新高考数学二轮复习讲练专题11 平面向量小题全归类（练习）（解析版）

专题11平面向量小题全归类目录01平面向量基本定理及其应用 202平面向量共线的充要条件及其应用 403平面向量的数量积 604平面向量的模与夹角 905等和线问题 1206极化恒等式 1507矩形大法 1708平面向量范围与最值问题 1909等差线、等商线问题 2610奔驰定理与向量四心 3311阿波罗尼斯圆问题 3712平行四边形大法 4113向量对角线定理 4301平面向量基本定理及其应用1．（2023·江苏南通·高三江苏省如东高级中学校考期中）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是两个不共线的向量，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是两个不共线的向量，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：C2．（2023·安徽·高三合肥市第八中学校联考开学考试）古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus）利用如图所示的直角三角形来构造无理数.已知SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】以SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0所在直线分别为SKIPIF1<0轴建立如图所示的坐标系，由题意得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0（负值舍去），所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：A.3．（2023·广东肇庆·统考模拟预测）如图，在平行四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点共线，SKIPIF1<0可设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0三点共线，SKIPIF1<0可设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故选：B.02平面向量共线的充要条件及其应用4．（2023·四川成都·高一成都七中校考阶段练习）如图，在SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0的直线分别交直线SKIPIF1<0于不同的两点SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0SKIPIF1<0则SKIPIF1<0的最小值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.又因为SKIPIF1<0三点共线，所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0所以当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0有最小值为SKIPIF1<0.故选:A.5．（2023·重庆北碚·高一西南大学附中校考期末）△ABC中，D为AB上一点且满足SKIPIF1<0，若P为线段CD上一点，且满足SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为正实数），则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】因为P为线段CD上一点，则SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，等号成立，所以SKIPIF1<0的最小值为4.故选：B.6．（2023·浙江宁波·高二校联考期末）在SKIPIF1<0中，点O满足SKIPIF1<0，过点O的直线分别交射线AB，AC于点M，N，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．3 D．4【答案】A【解析】由题可知，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0三点共线，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，等号成立.所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故选：A03平面向量的数量积7．（多选题）（2021•新高考Ⅰ）已知SKIPIF1<0为坐标原点，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】SKIPIF1<0【解析】法一、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0正确；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0错误；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0正确；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0错误．故选：SKIPIF1<0．法二、如图建立平面直角坐标系，SKIPIF1<0，作出单位圆SKIPIF1<0，并作出角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使角SKIPIF1<0的始边与SKIPIF1<0重合，终边交圆SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，角SKIPIF1<0的始边为SKIPIF1<0，终边交圆SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，角SKIPIF1<0的始边为SKIPIF1<0，交圆SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由向量的模与数量积可知，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0正确；SKIPIF1<0、SKIPIF1<0错误．故选：SKIPIF1<0．8．（2023·安徽安庆·高三安庆市第十中学校考阶段练习）已知在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，P在CD上，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.【答案】4【解析】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点共线，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.9．（2023·上海静安·高三校考阶段练习）已知向量SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影向量等于．【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由已知SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（负值舍去），∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影向量为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<010．（2023·上海闵行·高三校考期中）平面上有一组互不相等的单位向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，若存在单位向量SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则称SKIPIF1<0是向量组SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0的平衡向量．已知SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0是向量组SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的平衡向量，当SKIPIF1<0取得最大值时，SKIPIF1<0的值为．【答案】SKIPIF1<0【解析】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最大值，又SKIPIF1<0，如图所示，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<004平面向量的模与夹角11．（2023•北京）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．0 D．1【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故选：SKIPIF1<0．12．（2023•甲卷）向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】SKIPIF1<0【解析】因为向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故选：SKIPIF1<0．13．（2023·广东广州·高三广州市从化区从化中学校考阶段练习）已知正三角形SKIPIF1<0的边长为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角=．【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【解析】由题意知，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0设SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.14．（2023·全国·模拟预测）已知向量SKIPIF1<0，若实数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为．【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【解析】因为向量SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．15．（2023·四川广安·高三校考阶段练习）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影数量为SKIPIF1<0，则向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为．【答案】SKIPIF1<0【解析】∵SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影数量为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0.05等和线问题16．（2023·湖北·高一校联考期中）给定两个长度为1的平面向量SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，它们的夹角为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0为圆心的圆弧SKIPIF1<0上运动，若SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（）A．SKIPIF1<0 B．5 C．SKIPIF1<0 D．6【答案】A【解析】如图所示，建立直角坐标系．SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）．则SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号．故选A．17．（2023·全国·高三专题练习）给定两个长度为1的平面向量SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，它们的夹角为90°，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧SKIPIF1<0上运动，若SKIPIF1<0，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】B【解析】由题得SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝x2＋y2＋2xySKIPIF1<0＝x2＋y2，∴x2＋y2＝1，则2xy≤x2＋y2＝1.又(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy≤2，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立，故x＋y的最大值为SKIPIF1<0.故选：B18．（2023·上海黄浦·高二格致中学校考期中）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0为SKIPIF1<0所在平面内的动点，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则给出下面四个结论：①SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0；

②SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0；

④SKIPIF1<0的最大值为10.其中，正确结论的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】如图，以SKIPIF1<0为原点，SKIPIF1<0所在的直线分别为SKIPIF1<0轴，建立平面直角坐标系，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以①③错误；SKIPIF1<0SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以②正确，④错误；故选：A19．（2023·吉林·统考一模）在直角三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的重心、外心、垂心、内心分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0），当SKIPIF1<0取最大值时，SKIPIF1<0（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】直角三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，SKIPIF1<0的重心为SKIPIF1<0，如图所示，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；直角三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的外心为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，如图所示，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；直角三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的垂心为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0点重合，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；直角三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的内心为SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0是三角形内角平分线交点，直角三角形SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0，设内切圆半径为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0最大，所以当SKIPIF1<0取最大值时，SKIPIF1<0.故选：B.06极化恒等式20．（2023·山东师范大学附中模拟预测）边长为SKIPIF1<0的正方形内有一内切圆，SKIPIF1<0是内切圆的一条弦，点SKIPIF1<0为正方形四条边上的动点，当弦SKIPIF1<0的长度最大时，SKIPIF1<0的取值范围是_________．【答案】SKIPIF1<0【解析】如下图所示：设正方形SKIPIF1<0的内切圆为圆SKIPIF1<0，当弦SKIPIF1<0的长度最大时，SKIPIF1<0为圆SKIPIF1<0的一条直径，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0为正方形SKIPIF1<0的某边的中点时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0与正方形SKIPIF1<0的顶点重合时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．21．（2023·湖北省仙桃中学模拟预测）如图直角梯形ABCD中，EF是CD边上长为6的可移动的线段，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围为________________．

【答案】SKIPIF1<0【解析】在SKIPIF1<0上取一点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，如图所示：则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值，此时SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0与SKIPIF1<0重合时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0与SKIPIF1<0重合时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<022．（2023·陕西榆林·三模）四边形SKIPIF1<0为菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是菱形SKIPIF1<0所在平面的任意一点，则SKIPIF1<0的最小值为________．【答案】SKIPIF1<0【解析】由题设，SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<007矩形大法23．设向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．1【答案】B【解析】建立坐标系，以向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的角平分线所在的直线为SKIPIF1<0轴，使得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的坐标分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，表示以SKIPIF1<0为圆心，SKIPIF1<0为半径的圆，则SKIPIF1<0的最小值表示圆上的点到原点的距离的最小值，因为圆到原点的距离为SKIPIF1<0，所以圆上的点到原点的距离的最小值为SKIPIF1<0，故选：B24．（2023·河北石家庄·高三阶段练习）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值是．【答案】SKIPIF1<0．【解析】分析题意可知，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，即点SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0为圆心，SKIPIF1<0为半径的圆上，∴SKIPIF1<0，故填：SKIPIF1<0．25．（2023·全国·高三专题练习）已知向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为.【答案】SKIPIF1<0【解析】求出向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0可求得点SKIPIF1<0的轨迹方程，由SKIPIF1<0的几何意义结合圆的几何性质可求得SKIPIF1<0的最大值.设向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，其中点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的几何意义为点SKIPIF1<0到定点SKIPIF1<0的距离，如下图所示：由圆的几何性质可得SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.08平面向量范围与最值问题26．（2022•上海）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为边SKIPIF1<0的中点，点SKIPIF1<0在边SKIPIF1<0上，则SKIPIF1<0的最小值为．【答案】SKIPIF1<0．【解析】建立平面直角坐标系如下，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在直线上，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．27．（2023•上海）已知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0为空间中三组单位向量，且SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0夹角为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为空间任意一点，且SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0最大值为．【答案】SKIPIF1<0【解析】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，不妨设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．28．（多选题）（2023·安徽·高三安徽省宿松中学校联考开学考试）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，A，B两点不重合，则（

