新高考数学二轮复习讲练专题19 排列组合与二项式定理常考小题（20大题型）（练习）（解析版）

专题19排列组合与二项式定理常考小题目录01二项式定理之特定项、三项式问题 202二项式定理之系数和问题 303二项式定理之系数最值问题 604特殊优先与正难则反策略 805相邻问题与不相邻问题 906列举法 1107定序问题（先选后排） 1208多面手问题 1309错位排列问题 1510涂色问题 1611分组与分配问题 1812隔板法 2013查字典问题 2014分解法模型与最短路径问题 2215构造法模型和递推模型 2416环排与多排问题 2717配对型模型 2818电路图模型 3019机器人跳动模型 3120波浪数模型 3301二项式定理之特定项、三项式问题1．（2024·河北唐山·高三开滦第一中学校考阶段练习）SKIPIF1<0的展开式中SKIPIF1<0的系数为（

）A．208 B．SKIPIF1<0 C．217 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】根据二项式定理可得，SKIPIF1<0的展开式中，含SKIPIF1<0的项为SKIPIF1<0.所以，SKIPIF1<0的展开式中SKIPIF1<0的系数为SKIPIF1<0.故选：B.2．（2024·湖北·高三校联考阶段练习）若SKIPIF1<0的展开式中的SKIPIF1<0的系数为SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0（

）A．8 B．7 C．9 D．10【答案】B【解析】由题意知，SKIPIF1<0展开式的通项公式为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的系数为SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：B．3．（2024·山东青岛·高三青岛二中校考）若SKIPIF1<0的展开式中共有SKIPIF1<0个有理项，则SKIPIF1<0的值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】SKIPIF1<0的展开式通项为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0为有理项，故SKIPIF1<0.故选：C.4．（2023·广东江门·统考一模）已知多项式SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．－960 B．960 C．－480 D．480【答案】A【解析】因为SKIPIF1<0，所以第8项为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：A02二项式定理之系数和问题5．（多选题）（2024·广东佛山·高三校考阶段练习）若SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0为实数，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AC【解析】令SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，A正确.SKIPIF1<0，其展开式的第三项是SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，B不正确.令SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，D不正确.令SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0相减可得SKIPIF1<0，C正确.故选：AC6．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0【答案】ABD【解析】A选项，根据二项展开式的通项，SKIPIF1<0，A选项正确；B选项，取SKIPIF1<0代入等式，得到SKIPIF1<0，B选项正确；C选项，取SKIPIF1<0代入等式，得到SKIPIF1<0，结合B选项SKIPIF1<0，两式相加得SKIPIF1<0，故C选项错误；D选项，根据二项展开式的通项，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0最大，D选项正确.故选：ABD7．（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0），其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ACD【解析】由二项式定理可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，A选项正确；因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以在SKIPIF1<0中，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以B选项不正确；由题可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以选项C正确；因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以在SKIPIF1<0中，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以D选项正确.故选：ACD.8．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）设SKIPIF1<0，则下列选项正确的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ACD【解析】对于A，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，故A正确；对于B，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，故B错误；对于C，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0①，令SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0②，由①+②再除以2可得SKIPIF1<0，故C正确；对于D，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0①，令SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0②，①-②再除以2可得SKIPIF1<0，故D正确．故选：ACD．9．（多选题）（2024·福建宁德·统考模拟预测）若SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ABD【解析】令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故A正确；令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故B正确；SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故C错误；由SKIPIF1<0两边求导，得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故D正确.故选：ABD.03二项式定理之系数最值问题10．（2024·江西吉安·江西省万安中学校考一模）已知SKIPIF1<0的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，则展开式中系数最大的项为.（不用计算，写出表达式即可）【答案】SKIPIF1<0和SKIPIF1<0【解析】由题意可得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的展开式的通项为SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或12，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以展开式中系数最大的项为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0和SKIPIF1<011．（2024·全国·高三专题练习）若SKIPIF1<0的展开式中各项的二项式系数之和为256，且仅有展开式的第5项的系数最大，则a的取值范围为.【答案】SKIPIF1<0【解析】因SKIPIF1<0的展开式中各项的二项式系数之和为256，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的展开式中第r+1项的系数为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，则当r为奇数时，第r+1项的系数为负，当r为偶数时，第r+1项的系数为正，由仅有展开式的第5项的系数最大得：SKIPIF1<0，化简整理得：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以a的取值范围为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<012．（2024·浙江·统考模拟预测）已知SKIPIF1<0展开式中第三项的二项式系数是10，则SKIPIF1<0，展开式中系数的绝对值最大的项是.【答案】5SKIPIF1<0【解析】由题意，知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0依次代入，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.所以系数的绝对值最大的项为SKIPIF1<0.故答案为：5；SKIPIF1<0.04特殊优先与正难则反策略13．（2024·四川成都·高三统考）某校在重阳节当日安排4位学生到三所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排1人，则不同的分配方案数是（

