数学常考压轴题华师版九年级专题05相似三角形中（双）A字型与（双）8字型模型的四种考法含答案及解析

专题05相似三角形中（双）A字型与（双）8字型模型的四种考法目录解题知识必备 1压轴题型讲练 2类型一、“A”字模型与反“A”字模型 2类型二、同向双“A”字模型 4类型三、“8”字模型与反“8”字模型 8类型四、“A”字模型与“8”字模型综合 12压轴能力测评（10题） 18解题知识必备1.“A”字模型【模型解读与图示】“A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似．图1图2图3（1）“A”字模型条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC).（2）反“A”字模型条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔eq\f(AD,AC)＝eq\f(AE,AB)＝eq\f(DE,BC).（3）同向双“A”字模型条件：如图3，EF∥BC；结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔2.“X”字模型（“8”模型）【模型解读与图示】“8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．图1图2图3（1）“8”字模型条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OC)＝eq\f(OB,OD).（2）反“8”字模型条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OD)＝eq\f(OB,OC).（3）平行双“8”字模型条件：如图3，AB∥CD；结论：压轴题型讲练类型一、“A”字模型与反“A”字模型例题：（23-24九年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在中，，，D、E分别在、上，，．(1)求证：．(2)若，求的长【变式训练1】（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，过顶点C作直线与与及中线交于F、E，过D作交于M．(1)若，求的值；(2)求证：．类型二、同向双“A”字模型例题：（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，点D，E分别在边上，，分别交线段DE，于点F，G，且．(1)求证：平分；(2)求证：．【变式训练1】（22-23八年级下·吉林长春·期末）如图，D，E分别是上的点，于点G，于点F，．(1)求的值；(2)求与的周长之比；(3)若的面积为4，求的面积．【变式训练2】（23-24九年级下·重庆南岸·开学考试）（1）如图1，在中，，，分别为，，上的点，，，交于点，求的值．（2）如图2，在（1）的条件下，连结，．若，，，求证：．（3）如图3，在中，，与交于点，为上一点，交点，交于点．若，平分，，求的长．类型三、“8”字模型与反“8”字模型例题：（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，的平分线分别交于，那么．【变式训练1】（23-24九年级上·四川乐山·期中）如图，相交于点P，连接，且，，，，求的长．【变式训练2】（22-23九年级上·湖南益阳·期中）如图，，，，(1)求证：；(2)求的长．【变式训练3】（23-24九年级下·浙江温州·开学考试）如图，四边形是平行四边形，点E是延长线上一点，连结，，，分别与，交于点F，G．(1)若，，求的长．(2)求证：．类型四、“A”字模型与“8”字模型综合例题：（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，正方形，边长为4，点在边上，射线与射线交于点．(1)若，求的长；(2)求证：．【变式训练1】（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，在菱形中，点在边上，连接并延长，交对角线于点、的延长线与点．(1)求证：是、的比例中项；(2)若，求的值．【变式训练2】（2024·浙江·一模）如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，连结，，，与交于点G．已知四边形是平行四边形，且．

(1)若，求线段，的长．(2)若四边形的面积为48，求的面积．【变式训练3】（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）如图，是的对角线，在边上取一点F，连接交于点E，并延长交的延长线于点G．(1)若，求证：．(2)若，，求的长．(3)在（2）的条件下，若，求．压轴能力测评（10题）一、填空题1．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，D、E分别是的边上的点，，若，则．2．（22-23八年级下·重庆九龙坡·期末）如图，，为两路灯，身高均为的小明、小亮站在两路灯之间，两人相距，小明站在处，小亮站在处，小明在路灯下的影长为，路灯高，则路灯的高为．3．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，点E在正方形的对角线上，连结并延长交边于点M，交边的延长线于点G，过点E作于点F．若，则线段的长度是．

