专题09 三点共线问题（原卷版）

专题09三点共线问题一、【知识回顾】【三点共线模型】①函数模型：构建平面直角坐标系，求出三个点坐标，其中两个点构建一次函数模型，判断第三个点是否在函数图像上，满足则共线②平角模型如图，要证明A、B、C三点共线，可以选择一条过B点的直线PBQ，并连接AB、CB，证明∠ABP与∠CBP互为邻补角，即∠ABP+∠CBP=180°③平行线模型如图，要证明A、B、C三点共线，先证明AB∥DE，在证明BC∥DE④垂线模型如图，要证明A、B、C三点共线，先证明AC⊥MN，在证明A⊥MN【三线共点模型】①证明两条线的交点，在第三条直线上②证明三条线中两条线的交点和另外两条线的交点是同一个二、【考点类型】考点1：三点共线典例1：（2022秋·福建泉州·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，，将绕点B按顺时针方向旋转得到，当点E恰好落在线段上时，连接，的平分线交于点F，连接．(1)求的长；(2)求证：C、E、F三点共线．【变式1】（2022春·福建泉州·九年级校考阶段练习）在中，，，，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，点，的对应点分别是，，连接．(1)如图，当点恰好在上时，求的大小；(2)如图，若，点是的中点，判断四边形的形状，并证明你的结论．(3)如图，若点为中点，求证：、、三点共线．求的最大值．【变式2】（2021春·福建厦门·九年级校考阶段练习）抛物线C1：y＝﹣x2+2mx﹣m2+m+3的顶点为A，抛物线C2：y＝﹣（x+m+4）2﹣m﹣1的顶点为B，其中m≠﹣2，抛物线C1与C2相交于点P．(1)当m＝1时，求抛物线C1的顶点坐标；(2)已知点C（﹣2，1），求证：点A，B，C三点共线；(3)设点P的纵坐标为q，求q的取值范围．【变式3】（2022秋·福建福州·九年级统考期末）如图，已知矩形ABCD中，于点E，．(1)若，求CE的长；(2)设点C关于AD的对称点为F，求证：B，E，F三点共线．考点2：三线共点典例2：（2021·福建·统考中考真题）如图，已知线段，垂足为a．（1）求作四边形，使得点B，D分别在射线上，且，，；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）设P，Q分别为（1）中四边形的边的中点，求证：直线相交于同一点．【变式1】（2020·福建·统考中考真题）如图，为线段外一点．（1）求作四边形，使得，且；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的四边形中，，相交于点，，的中点分别为，求证：三点在同一条直线上．巩固训练、单选题1．（2023春·八年级课时练习）如图，正方形ABCD中，AB＝4，延长DC到点F（0＜CF＜4），在线段CB上截取点P，使得CP＝CF，连接BF、DP，再将△DCP沿直线DP折叠得到△DEP．下列结论：①若延长DP，则DP⊥FB；②若连接CE，则；③连接PF，当E、P、F三点共线时，CF＝4﹣4；④连接AE、AF、EF，若△AEF是等腰三角形，则CF＝4﹣4；其中正确有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个2．（2023·全国·八年级专题练习）如图，在长方形ABCD中，ADBC，ABCD，E在AD上．AD＝m，AE＝n（m＞n＞0）．将长方形沿着BE折叠，A落在A′处，A'E交BC于点G，再将∠A′ED对折，点D落在直线A′E上的D′处，C落在C′处，折痕EF，F在BC上，若D、F、D′三点共线，则BF＝（）A．m+n B． C． D．m﹣n3．（2022秋·贵州黔西·九年级统考期末）如图，⊙O的半径为2，PA，PB，CD分别切⊙O于点A，B，E，CD分别交PA，PB于点C，D，且P，E，O三点共线．若∠P＝60°，则CD的长为（）A．4 B．2 C．3 D．64．（2022秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AB=6，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转到Rt△A’B’C．当A’、B’、A三点共线时，AA’=（

）A． B． C． D．5．（2022秋·山东日照·八年级统考期中）如图，已知和都是等边三角形，且、、三点共线．与交于点，与交于点，与交于点，连结．以下五个结论：①；②；③；④是等边三角形；⑤．其中正确结论的有（

）个A．5 B．4 C．3 D．2二、填空题6．（2023秋·浙江宁波·九年级统考期末）如图，在正方形中，点E在上，，连接，取中点F，过F作且使得，连接并延长，将绕点C旋转到，当，，三点共线且时，______．7．（2023·全国·九年级专题练习）如图中，与的平分线相交于H，过点H作交于E，交于F，于D，以下四个结论①；②；③点H到各边的距离相等；④若B，H，D三点共线时，一定为等腰三角形．其中正确结论的序号为_____．8．（2022春·福建龙岩·八年级校联考期中）已知矩形ABCD中，AB=8，BC=10，将△ABE沿BE对折，点A的对应点为，连接C，当E、、C恰好三点共线时，AE的值为____________9．（2022春·福建泉州·八年级统考期末）如图，在中，E点是BD的中点，MN经过E点分别与AD、BC相交于点M、N．下列四个结论：①；②；③A、C、E三点共线；④若，则．其中正确的结论有____．（写出所有正确结论的序号）10．（2022·福建·模拟预测）在平面直角坐标系中，点都在反比例函数的图象上，且．现给出以下说法：①若A，O，B三点共线，则；②若，则A，O，B三点共线；③线段OA长度的最小值是；④以A，O，B为顶点的三角形不可能是直角三角形．其中正确的是__________．（写出所有正确说法的序号）三、解答题11．（2022秋·福建泉州·八年级统考期末）如图，在中，，在中，，，．(1)试说明与满足什么等量关系时，点D、点C、点E三点共线．(2)连接，连接交于F点，若点F恰好是线段的中点，求证：．12．（2023秋·河北邯郸·九年级统考期末）如图，在中，，，，动点从点出发，沿以每秒5个单位长度的速度向终点运动，过点作于点，将线段绕点逆时针旋转90°得到线段，连接．设点的运动时间为秒．(1)线段的长为__________，线段的长为__________（用含的代数式表示）；(2)当点与点重合时，求的值；(3)当、、三点共线时，求的值；(4)当为钝角三角形时，直接写出的取值范围．13．（2022秋·福建泉州·八年级校考阶段练习）如图，是等腰直角三角形，，，D在线段上，E是线段的一点．现以为直角边，C为直角顶点，在的下方作等腰直角，连接．(1)如图1，求证：．(2)当A、E、F三点共线时，如图2，若，求的长．(3)如图3，若，连接，当E运动到使得时，求的面积．14．（2022秋·福建龙岩·九年级校联考期中）如图，在等腰直角中，，，点，分别为，的中点，为线段上一动点（不与点，重合），将线段绕点逆时针方向旋转得到，连接交于点．(1)证明：；(2)①当点F运动到什么位置时，四边形是正方形？请你说明理由；②当时，求证：点三点共线．15．（2022秋·福建泉州·九年级校考阶段练习）已知直线y＝﹣2x