）A．81 B．72 C．48 D．36【答案】D【解析】先将4位学生分为三组（其中一组2人，另两组每组各1人），再分配到三所敬老院，则有SKIPIF1<0种分配方法，故选：D．14．（云南省红河州第一中学2024届高三第二次联考数学试题）一个宿舍的6名同学被邀请参加一个节目，要求必须有人去，但去几个人自行决定．其中甲和乙两名同学要么都去，要么都不去，则该宿舍同学的去法共有（

）A．15种 B．28种 C．31种 D．63种【答案】C【解析】若甲和乙两名同学都去，则去的人数可能是2人，3人，4人，5人，6人，所以满足条件的去法数为SKIPIF1<0种；若甲和乙两名同学都不去，则去的人数可能是1人，2人，3人，4人，则满足条件去法有SKIPIF1<0种；故该宿舍同学的去法共有SKIPIF1<0种．故选：C.15．（2024·湖北武汉·高二校联考期末）甲､乙､丙､丁四位同学决定去黄鹤楼､东湖､汉口江滩游玩，每人只能去一个地方，汉口江滩一定要有人去，则不同游览方案的种数为（

）A．65 B．73 C．70 D．60.【答案】A【解析】根据题意，甲、乙、丙、丁四位同学决定去黄鹤楼､东湖､汉口江滩游玩，且每人只能去一个地方，则每人有3种选择，则4人一共有SKIPIF1<0种情况，若汉口江滩没人去，即四位同学选择了黄鹤楼､东湖，每人有2种选择方法，则4人一共有SKIPIF1<0种情况，故汉口江滩一定要有人去有SKIPIF1<0种情况，故选：A．16．（2024·湖南长沙·雅礼中学校联考）从正360边形的顶点中取若干个，依次连接，构成的正多边形的个数为（

