2024-2025学年重庆市万州区高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年重庆市万州区高二(上)期中数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.直线y=100—8久的倾斜角为()

A.30°B.60°C,120°D.150°

2.若直线ax+3y+6=0与直线办：久+(a+2)y-2=0平行，则a=()

A.-3B.1C.-~D.-1

3.已知圆+y2+8久-4y+19=0的圆心为c,。为坐标原点，则以。C为直径的圆的标准方程为()

A.(x—2)2+(y+1)2=5B.。+2产+(y—l)2=5

C.(x+2/+(y-l)2=20D.(x-2)2+(y+I)2=20

4.若位石工｝构成空间的一个基底，则下列选项中能作为基底的是()

————————>T———

A.a—c,a—b,b—cB.a+c,b,a+c—b

—>—>—>—>—>—>—>—>—>.—>—>

C.b+a,b—a+c,c+2bD.a+b,b+c9a+c

5.空间内有三点P(-l,2,3),E(2,l,l),F(l,2,2),则点P到直线EF的距离为()

A.A/2B.A/3C.2A/2D.2^/3

6.在空间四边形。ABC中，OA=a,^B=b,OC=c,且丽=2耐，~BN=2NO,则丽=()

1-*lr2^1-2^2T

AA.——a+—D+—cB.——a+—b——c

C2TlM2T1—i-»2T

C.——a+-b——cD.——a+—b——c

7.某手机信号检测设备的监测范围是半径为200/n的圆形区域，一名人员持手机以每分钟50nl的速度从设

备正东200平税的4处沿西偏北30。方向走向位于设备正北方向的B处，则这名人员被持续监测的时长约为

()

A.2分钟B.3分钟C.4分钟D.5分钟

8.如图，在四面体4BCD中，平面4CD1平面力BC,△力BC是边长为6的正三角

形，△4CD是等腰直角三角形，ZXDC=90°,E是4C的中点，CF=^CB,DG

=2而，若4G〃平面DEF,贝D=()

A.1B.|C.|D.1

Z343

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知正方体力BCD-a/iCiDi的棱长为1,贝|()

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A.-AC=1B.AB-A^C=1C.CD-AB[=1D,AB-砸=1

10.已知圆C：久2+外一4久+2y+i=o与直线/：4x_3y+m=0,点P在圆C上，点Q在直线/上，则下列

说法正确的是()

A.若巾=9,则直线/与圆C相切

B.若圆C上存在两点关于直线1对称，则爪=-11

C.若m=14,则|PQbn讥=3

D.若爪=14,从Q点向圆C引切线，则切线长的最小值是声

11.如图，正方体4BCD—A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别为ZB,BC的中点，P为

底面力B—CD内的动点，且徒，贝1」()

A.动点P的轨迹长度为与

B.存在点P,使异面直线DiP与EF所成的角为?

C.点P到平面DiEF的距离的最小值为6":2回

D.点P到平面DiEF的距离的最大值为寻

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知直线/垂直于直线x+2y-1=0,且过点P(-2,3),则直线[的斜截式方程为；在x轴上的截距

为.

13.己知向量2=(-4,0,1),b=(2,73.3),贝g在另方向上的投影向量的模为.

14.已知圆C：(尤+2)2+(y—1)2=8,直线1：4x-y-8=0,M为直线1上一动点，N为圆C上一动点，定点

P(2,3),则|MN|+|MP|的最小值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

已知点4(—1,1),8(。,—1),。(3,0),且四边形4BCD是平行四边形.

(1)求点。的坐标；

(2)求平行四边形4BCD的面积.

16.(本小题15分)

如图，在四棱锥4—BCED中，底面BCED为直角梯形，DE//BC,DE1CE,AD=BD=CD=BC,AC=

*AE=\/2CE.

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(1)判断直线48与CD是否垂直，并说明理由;

(2)求平面4DE与平面4CD的夹角的余弦值.

