2024-2025学年云南省昆明市五华区高三（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年云南省昆明市五华区高三（上）期中数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.设复数z满足|z-1|=1,贝/在复平面内对应的点为8y）,贝）

A.（X+1）2+y2=1B.（x—1）2+y2=1

C.x2+（y-l）2=1D.x2+（y+l）2=1

1

2.已知无，雨都为单位向量，若冕在专上的投影向量为霹，贝口无+专|=（）

A./B.A/3C.2D.3

3.在正方体ABC。-48停1。1中，下列说法错误的是（）

7T

A.4D1141CBMDi与BD所成角为可

TT

C.〃平面BOQD.与平面ACCi所成角为彳

4.在践行“乡村振兴”战略的过程中，某地大力发展特色花卉种植业.某农户种植一种观赏花弃，为了解花

卉的长势，随机测量了100枝花的高度（单位：CM）,得到花枝高度的频率分布直方图，如图所示，贝N）

频率/组距

A.样本花卉高度的极差不超过20cm

B,样本花卉高度的中位数不小于众数

C.样本花的高度的平均数不小于中位数

D.样本花卉高度小于60on的占比不超过70%

5.设等比数列｛an｝的公比为q,则“q>1”是"数列｛an｝为递增数列”的（）

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.已知圆台的母线长为4,高为体积为7"兀，则圆台的侧面积为（）

A.487TB.24TTC.207rD.10TT

7.已知4、B为直线Lt的两个定点，\AB\=2,P为1上的动点在平面直角坐标系中，%（-3,0）、F2（3,0）,

以Fi为圆心，|PA|为半径作圆力；以出为圆心，仍用为半径作圆灯，则两圆公共点的轨迹方程为（）

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A.x2-^=lB.-y2=1C.普+卷=1D系+川=1

8.已知函数/(x)=mX和两点4(1,0),设曲线y=/(x)过原点的切线为，，S.I//AB,则小所在的

大致区间为()

A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知函数/(%)=sinoox+acosa)x(a)>0)的最大值为"，其部分图象如图所

示,则()

A.a=1

TT

B.函数y=/(久一.)为偶函数

C.y=/(%)在［。洞上有4个零点，则等〈mV个

D.当xe(0,勺时，函数y=盥的值域为(一1,避)

DCOSX

10.已知函数/"(%)=x3-ax+2(aER),则()

A./(-2)+/(2)=4

ia

B.若a>0,则/(%)的极大值点为工3

C.若至少有两个零点，贝必23

D./(久)在区间(一8,-(1一1)上单调递增

11.抛物线C：产=4久的准线为过焦点F的直线与C交于4B两点，分别过4B作/的垂线,垂足分别为

A',B',记△44'F,AA'B'F,△BB'F的面积分别为Si，S2,S3,则()

A.△AB'F为锐角三角形B.S2的最小值为4

C.S1，聂，S3成等差数列D.S1，聂，S3成等比数列

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

—.,4-sin2a3耳/，/,兀、

12'已知、cos2a=7则tan(a+.)=

13.在正项数列｛a九｝中，lnan+1=lnan+2,且。1的=?6,则斯=

14.甲口袋中有标号为1、2、3的三张卡片，乙口袋中有标号为4、5、6、7的四张卡片，从两个口袋中不放

回地随机抽出三张卡片，每个口袋至少抽一张，则抽到的三张卡片中至少有一张标号为偶数的不同抽法共

有种.(用数字作答)

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

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15.(本小题13分)

在△4BC中，角4、B、C所对的边分别是a、b、c,且acosB—bcosA=c—b.

(1)求角A

(2)已知4的角平分线交8C于点。，若c=2,AB-AC=4,求4D.

16.(本小题15分)

如图，在多面体力BC—4/iCi中，力遇，BiB,CiC均垂直于平面ABC,418c=120。，=4,的

B

(1)求证：平面Zi&Ci；

(2)求二面角的正弦值.