）A．360 B．630 C．1170 D．840【答案】B【解析】从360的约数中去掉1和2，其余的约数均可作为正多边形的边数，设从360个顶点中选出SKIPIF1<0个构成正多边形，这样的正多边形有SKIPIF1<0个，因此所求的正多边形的个数就是360的所有约数之和减去360和180，考虑到SKIPIF1<0，因此所求正多边形的个数为SKIPIF1<0.故选：B.05相邻问题与不相邻问题17．（2024·广西·模拟预测）第19届杭州亚运会的吉祥物，分别取名为“琮琮”“莲莲”“宸宸”，是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人，组合名为“江南忆”.现有6个不同的吉祥物，其中“琮琮”“莲莲”和“宸宸”各2个，将这6个吉祥物排成前后两排，每排3个，且每排相邻两个吉祥物名称不同，则排法种数共有.（用数字作答）【答案】336【解析】由题意可分两种情形：①前排含有两种不同名称的吉祥物，首先，前排从“琮琮”“莲莲”和“宸宸”中取两种，有SKIPIF1<0种情况，从选出的两种吉祥物中，其中一种取两个，另一种选一个，有SKIPIF1<0种排法，选出的三个吉祥物进行排列，选一个的一定放中间，名字相同的放两边，由于属于不同的吉祥物，故有SKIPIF1<0种排法，综上，有SKIPIF1<0种排法；其次，后排剩余两个相同名字的吉祥物和另一个名字不同的吉祥物，故有SKIPIF1<0种排法，故共有SKIPIF1<0种不同的排法；②前排含有三种不同名称的吉祥物，先从“琮琮”“莲莲”和“宸宸”各二选一，有SKIPIF1<0种选法，再进行全排列，故有SKIPIF1<0种排法；同理后排有SKIPIF1<0种排法，此时共有SKIPIF1<0种排法；因此，共有SKIPIF1<0种排法，故答案为：336.18．（2024·上海徐汇·统考一模）要排出高一某班一天上午5节课的课表，其中语文、数学、英语、艺术、体育各一节，若要求语文、数学选一门第一节课上，且艺术、体育不相邻上课，则不同的排法种数是．【答案】SKIPIF1<0【解析】先排第一节有SKIPIF1<0种排法，再在其后排语数英中除第一节外的两科目，有SKIPIF1<0种不同排列,并形成3个空排艺术、体育两门科目，有SKIPIF1<0种排法，故不同的排课方法有SKIPIF1<0种方法.故答案为：24.19．（2024·广东东莞·高三校考阶段练习）某中学为庆祝建校130周年，高二年级派出甲､乙､丙､丁､戊5名老师参加“130周年办学成果展”活动，活动结束后5名老师排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则排法共有种(用数字作答)．【答案】24【解析】将丙、丁捆绑排列有SKIPIF1<0种，再把他们作为整体与戊排成一排有SKIPIF1<0种，排完后其中有3个空，最后将甲、乙插入其中的两个空有SKIPIF1<0种，综上，共有SKIPIF1<0种排法.故答案为：SKIPIF1<006列举法20．（2024·全国·高三专题练习）数论领域的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明．四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，其中a，b，c，d均为自然数，则满足条件的有序数组SKIPIF1<0的个数是（

）A．28 B．24 C．20 D．16【答案】A【解析】显然a，b，c，d均为不超过5的自然数，下面进行讨论．最大数为5的情况：①SKIPIF1<0，此时共有SKIPIF1<0种情况；最大数为4的情况：②SKIPIF1<0，此时共有SKIPIF1<0种情况；③SKIPIF1<0，此时共有SKIPIF1<0种情况．当最大数为3时，SKIPIF1<0，故没有满足题意的情况．综上，满足条件的有序数组SKIPIF1<0的个数是SKIPIF1<0．故选：A21．（2024·浙江宁波·高二校联考期末）已知字母SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0各有两个，现将这6个字母排成一排，若有且仅有一组字母相邻（如SKIPIF1<0），则不同的排法共有（

）种A．36 B．30 C．24 D．16【答案】A【解析】有且仅有一组字母相邻，这组字母有三种情况：SKIPIF1<0.当相邻的这组字母为SKIPIF1<0时，将6个位置编成1-6号，若SKIPIF1<0在1号和2号，则3号和5号字母相同，4号和6号字母相同，有2种排法；若SKIPIF1<0在2号和3号，则1号和5号字母相同，4号和6号字母相同，有2种排法；若SKIPIF1<0在3号和4号，则1号和2号字母不相同，5号和6号字母不相同，有SKIPIF1<0种排法；若SKIPIF1<0在4号和5号，则2号和6号字母相同，1号和3号字母相同，有2种排法；若SKIPIF1<0在5号和6号，则1号和3号字母相同，2号和4号字母相同，有2种排法，即相邻的字母为SKIPIF1<0时，共有SKIPIF1<0种排法.同理，相邻的字母为SKIPIF1<0时，也都有12种排法，故共有SKIPIF1<0种排法.故选：A.22．（2024·高二课时练习）中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数SKIPIF1<0的一种方法．例如：3可表示为“SKIPIF1<0”，26可表示为“SKIPIF1<0”．现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用SKIPIF1<0这9数字表示两位数的个数为SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．13 B．14 C．15 D．16【答案】D【解析】根据题意，现有6根算筹，可以表示的数字组合为1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、3，3、7，7、7；数字组合1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、7中，每组可以表示2个两位数，则可以表示SKIPIF1<0个两位数；数字组合3、3，7、7，每组可以表示1个两位数，则可以表示SKIPIF1<0个两位数；则一共可以表示SKIPIF1<0个两位数；故选SKIPIF1<0．07定序问题（先选后排）23．（2024·全国·高三专题练习）某次演出有5个节目，若甲、乙、丙3个节目间的先后顺序已确定，则不同的排法有（