17.(本小题15分)

已知圆的：%2+y2-2%+2y=0与圆。2相交于P，Q两点，直线PQ的方程为％-旷一2=0.

(1)若圆。2的圆心在圆G外，求圆。2的半径的取值范围；

(2)若P(0,-2),B是圆。2上的动点，且APBC2的面积的最大值为5,求圆C2的方程.

18.(本小题17分)

如图，在棱长为2的正方体aBCD-AiB©小中，E为BC的中点，P为底面ABCD内一动点(包括边界)，且满

足BiP1DiE.

(1)是否存在点P,使得BiP〃平面DiDE?

(2)求为P的取值范围.

⑶求点P到直线的距离的最小值.

19.(本小题17分)

古希腊数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k(k>0且卜41)的点的

轨迹是圆后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中，N(l,0),动点Q满足需=2,

设动点Q的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的轨迹方程；

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(2)若直线x—y+1=0与曲线。交于力，B两点，求|力B|；

(3)若曲线C与x轴的交点为E,F,直线I：x=my_l与曲线C交于G,H两点，直线EG与直线FH交于点D,

证明：点D在定直线上.

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参考答案

1.C

2.B

3.5

4.D

5.4

6.D

7.C

8.A

9.AB

10.BC

11.ACD

12.y=2%+7

喉

14.2"

15.解：(1)根据题意，直线4B的斜率为心B=%=-2,

所以直线4B的方程为y-l=-2(x+l),即y=-2x-l,

因为直线CD与直线48平行，且过C(3,0),

所以直线CD的方程为y=-2(%-3),即y=-2x+6.

直线BC的斜率为kmc=

U-JD

因为直线AD与直线8C平行，且过4(-1,1),

所以直线4。的方程为y-l=|(x+1),即y=1%+|.

y=-2.x+6(y—3

由正=3+号，解得］),即点。的坐标为(2,2).

(2)因为MB|=次一1一0)2+(1+1，=5

且点C(3,0)到直线48的距离d=号集*=等，

所以平行四边形力BCD的面积S=\AB\-d=7.

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16.1?：(1)48和CD不垂直，理由如下：

设4E=CE-a(a>0),贝(lAC=也a,

在△BCD中，BD=CD=BC,所以△BCD为等边三角形，所以NBCD=60°,

因为DE1CE,DE//BC,所以8C1CE,从而NDCE=30。，

所以在直角△DEC中，CD=—^=久％,DE=CExtan300=2,

又因为4。=CD,所以4。=噜1,所以在ADEA中，满足。+4《2=2。2,

故ADE力为直角三角形，则OE14E,

又因为DE1CE,CEnX£=E,所以DE1平面ACE；

因为AC="AE=.CE,所以AC2=4^2+CE2,所以CE1AE,

故以点E为坐标原点，EC,EA,ED所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

y

设DE=1,贝!=BD=CD=BC-2,AE=CE=^/3,AC=y[6

所以E(0,0,0),71(0,73,0),5(73,0,2),C(G，0,0),£>(0,0,1),

所以4B=CD=(—^/3,0,l),

所以方•而=-3+0+2大0,

所以荏1而不成立，故48和CD不垂直.

(2)由(1)可知CE1AE,CE1DE,AEnDE=E,所以CE_L平面ADE,

故前=(8,0,0)为平面ADE的一个法向量,

又方=(0,避1),反=(避,0,-1),

设平面力CD的法向量元=(x,y,z),

n-DA=0

取z=8，贝!|工=1,y=1,

故元=(1,1,73),

设平面4DE与平面4CD的夹角为仇

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所以cos。=|cos<n,£C>|=*£1

11\n\x\EC\y[3xyf55

所以平面ADE与平面AC。的夹角的余弦值为宰.

17.解:(1)由圆Ci：壮+y2—2%+2y=0可化为(x—1)2+(y+1)2=2,

可得圆Ci的半径ri=避，圆心为(1,—1),且圆心(1,—1)在直线PQ上.