4．（22-23九年级上·四川成都·阶段练习）如图，是的高，，点R在边上，点S在边上，，垂足为E．当时，则．5．（23-24九年级上·福建南平·期末）如图，在中，，垂足为D，，，四边形EFGH和四边形均为正方形，且点E，F，G，N，M都在的边上，AD交于点P，那么与四边形的面积比为．二、解答题6．（23-24九年级上·四川宜宾·期末）如图，在正方形中，点关于直线的对称点为，为边上一动点，交于点，交于点．(1)当点为中点时，求证：；(2)当时，求证：．7．（2023·吉林长春·模拟预测）【知识点】三角形的三条中线交于一点，这个点叫做三角形的重心．【解决问题】如图①，在中，分别是边的中点，求证：；【归纳】用文字语言叙述【解决问题】反映的关于三角形重心的性质；【应用】如图②，在中，D是边的中点，过点G的直线分别交边于点E、F，若，则．8．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知菱形，点E是边所在直线上的点．(1)点E在边的延长线上，①如图1，连交于点G，求证：；②如图2，连，点F是上的点，且，连交于点G，若，求的值；(2)如图3，H是菱形所在平面内一点，，当取最小值时，直接写出的值．9．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）[基础学习]（1）如图1，在中，，，分别为，，上的点，，交于点，求证：．[尝试应用]（2）如图2，已知、为的边上的两点，且满足，一条平行于的直线分别交、和于点、和，求的值．[拓展提高]（3）如图3，矩形中（为常数），点是矩形边上的一个动点，延长至点，使，连接，，与相交于点，连接，求的最小值（用的代数式表示）．10．（22-23九年级下·河南新乡·期中）【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．例1．求证：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分．已知：如图，在中，，，，求证：、互相平分．（1）请结合图1，写出证明过程：证明：连结、．，，______．同理可得______．____________．∴，互相平分．【探索应用】（2）如图2，在图（1）条件下，点为的中点，连接交于点，设与交于点．①求证：；②求的值；（3）如图3，在菱形中，，，与交于点，点为边上一点，且为边的三等分点，直接写出的值．

专题05相似三角形中（双）A字型与（双）8字型模型的四种考法目录解题知识必备 1压轴题型讲练 2类型一、“A”字模型与反“A”字模型 2类型二、同向双“A”字模型 4类型三、“8”字模型与反“8”字模型 8类型四、“A”字模型与“8”字模型综合 12压轴能力测评（10题） 18解题知识必备1.“A”字模型【模型解读与图示】“A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似．图1图2图3（1）“A”字模型条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC).（2）反“A”字模型条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔eq\f(AD,AC)＝eq\f(AE,AB)＝eq\f(DE,BC).（3）同向双“A”字模型条件：如图3，EF∥BC；结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔2.“X”字模型（“8”模型）【模型解读与图示】“8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．图1图2图3（1）“8”字模型条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OC)＝eq\f(OB,OD).（2）反“8”字模型条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OD)＝eq\f(OB,OC).（3）平行双“8”字模型条件：如图3，AB∥CD；结论：压轴题型讲练类型一、“A”字模型与反“A”字模型例题：（23-24九年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在中，，，D、E分别在、上，，．(1)求证：．(2)若，求的长【答案】(1)证明见解析(2)【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握对应边成比例是解题关键．（1）根据两边成比例且夹角相等，可证明两个三角形相似；（2）根据相似三角形对应边成比例求解即可．【详解】（1）解：，，，，，，，又，；（2）解：由（1）可知，，，，．