）A．120种 B．80种 C．20种 D．48种【答案】C【解析】在5个位置中选两个安排其它两个节目，还有三个位置按顺序放入甲、乙、丙，方法数为SKIPIF1<0．故选：C．24．（2024·全国·高二专题练习）贴春联、挂红灯笼是我国春节的传统习俗.现准备在大门的两侧各挂四盏一样的红灯笼，从上往下挂，可以一侧挂好后再挂另一侧，也可以两侧交叉着挂，则挂红灯笼的不同方法数为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】若SKIPIF1<0盏灯笼任意挂，不同的挂法由SKIPIF1<0种，又因为左右两边SKIPIF1<0盏灯顺序一定，故有SKIPIF1<0种，故选：D25．（2024·全国·高三专题练习）如图所示，某货场有两堆集装箱，一堆2个，一堆3个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运的过程中不同取法的种数是A．6 B．10 C．12 D．24【答案】B【解析】将左边的集装箱从上往下分别记为1,2,3,右边的集装箱从上往下分别记为4,5.分两种情况讨论:若先取1,则有12345,12453,14523,14235,14523,12435,共6种情况;若先取4,则有45123,41235,41523,41253,共4种情况,故共有6+4=10种情况.08多面手问题26．（2024·全国·高三专题练习）我校去年11月份，高二年级有10人参加了赴日本交流访问团，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞．现要从中选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，有（

）种不同的选法．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】根据题意可按照只会跳舞的SKIPIF1<0人中入选的人数分类处理．第一类SKIPIF1<0个只会跳舞的都不选，则从既能唱歌又能跳舞的5人中选择3人来跳舞，接着从剩余的5人中选择3人唱歌，故有SKIPIF1<0种；第二类SKIPIF1<0个只会跳舞的有SKIPIF1<0人入选，有SKIPIF1<0种，再从从既能唱歌又能跳舞的5人中选择2人来跳舞，有SKIPIF1<0种，再从剩余的6人中选择3人唱歌，有SKIPIF1<0种，故有SKIPIF1<0种；第三类SKIPIF1<0个只会跳舞的全入选，有SKIPIF1<0种，再从从既能唱歌又能跳舞的5人中选择1人来跳舞，有SKIPIF1<0种，再从剩余的7人中选择3人唱歌，有SKIPIF1<0种，有SKIPIF1<0种，所以共有SKIPIF1<0种不同的选法，故选：A．27．（2024·全国·高三专题练习）某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会法语，2人既会英语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有（

）种不同的选法A．225 B．185 C．145 D．110【答案】B【解析】根据题意，按“2人既会英语又会法语”的参与情况分成三类．①“2人既会英语又会法语”不参加，这时有SKIPIF1<0种；②“2人既会英语又会法语”中有一人入选，这时又有该人参加英文或日文翻译两种可能，因此有SKIPIF1<0种；③“2人既会英语又会法语”中两个均入选，这时又分三种情况：两个都译英文、两个都译日文、两人各译一个语种，因此有SKIPIF1<0种．综上分析，共可开出SKIPIF1<0种．故选：B．28．（2024·全国·高三专题练习）“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，在我国南方普遍存在端午节临近，某单位龙舟队欲参加今年端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨．现要选派划左桨的3人、划右桨的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（