因为圆C2的圆心在圆Ci外，

所以连结C1C2，|C1C2|>".

又因为C1C2IPQ,连接C2Q,

在RtACiCzQ中，圆心的半径GQI=)"+|。停2/>12+2=2.

故圆C2的半径的取值范围为(2,+8)；

(2)设圆。2的圆心为(科死)，

由题意直线PQ是两圆相交弦所在直线可得的。21PQ,

即心心,kpQ=,1=-1'化简可得n=-小①.

设圆。2的半径为心在2PB中，边C2P上的高为拉，

当C2Ple2B时，即此时力取得最大值r,APBC2的面积取得最大值,

2

△PBC2的面积的最大值为加2Pl■\C2B\=|r=5,解得

所以IPC2I=皿2+(n+2尸=F②.

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由①②联立方程组可得｛片=11或■二当，

所以圆C2的方程为Q+1)2+0-1)2=10或(%-3)2+(y+3)2=10.

18.解：(1)存在「(,|,0),使得BiP〃平面小DE,理由如下：

如图，以。为原点，DA,DC,。力所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系,

则81(2,2,2),D(0,0,0),Z)i(0,0,2),F(l,2,0),

因为西=(0,0,2),历=(1,2,0),席=(1,2,—2),

设平面D1DE的法向量为访=(久i，yi，zQ,则西1帚，DElm,

所以｝黑J：_°，解得Z1=O,令卬=一2,则%=1,所以藐=(一2,1,0),

IL/C*IlL一4]I"乙yi-u

设PQ,y,0)(0<x<2,0<y<2),所以瓦7=(久一2,丫一2,—2),

又B[P.LD^E,所以％—2+2y—4+4=0,即x+2y—2=0>所以=(-2y,y—2,-2),

设存在点P,使得为P〃平面。1。已

则帝•方=4y+y—2=0,解得y=|,则x=—2y+2=—2X£+2=也

则P送,0)，

所以存在点P，使得BiP〃平面DiDE；

⑵由⑴知，B^P=(-2y,y—2,—2),

所以I=\l4y2+(J7-2)2+4=4外一®+8,

因为函数t=5y2-4y+8在[0刍上单调递减，在脩2]上单调递增，

所以当y="I■时，“1伍=当，当y=2时，t„jax=20,所以t6[^,20],

所以|瓦西的取值范围是[$2"].

(3)由(1)知，点PQ:,y,0)满足x+2y—2=0,

取CD中点为F,贝UP点轨迹为线段4F,

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所以点P到直线D1E的距离的最小值就是异面直线力F与DiE的距离,

因为E(l,2,0),F(O,1,O),4(2,0,0),所以羽=(一2,1,0),率=(1,2,—2),

设元=(a,瓦c),则n11

则｛a鬣2tx2c2o，令a=2,b=4,c=5,所以元=(2,4,5),

又因为方=(-1,-1,0),

所以点P到直线的距离的最小值d=端a=0：北:25=竽.

19.解：(1)在平面直角坐标系中，N(l,0),M(4,0),动点Q满足需=2,设动点Q的轨迹为曲线C,

设Q(x,y),因为踹=2,所以|QM|2=4|QN『，

即(%—4)2+y2=4[(x—I)2+y2],整理得久2+俨=4,

所以曲线C的轨迹方程为第2+y2=%

(2)直线%—y+1=0与曲线C交于48两点，

曲线C的圆心到直线%-y+1=0的距离d=八2=£

1-

V十V2

所以|4B|=2y/r2-d2=2JU；

证明：(3)曲线C与x轴的交点为E,F,直线I：x=my—1与曲线C交于G,H两点，直线EG与直线FH交于点

D,

设GQi,yi),H(x2,y2)>D(xo,yo),

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y/

D।

2

联乂+y3=4,得（血