【变式训练1】（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，过顶点C作直线与与及中线交于F、E，过D作交于M．(1)若，求的值；(2)求证：．【答案】(1)(2)见解析【分析】本题考查三角形相似的额判定与性质．（1）根据，证明，得到，由，得到，进而得到，求出，即可求解；（2）由（1）知，得到，推出，根据，证明，得到，推出，即可证明结论．【详解】（1）解：，，，，，，，即，的值为；（2）证明：，，即，，，，，点D是中点，，，，即，．类型二、同向双“A”字模型例题：（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，点D，E分别在边上，，分别交线段DE，于点F，G，且．(1)求证：平分；(2)求证：．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】题目主要考查相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．（1）根据三角形内角和定理得出，再由相似三角形的判定和性质确定，即可证明；（2）根据相似三角形的判定得出，再由性质得出，利用等量代换即可证明．【详解】（1）证明：∵，，，∴，又∵=，∴，∴，∴平分．（2）∵，∴，∴．由（1）知，∴，∴．【变式训练1】（22-23八年级下·吉林长春·期末）如图，D，E分别是上的点，于点G，于点F，．(1)求的值；(2)求与的周长之比；(3)若的面积为4，求的面积．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握是是解决问题的关键．（1）由可证得，再根据相似三角形的性质即可求得结果；（2）由，相似三角形的周长比等于相似比，即可证得；（3）由，．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得结果．【详解】（1）∵，∴，又∵分别是和的高，∴；（2）∵，∴；故与的周长之比为（3）∵，∴，∵，∴．故的面积为．【变式训练2】（23-24九年级下·重庆南岸·开学考试）（1）如图1，在中，，，分别为，，上的点，，，交于点，求的值．（2）如图2，在（1）的条件下，连结，．若，，，求证：．（3）如图3，在中，，与交于点，为上一点，交点，交于点．若，平分，，求的长．【答案】（1）；（2）见解析；（3）【分析】本题考查了相似三角形的性质及判定、等腰三角形的性质及判定、解直角三角形等知识．（1）利用，证明，利用相似比即可证明此问；（2）证明，则，得到，，则是等腰三角形，由（1）得，即可证明；（3）遵循第（1）、（2）小问的思路，延长交于点M，连接，作，垂足为N．构造出等腰三角形、含角的特殊直角三角形，求出、的值，即可得出的长．【详解】（1）解：∵，∴，∴，∴．∵，∴．∴（2）解：∵，∴，∴∵，∴，∴∴，∴是等腰三角形，由（1）得，∴，（3）解：如图，延长交于点M，连接，作，垂足为N．在中，．∵，∴由（1）同理可得，∵，∴，∴．∵，∴，∴．∵平分，∴，∴．∴．在中，．∵，∴，∴．类型三、“8”字模型与反“8”字模型例题：（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，的平分线分别交于，那么．【答案】【分析】根据平行四边形的性质及角平分线的定义得到，再证明，得到即可得出结果．【详解】解：在中，，，，平分，，，，，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质，平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，证明是解题的关键．【变式训练1】（23-24九年级上·四川乐山·期中）如图，相交于点P，连接，且，，，，求的长．【答案】【分析】本题考查相似三角形的判定与性质．先证明，根据相似三角形的性质即可求出答案．【详解】解：，，，，，的长为．【变式训练2】（22-23九年级上·湖南益阳·期中）如图，，，，(1)求证：；(2)求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）利用平角和已知先说明，再通过相似三角形的判定说明；（2）利用相似三角形的性质，代入计算得结论．本题主要考查了相似三角形，掌握相似三角形的判定定理和相似三角形的性质是解决本题的关键．【详解】（1）证明：∵，，，∴，且，∴；（2）解：∵，∴，且，，，∴．【变式训练3】（23-24九年级下·浙江温州·开学考试）如图，四边形是平行四边形，点E是延长线上一点，连结，，，分别与，交于点F，G．(1)若，，求的长．(2)求证：．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，解题的关键是利用平行四边形性质证三角形相似求解．（1）根据平行四边形的性质，可得，，，从而可证，利用相似三角形性质求解，即可求得的长；（2）根据平行四边形的性质，可证，，从而可得，，再可得，从而证得．【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，，，，，，，，，，，；（2）证明：在平行四边形中，，，，，，，，，，．