）A．26种 B．30种 C．37种 D．42种【答案】C【解析】根据题意，设SKIPIF1<0只会划左桨的3人SKIPIF1<0，SKIPIF1<0只会划右桨的3人SKIPIF1<0，SKIPIF1<0既会划左桨又会划右桨的2人SKIPIF1<0，据此分3种情况讨论：①从SKIPIF1<0中选3人划左桨，划右桨的在（SKIPIF1<0）中剩下的人中选取，有SKIPIF1<0种选法，②从SKIPIF1<0中选2人划左桨，SKIPIF1<0中选1人划左桨，划右桨的在（SKIPIF1<0）中选取，有SKIPIF1<0种选法，③从SKIPIF1<0中选1人划左桨，SKIPIF1<0中2人划左桨，SKIPIF1<0中3人划右桨，有SKIPIF1<0种选法，则有SKIPIF1<0种不同的选法．故选：C．09错位排列问题29．（2024·全国·高三专题练习）元旦来临之际，某寝室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则四张贺卡不同的分配方式有（

）A．6种 B．9种 C．11种 D．23种【答案】B【解析】解法1：设四人A、B、C、D写的贺卡分别是a、b、c、d，当A拿贺卡b，则B可拿a、c、d中的任何一张，即B拿a，C拿d，D拿c，或B拿c，D拿a，C拿d，或B拿d，C拿a，D拿c，所以A拿b时有三种不同的分配方式；同理，A拿c，d时也各有三种不同的分配方式，由分类加法计数原理，四张贺卡共有SKIPIF1<0（种）分配方式；解法2：让四人A、B、C、D依次拿一张别人送出的贺卡，如果A先拿，有3种，此时被A拿走的那张贺卡的人也有3种不同的取法，接下来，剩下的两个人都各只有1种取法，由分步乘法计数原理，四张贺卡不同的分配方式有SKIPIF1<0（种）．故选：B.30．（2024·全国·高三专题练习）若5个人各写一张卡片（每张卡片的形状、大小均相同），现将这5张卡片放入一个不透明的箱子里，并搅拌均匀，再让这5人在箱子里各摸一张，恰有1人摸到自己写的卡片的方法数有（

）A．20 B．90 C．15 D．45【答案】D【解析】根据题意，分2步分析：①先从5个人里选1人，恰好摸到自己写的卡片，有SKIPIF1<0种选法，②对于剩余的4人，因为每个人都不能拿自己写的卡片，因此第一个人有3种拿法，被拿了自己卡片的那个人也有3种拿法，剩下的2人拿法唯一，所以不同的拿卡片的方法有SKIPIF1<0种.故选：SKIPIF1<0.31．（2023·辽宁鞍山·高二统考期中）5个人站成一列，重新站队时各人都不站在原来的位置上，共有种不同的站法（

）A．42 B．44 C．46 D．48【答案】B【解析】由题意，设五人分别为SKIPIF1<0，重新站队时，可从SKIPIF1<0开始，其中SKIPIF1<0有SKIPIF1<0种不同的选择，比如SKIPIF1<0占据了SKIPIF1<0的位置，可再由SKIPIF1<0选取位置，可分为两类，1类：SKIPIF1<0占据了SKIPIF1<0的位置，则后面的重站，共有SKIPIF1<0种站法；2类：SKIPIF1<0没有占据SKIPIF1<0的位置，则SKIPIF1<0有SKIPIF1<0种站法，后面的重站，共有SKIPIF1<0种站法，所以共有SKIPIF1<0种不同的站法.故选：B.10涂色问题32．（2024·全国·高三专题练习）用四种颜色给下图的6个区域涂色，每个区域涂一种颜色，相邻区域不同色，若四种颜色全用上，则共有多少种不同的涂法（

）A．72 B．96 C．108 D．144【答案】B【解析】设四种颜料为SKIPIF1<0，①先涂区域B，有4中填涂方法，不妨设涂颜色1；②再涂区域C，有3中填涂方法，不妨设涂颜色2；③再涂区域E，有2中填涂方法，不妨设涂颜色3；④若区域A填涂颜色2，则区域D、F填涂颜色1，4，或4，3，若区域A填涂颜色4，则区域D、F填涂颜色1，3或4，3，共4中不同的填涂方法，综合①②③④，由分步计数原理可得，共有SKIPIF1<0种不同的填涂法．故选B．33．（2024·全国·高三专题练习）现有红、黄、蓝三种颜色，对如图所示的正五角星的内部涂色（分割成六个不同区域），要求每个区域涂一种颜色且相邻部分（有公共边的两个区域）的颜色不同，则不同的涂色方法有（