17.(本小题15分)

一项没有平局的对抗赛分为两个阶段，参赛者在第一阶段中共参加2场比赛，若至少有一场获胜，则进入

第二阶段比赛，否则被淘汰，比赛结束；进入第二阶段比赛的参赛者共参加3场比赛.在两个阶段的每场比

赛中，获胜方记1分，负方记0分，参赛者参赛总分是两个阶段得分的总和，若甲在第一阶段比赛中每场获

胜的概率都为p(0<p<1),在第二阶段比赛中每场获胜的概率都为看每场比赛是否获胜相互独立.已知

甲参赛总分为2分的概率为探

⑴求P；

(2)求甲参赛总分X的分布列和数学期望.

18.(本小题17分)

设椭圆c：,+y2=l(a>1)的右焦点为F,右顶点为4已知=向，其中。为原点，e为椭圆

的离心率.

(1)求C的方程；

(2)设点P为C上一动点，过P作不与坐标轴垂直的直线/.

⑷若/与C交于另一点T，E为PT中点，记/斜率为匕0E斜率为心，证明：k•为定值;

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（九）若I与C相切，且与直线x=2相交于点Q,以PQ为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若

否，请说明理由.

19.（本小题17分）

行列式最早起源于对线性方程组的研究，起初是一种速记的表达式，发展到现在已经成为一种非常有用的

数学工具.已知巾表示二阶行列式，规定fd|=ad-bc;||i.g|表示三分行列式，规定

W日后|=。底割-6檐制+C或卸设/（无）=；-X0久.

⑴求f。）；

（2）以4GM（今））为切点，作直线4+1交外幻的图象于异于4的另一点4+1（g+1/（如+D），其中几eN.

若第o=O，当九21时，设点/九的横坐标久n构成数列｛。九｝.

①求｛册｝的通项公式；

-1-1-1

②证明：ln（l+|ai+1|）+ln（l+出+1|）+…+M（1+⑸+1|）＜

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参考答案

1.5

2.B

3.0

4.D

5.D

6.C

7.4

8.C

9.BC

IQ.ACD

11.ABD

12-

13/nT

14.26

15.解：(1)因为acosB—bcosZ=c—b,

由正弦定理可得siTL4cos8—s讥BcosA=sinC—sinB,

又A+B=ri—C,贝UsinC=sin(i4+B),

贝IJsiTL4cosB—s讥BcosA=sinAcosB+cosAsinB—sinB,

整理得2cosZs讥B—=0,

因为4、BG(OX),贝1|s勿8>0,

可得2cosZ-1=0,贝!JcosA=1>

故4=p

(2)因为c=2,=p

所以ZB•AC-\AB\•\AC\co^=^bc=b=4,

因为S4/BC=ABD+S^ACD'

即17?csi错=|-c•ADsirv^+-ADsirc^,

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即争C=1c-AD+|b-AD,

整理可得=回£=%=包但

16.解：（1）证明：过点B在平面4BC内作一条直线与BC垂直，

则以B为原点，直线BC为%轴，过点B作直线BC的垂线为y轴，直线B为为z轴如图建立空间直角坐标系,

・•・8(0。0),C(2,0,0),

•••乙ABC=120°,

・•・4(-1,m,0)，

・•・4式—1，避,4),81(0,0,2),”2,0,1),

.-.^=(1-73,2),瓦瓦=(2,0,-1),瓦否=(-1,信2),

(丽=2-2=0

•吐丽•=-1-3+4=0，

日/Bi1B\Ci

即(福)1瓦工’