）A．SKIPIF1<0的最大值为2B．SKIPIF1<0的最大值为2C．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0最大值为SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0最大值为4【答案】AD【解析】A选项，由已知A，B为单位圆上任意两点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，A正确；B选项，设D为SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0，由于A，B两点不重合，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故B错误；C选项，当P，A，B共线时，SKIPIF1<0，故C错误；D选项，当P，A，B共线时，若SKIPIF1<0坐标分别为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0或SKIPIF1<0与SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0两点重合，此时SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0坐标不同时为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0时，此时SKIPIF1<0⊥SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故D正确.故选：AD29．（多选题）（2023·福建南平·高一武夷山一中校考期中）圆幂定理是平面几何中的一个定理，是相交弦定理、割线定理、切割线定理的统一，（其中相交弦定理:圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，例如，如果交点为SKIPIF1<0的两条相交直线与圆SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0），如下图，已知圆SKIPIF1<0的半径为3，点SKIPIF1<0是圆SKIPIF1<0内的定点，且SKIPIF1<0，弦SKIPIF1<0、SKIPIF1<0均过点SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（

）

A．SKIPIF1<0·SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0·SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0C．当AC⊥BD时，SKIPIF1<0·SKIPIF1<0为定值 D．AC⊥BD时，SKIPIF1<0·SKIPIF1<0的最大值为28【答案】CD【解析】如图，设直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故A错误；取SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0，故B错误；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故C正确；当SKIPIF1<0时，圆SKIPIF1<0半径SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0中点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以四边形SKIPIF1<0为矩形，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，不等式等号成立，所以SKIPIF1<0·SKIPIF1<0的最大值为28，故D正确．故选：CD．30．（2023·四川攀枝花·统考模拟预测）在平面四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．12 D．15【答案】C【解析】如图，以SKIPIF1<0为原点，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0轴建立平面直角坐标系，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可知，点SKIPIF1<0的轨迹为SKIPIF1<0外接圆的一段劣弧SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，即外接圆半径SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0外接圆的方程为SKIPIF1<0，代入点SKIPIF1<0可得，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），即点SKIPIF1<0的轨迹方程为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时点SKIPIF1<0在劣弧上，满足题意，故SKIPIF1<0的最大值为12.故选：C31．（2023·北京西城·高三北师大实验中学校考阶段练习）平面直角坐标系SKIPIF1<0中，定点A的坐标为SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0.若当点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0上运动时，SKIPIF1<0的最大值为0，则（

）A．SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0【答案】C【解析】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，对任意SKIPIF1<0，可知当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故选：C.32．（2023·江西·高三校联考阶段练习）在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，动点P满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值是（

）A．6 B．SKIPIF1<0 C．5 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由SKIPIF1<0，得动点P的轨迹是以SKIPIF1<0为圆心，以1为半径的圆，其方程为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，表示圆C上的点P到点SKIPIF1<0的距离，所以SKIPIF1<0.故选：A.33．（2023·四川宜宾·四川省宜宾市南溪第一中学校校考模拟预测）设向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，不妨设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的几何意义是圆上的点SKIPIF1<0到原点SKIPIF1<0的距离，而原点SKIPIF1<0也在圆SKIPIF1<0上，所以，SKIPIF1<0的最大值为圆SKIPIF1<0的直径长，故SKIPIF1<0.故选：A.09等差线、等商线问题34．（2023·全国·高三专题练习）给定两个长度为1的平面向量SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，它们的夹角为120°，点C在以O为圆心的圆弧SKIPIF1<0上运动，若SKIPIF1<0，其中x、SKIPIF1<0.则SKIPIF1<0的最大值为；SKIPIF1<0的取值范围是.【答案】2SKIPIF1<0【解析】如图所示，以O为坐标原点，SKIPIF1<0所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0.由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.根据SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0从而SKIPIF1<0故SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故答案为：2，SKIPIF1<035．（2023·山西·高一统考期末）已知在SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0(不含端点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0)上移动，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.【答案】3【解析】如图，由题意得存在实数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0不共线，故由平面向量的分解的唯一性得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0.故答案为：3.36．（2023·高一单元测试）如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若延长CB到点D，使SKIPIF1<0，当点E在线段AB上移动时，设SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0取最大值时，SKIPIF1<0的值是.【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1