直线的对称点，连接交于G，此时的值最小，最小值为，由（2）知，，∴，∴，∴的最小值就是的最小值．∵，∴的最小值为，故答案为：．4．（2022·江苏苏州·校考一模）【理解概念】定义：如果三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准直角三角形”．(1)已知△ABC是“准直角三角形”，且．①若，则______；②若，则______；【巩固新知】(2)如图①，在中，，点D在边上，若是“准直角三角形”，求的长；【解决问题】(3)如图②，在四边形中，，且是“准直角三角形”，求的面积．【答案】(1)①15；②10或25(2)或(3)的面积为48或24【分析】（1）①根据三角形内角和定理求解即可；②根据三角形内角和定理求解即可；（2）根据题意可分为①当时，过点D作于H，结合勾股定理求解；②，结合相似三角形的判定和性质求解即可；（3）过点C作于F，，交的延长线于E，设，根据和可得，即可证明，可得，进而分情况讨论求解：当时和当．【详解】（1）①当时，则，∴（不合题意舍去），当，则，∵，∴，∴，综上所述：，故答案为：15；②当时，则，∴，当，则，∵，∴，∴，综上所述：或，故答案为：10或25；（2）当时，如图①，过点D作于H，在中，，∴，∵，∴，又∵，∴，∵，∴，∴，当时，∵，，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，综上所述：或；（3）如图②，过点C作于F，，交的延长线于E，设，∵，∴，又∵，∴，又∵，在和中，，∴，∴，当时，又∵，∴，由（2）可知：，设，则，∴，∴，∴，当，又∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，综上所述：的面积为48或24．5．（2022·福建福州·福建省福州教育学院附属中学校考模拟预测）问题发现．(1)如图，中，，，，点是边上任意一点，则的最小值为______．(2)如图，矩形中，，，点、点分别在、上，求的最小值．(3)如图，矩形中，，，点是边上一点，且，点是边上的任意一点，把沿翻折，点的对应点为，连接、，四边形的面积是否存在最小值，若存在，求这个最小值及此时的长度．若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，最小值为，【分析】（1）根据点到直线的距离最小，再用三角形的面积即可得出结论；（2）先根据轴对称确定出点M和N的位置，再利用面积求出CF，进而求出CE，最后用三角函数即可求出的最小值；（3）先确定出时，四边形的面积最小，再用锐角三角函数求出点G到AC的距离，最后用面积之和即可得出结论，再用相似三角形得出的比例式求出CF即可求出BF．【详解】（1）如图①，过点C作于P，根据点到直线的距离垂线段最小，此时CP最小，在Rt中，，根据勾股定理得，，∵∴，故答案为；（2）如图，作出点关于的对称点，连接交于点，过点作于，交于，连接，此时最小；四边形是矩形，，，根据勾股定理得，，，，，由对称得，，在中，，，在中，；即：的最小值为；（3）存在．如图，四边形是矩形，，，，根据勾股定理得，，，，点在上的任何位置时，点始终在的下方，设点到的距离为，，要四边形的面积最小，即：最小，点是以点为圆心，为半径的圆上在矩形内部的一部分点，时，最小，由折叠知，延长交于，则，在中，，在中，，，，，，过点作于，，，四边形是矩形，，，，，，，．6．（2022·广东东莞·东莞市光明中学校考三模）中，，，点为直线上一动点点不与，重合，以为边在右侧作菱形，使，连接．(1)观察猜想：如图，当点在线段上时，与的位置关系为：______．，，之间的数量关系为：______；(2)数学思考：如图，当点在线段的延长线上时，结论，是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．(3)拓展延伸：如图，当点在线段的延长线上时，设与相交于点，若已知，，求的长．【答案】(1)①；②(2)①成立，证明