类型四、“A”字模型与“8”字模型综合例题：（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，正方形，边长为4，点在边上，射线与射线交于点．(1)若，求的长；(2)求证：．【答案】(1)(2)见解析【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质．（1）通过证明，由相似三角形的性质可求解；（2）通过证明，可得，可得结论．【详解】（1）解：四边形是边长为4的正方形，，，，，即；（2）证明：，，∵在正方形中，，，，．【变式训练1】（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，在菱形中，点在边上，连接并延长，交对角线于点、的延长线与点．(1)求证：是、的比例中项；(2)若，求的值．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题主要考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质成为解题的关键．（1）根据菱形的性质可得，则、可得，进而得到，从而证明结论；（2）根据菱形的性质可得，进而得到，再证明可得，再证明可得,即：；然后代入即可证明结论．【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，∴，∴，，∴，∴，即，∴是、的比例中项．（2）解：∵四边形是菱形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴,即：，∵，∴，即，∴．【变式训练2】（2024·浙江·一模）如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，连结，，，与交于点G．已知四边形是平行四边形，且．

(1)若，求线段，的长．(2)若四边形的面积为48，求的面积．【答案】(1)，(2)125【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质．（1）根据平行四边形的性质得出，即可得，，再根据相似三角形的性质及比例的性质即可；（2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方及比例的性质即可．【详解】（1）解：四边形是平行四边形；（2），四边形的面积为48∵∴∴，即解得．【变式训练3】（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）如图，是的对角线，在边上取一点F，连接交于点E，并延长交的延长线于点G．(1)若，求证：．(2)若，，求的长．(3)在（2）的条件下，若，求．【答案】(1)见解析(2)3(3)15【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件．（1）依据等量代换得到，依据，即可证明；（2）依据，可得，依据，即可得出，再根据，可得，进而根据解题；（3）过点作于点H，由（2）知，由，求出，即可求出，再根据，得到，推出，证明，得到，推出，求出，从而求出，再根据平行四边形的性质得到，即可求解．【详解】（1）证明：∵中，，，∴，又∵，∴，又∵，∴；（2）解：∵平行四边形中，，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴，，∵，，∴，∴，∴；（3）解：过点作于点H，由（2）知，，，，，，，，，，，，，，．压轴能力测评（10题）一、填空题1．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，D、E分别是的边上的点，，若，则．【答案】/0.4【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，由，易得，，于是，进而得到，从而推出结果．【详解】解：，，，即，，，故答案为：．2．（22-23八年级下·重庆九龙坡·期末）如图，，为两路灯，身高均为的小明、小亮站在两路灯之间，两人相距，小明站在处，小亮站在处，小明在路灯下的影长为，路灯高，则路灯的高为．【答案】12【分析】本题考查了相似三角形的应用，先证明，求出、，再证明，即可得出．【详解】解：∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，即，∴，故答案为：．3．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，点E在正方形的对角线上，连结并延长交边于点M，交边的延长线于点G，过点E作于点F．若，则线段的长度是．