•*•_LAB\_LB,

又・・・BiQr3遇1=81，&C1U平面为B1C1，8遇1<=平面&B1C1，

•*•AB1_L平面Ai&Ci；

(2)由(1)可知：福=(1,—8,2),宿=(3,-避,1),B^=(2,0-2),,=(0,0,1),

设平面43停1的一个法向量为元1=(%i,yi,zi),

设平面CB1C1的一个法向量为元2=(乂2/2/2)，

丽1再质，放

则血T打1时

日口[比1一楠1+2Z1=0(2X2-2Z2=0

।(3%i-避yi+Zi=O'[z2=0

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%i=%2=0

则可取以=5yi=i,

UI=2A/3㈤=o

即丐=(8,5,28),n2=(0,1,0),

设二面角a-BiCi—c为e,则|cos8|=停普=岛,

sind—^/l—cos20=J1—1=

17.解：(1)甲参赛总分为2分有两种情况：

第一种情况是在第一阶段两场比赛一胜一负(概率为C切(l-p)),

然后在第二阶段三场比赛一胜两负(概率为己x9x(1-孑)，

第二种情况是在第一阶段两场比赛全胜(概率为p2),

然后在第二阶段三场比赛全负(概率为(1-93),

所以C如(l-p)xC|x|x(1-1)2+p2x(1-1)3=蒜

1

解得P=万或2=1,

因为ovpv1,

所以P=|；

(2)甲参赛总分X的可能取值为0,1,2,3,4,5,

X=0包括：在第一阶段两场全输，

则P(X=0)=(1-p)2=(1-1)2=p

x=l包括：在第一阶段一胜一负(概率为C加(1—p)=2x|x|=|),

然后在第二阶段三场全输(概率为(1-》3=捺)，

所以P(X=1)=^*5=5，

由(1)可知P(X=2)=5，

X=3包括：在第一阶段两场全胜(概率为p2=》，

然后在第二阶段一胜两负(概率为乙x|x(1-1)2=I),此时Pi=3x9=今

也包括在第一阶段一胜一负(概率为C加(1—p)=2x|x|=|),

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然后在第二阶段两胜一负(概率为髭X(|)2X此时P2=

则P(X=3)=/齐申

X=4包括：在第一阶段两场全胜(概率为p2=》,

在第二阶段两胜一负(概率为髭X(1)2X(1-|)=1),此时P3=[x齐表,

也包括在第一阶段一胜一负(概率为C加(1—p)=2x|x|=|),

然后在第二阶段三场全胜(概率为《)3=畀,此时P4=5X今=击，

112

WX=4)

X=5包括：在第一阶段两场全胜(概率为p2=》，

然后在第二阶段三场全胜(概率为《)3=务,

所以P(X=5)=[x*=焉,

所以X的分布列为：

X012345

148221

P

42727927108

所以E(X)=0x1+lx^+2x^+3x|+4x^+5xI^=y1|=^.

18.(1)解：因为椭圆C：今+必=1缶＞1)的右焦点为凡右顶点为4

贝|J|OF|=c,\0A\=a,\AF\=a-c,

因为赢+向=而，

整理可得工-e=e,

e

可得2e2=l,

即至=237=.

1a2a2-

解得a=",

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2

即椭圆C的方程为会+y2=i.

（2）（i）证明：设点P（%i，yi）、7（久2，及），

则点E号尹，殁聆,

因为直线匕不与坐标轴垂直，则犹不好，无中秃,

yi-y2中-oyi+丫2

所以々=

%1~%2，%l+、2—0Xl+%2

2

君

一+71=1

马

因

强

2+y?=1"

将这两个等式作差可得/&+济-送=0,

yi+y_yj-yj

yi-y221

所以k•k0=

Xl-X2Xl+%2%22

(ii)解:设P(%o，yo)，

先证明出椭圆今+y2=1在点P处的切线方程为等+y0y=1，

Z/

（^+yoy=i

联立J+y2=1，

可得嘤+（1—罢）2=%,

整理可得白2_%0%+1-yl=0,

即#一汽0%+1%o=0，

即（%-％0）2=0,

解得％=第0，

所以椭圆4+y2=l在点P处的切线方程为等+y0y=1,

因为直线罢+y0y=1与直线X=2交于点Q,

则Vo大0,

号+y0y=1

联立，

x=2

可得y1一久0

yo'

即点Q（2,£）,

由对称性可知，以PQ为直径的圆过x轴上的定点

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则PM1QM,

且由=(m-xo,-yo),QM=(m-2,^^),

2

则西？-QM=(m-x0)(m-2)-(x0-l)=(l-m)x0+(m-l)=0,

所以o，

解得m=1,

因此，以PQ为直径的圆过定点M(l,0).

19.解:(1)由题意可得：/(%)=3-x30=川二:°|-o|i°|+3x|iZ?|=x(x2

1—1—%

)+3x(-3+%)=x3+3%2—9%.

(2)①由(1)可知：/(x)=x3+3x2—9%,/'(%)=3x2+6x-9,

则切点410rl潟+3/一9%九)，切线斜率：k=/'(%九)=3%2+6%九一9,

故切线方程为y-(13+3%2-9%n)=(