）

A．48种 B．64种 C．96种 D．144种【答案】C【解析】根据题意，假设正五角星的区域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，如图所示，先对SKIPIF1<0区域涂色，有3种方法，再对SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0这5个区域进行涂色，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0这5个区域都与SKIPIF1<0相邻，∴每个区域都有2种涂色方法，∴共有SKIPIF1<0种涂色方法．故选C．34．（2023·云南·校联考二模）三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现对该图进行涂色，有5种不同的颜色提供选择，相邻区域所涂颜色不同.在所有的涂色方案中随机选择一种方案，该方案恰好只用到三种颜色的概率是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】所有的涂色方案分3类：(1)用到三种颜色，为⑤一种颜色，①③同色，②④同色，涂色方法为SKIPIF1<0；(2)用到四种颜色，为⑤一种颜色，①③不同色，②④同色或⑤一种颜色，①③同色，②④不同色，涂色方法为SKIPIF1<0；(3)用到五种颜色，涂色方法为SKIPIF1<0；因此该方案恰好只用到三种颜色的概率是SKIPIF1<0.故选：B．11分组与分配问题35．（2024·重庆永川·高三重庆市永川北山中学校校考阶段练习）为了全面推进乡村振兴，加快农村、农业现代化建设，某市准备派6位乡村振兴指导员到A，B，C，3地指导工作；每地上午和下午各安排一位乡村振兴指导员，且每位乡村振兴指导员只能被安排一次，其中张指导员不安排到SKIPIF1<0地，李指导员不安排在下午，则不同的安排方案共有（

）A．180种 B．240种 C．480种 D．540种【答案】B【解析】李指导员安排在C地上午时，张指导员有SKIPIF1<0种安排方案，其余4位指导员有SKIPIF1<0种安排方案，则共有SKIPIF1<0种安排方案；李指导员不安排在C地上午时，李指导员有SKIPIF1<0种安排方案，张指导员有SKIPIF1<0种安排方案，其余4位指导员有SKIPIF1<0种安排方案，则共有SKIPIF1<0种安排方案；综上，共有96+144=240种安排方案.故选：B36．（2024·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）2023年10月12日，环广西公路自行车世界巡回赛于北海市开赛，本次比赛分别在广西北海、钦州、南宁、柳州、桂林5个城市举行，线路总长度达958.8公里，共有全球18支职业车队的百余名车手参加.主办方决定选派甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者到A、B两个路口进行支援，每个志愿者去一个路口，每个路口至少有一位志愿者，则不同的安排方案总数为（

）A．15 B．30 C．25 D．16【答案】B【解析】5名志愿者分为两组，当两组人数分别为1和4时，此时有SKIPIF1<0种情况，当两组人数分别为2和3时，此时有SKIPIF1<0种情况，综上，不同的安排方案总数为SKIPIF1<0.故选：B37．（2024·河北邢台·宁晋中学校考模拟预测）在第19届杭州亚运会期间，某项目有SKIPIF1<0四个不间的服务站，现需要将包含甲在内的5名志愿者分配到这四个不同的服务站，每个服务站至少一名志感者，则甲志愿者被分到SKIPIF1<0服务站的不同分法的种数为（

）A．80 B．120 C．160 D．60【答案】D【解析】当SKIPIF1<0服务站安排两人时，除甲外的其余4人每人去一个服务站，不同的安排方法有SKIPIF1<0种，当SKIPIF1<0服务站只安排有1人（甲）时，其余4人分成3组（211）再安排到剩余的3个服务站，不同的安排方法有SKIPIF1<0，所以不同的安排方法有SKIPIF1<0种.故选：D.12隔板法38．（2024·全国·高三专题练习）若方程SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，则方程的正整数解的个数为（

）A．10 B．15 C．20 D．30【答案】A【解析】因为方程SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，将其转化为有6个完全相同的小球，排成一列，利用挡板法将其分成3组，第一组小球数目为SKIPIF1<0；第二组小球数目为SKIPIF1<0；第三组小球数目为SKIPIF1<0，共有SKIPIF1<0种方法，故方程的正整数解的个数为10，故选：A.39．（2024·全国·高三专题练习）SKIPIF1<0的展开式为多项式，其展开式经过合并同类项后的项数一共有（