【答案】2.5【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质．先根据已知条件求出，再根据正方形的性质证明，得到，再根据相似三角形的判定得到，求出的值，最后根据正方形的性质证明平行，从而证明，然后根据相似三角形的对应边成比例，列出关于的比例式，进行解答即可．【详解】解：∵，∴，∵四边形是正方形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故答案为：2.54．（22-23九年级上·四川成都·阶段练习）如图，是的高，，点R在边上，点S在边上，，垂足为E．当时，则．【答案】【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形对应高的比等于相似比是解答此题的关键．根据，可得出，故，再由相似三角形的性质可得出的长，进而可得出结论．【详解】解：，，，，，∴，，即．解得，，故答案为：．5．（23-24九年级上·福建南平·期末）如图，在中，，垂足为D，，，四边形EFGH和四边形均为正方形，且点E，F，G，N，M都在的边上，AD交于点P，那么与四边形的面积比为．【答案】【分析】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质解答.通过证明可得可求的长，由相似三角形的性质可得即可求解.【详解】解：∵四边形EFGH和四边形均为正方形，，，，，，，，，，与四边形的面积比为，故答案为：.二、解答题6．（23-24九年级上·四川宜宾·期末）如图，在正方形中，点关于直线的对称点为，为边上一动点，交于点，交于点．(1)当点为中点时，求证：；(2)当时，求证：．【答案】(1)见解析；(2)见解析．【分析】此题考查了正方形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质和相似三角形判定与性质是解题的关键．（）利用正方形的性质，轴对称的性质和相似三角形的判定与性质解答即可；（）先证明，再根据性质得出，由轴对称的性质可得，可证，根据相似三角形的性质即可求解．【详解】（1）证明：∵四边形为正方形，∴，，∵点关于直线的对称点为，∴，∴，∵为中点，∴，∵，∴，∴，∴，∴；（2）∵四边形为正方形，∴，，在和中，∴，∴，∵点关于直线的对称点为，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即．7．（2023·吉林长春·模拟预测）【知识点】三角形的三条中线交于一点，这个点叫做三角形的重心．【解决问题】如图①，在中，分别是边的中点，求证：；【归纳】用文字语言叙述【解决问题】反映的关于三角形重心的性质；【应用】如图②，在中，D是边的中点，过点G的直线分别交边于点E、F，若，则．【答案】解决问题：详见解析；归纳：三角形的重心与一边中点的连线等于对应中线的三分之一．应用：【分析】本题考查了相似型的综合应用，主要考查了三角形的重心，相似三角形的性质与判定，解题的关键是掌握三角形的重心．[解决问题]连接，根据题意得到且，证明，得到，即可得证．[归纳]三角形的重心与一边中点的连线等于对应中线的三分之一．[应用]如图（2）中，过点作交于．交于．利用相似三角形的性质求解．【详解】[解决问题]证明：连接，如图，∵、分别是边、的中点，∴且，∴，∴，∴，即，∴．[归纳]解：三角形的重心与一边中点的连线等于对应中线的三分之一．[应用]解：如图，过点作交于H．交于N．，，，∴，，，，，，∴，，，，，故答案为：．8．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知菱形，点E是边所在直线上的点．(1)点E在边的延长线上，①如图1，连交于点G，求证：；②如图2，连，点F是上的点，且，连交于点G，若，求的值；(2)如图3，H是菱形所在平面内一点，，当取最小值时，直接写出的值．【答案】(1)①见详解，②(2)【分析】（1）①根据题意可证得，，有，，合，即可得到结论；②延长交的延长线于点H，先证明，则有，，，再证，得到，设，则，，求得，，接着证明，可得，即，进而有，再证明，可得，则，问题随之得解；（2）将绕点A逆时针旋转，得到，则，，那么和为等边三角形，所以，根据垂线段最短，可知当点和点E共线时取得最小值，过点作交、和分别为点N，M和F，取得最小值为，且点E即为点F，设菱形的边长为，则，，，那么，进而可得：，，即可求得．【详解】（1）①证明：∵四边形为菱形，∴，，∴，，∴，即，，∵四边形为菱形，∴，∴，即；②延长交的延长线于点H，如图，∵四边形为菱形，∴，，∴，∵，∴，∴，，，∵，，∴，∴，即，设，则，∴，，∴，解得，则，∵，，∴，∴，即，即，∵，∴，∴，则，∴∵，，∴；（2）将绕点A逆时针旋转，得到，则，，，，那么和为等边三角形，∴，根据垂线段最短，可知当点，，和点E共线时取得最小值，过点作交、和分别为点N，M和F，如图，此时，取得最小值为，且点E即为点F，如图，设菱形的边长为，在菱形中，有，∵是等边三角形，，，∴，∴，，∵，∴，则，，∴，在中，，，∴，则，则有：，那么，（点E即为点F，），．【点睛】本题主要考查了菱形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、旋转的性质、垂线段最短以及勾股定理，解题的关键是熟练掌握旋转的性质和构造线段最短的方法．9．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）[基础学习]（1）如图1，在中，，，分别为，，上的点，，交于点，求证：．[尝试应用]（2）如图2，已知、为的边上的两点，且满足，一条平行于的直线分