）A．72项 B．75项 C．78项 D．81项【答案】C【解析】由题设，多项式展开式各项形式为SKIPIF1<0且SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故问题等价于将2个隔板和11个小球分成三组，即SKIPIF1<0.故选：C40．（2024·全国·高三专题练习）学校有6个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少1个名额，则有（

）种分配方案．A．135 B．10 C．75 D．120【答案】B【解析】“学生名额”是相同元素，故相同元素分配分组问题，用“隔板法”，故有SKIPIF1<0，故选：B.13查字典问题41．（2024·山西太原·高二山西实验中学校考阶段练习）用SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0这六个数字，组成数字不重复且大于SKIPIF1<0，小于SKIPIF1<0的四位数有（

）个A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】分以下三种情况讨论：①首位数字为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，则后面三个数位上的数随便选择，此时，符合条件的数的个数为SKIPIF1<0；②首位数字为SKIPIF1<0，百位数字不是SKIPIF1<0，则百位数字可以在SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0中随便选择一个，后面两个数位上的数没有限制，此时，符合条件的数的个数为SKIPIF1<0；③首位数字为SKIPIF1<0，百位数字为SKIPIF1<0，则符合条件的数有SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，共SKIPIF1<0个.综上所述，大于SKIPIF1<0，小于SKIPIF1<0的四位数的个数为SKIPIF1<0.故选：A.42．（2024·吉林长春·高二东北师大附中校考期末）用数字SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0组成没有重复数字的五位数，其中比SKIPIF1<0大的偶数共有（）A．SKIPIF1<0个 B．SKIPIF1<0个 C．SKIPIF1<0个 D．SKIPIF1<0个【答案】D【解析】分以下两种情况讨论：①首位数字为SKIPIF1<0，则个位数从SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0中选择一个，其余三个数位任意排列，此时共有SKIPIF1<0个比SKIPIF1<0大的偶数；②首位数字为SKIPIF1<0，则个位数从SKIPIF1<0、SKIPIF1<0中选择一个，其余三个数位任意排列，此时共有SKIPIF1<0个比SKIPIF1<0大的偶数.综上所述，共有SKIPIF1<0个比SKIPIF1<0大的偶数.故选：D.43．（2024·广西防城港·高二防城港市高级中学校考）用数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的四位数，若将组成的不重复的四位数按从小到大的顺序排成一个数列，则第85个数字为（）A．2301 B．2304 C．2305 D．2310【答案】A【解析】首位为1的有SKIPIF1<0个，前两位为20的有SKIPIF1<0个，前两位为21的有SKIPIF1<0个，所以第85个数字是前两位为23的最小数，即为2301.故选：A.14分解法模型与最短路径问题44．（2024·全国·高三专题练习）如图，某城市的街区由12个全等的矩形组成（实线表示马路），CD段马路由于正在维修，暂时不通，则从A到B的最短路径有（

）A．20条 B．21条 C．22条 D．23条【答案】D【解析】由题意知从A到SKIPIF1<0的最短路径要通过7段马路，4段水平马路，3段竖直马路，共有SKIPIF1<0种，又因为经过SKIPIF1<0段的走法有SKIPIF1<0种，故不经过SKIPIF1<0段的最短路径有SKIPIF1<0条.,故选:D45．（2024·陕西延安·高二校考期末）某小区的道路网如图所示，则由A到C的最短路径中，经过B的走法有（

）A．6种 B．8种C．9种 D．10种【答案】C【解析】由题意，从点SKIPIF1<0到点SKIPIF1<0，共走三步，需向上走一步，向右走两步，共有SKIPIF1<0种走法；从点SKIPIF1<0到点SKIPIF1<0，共走三步，需向上走一步，向右走两步，共有SKIPIF1<0种走法，由分步计数原理，可得共有SKIPIF1<0种不同的走法.故选：C.46．（2024·江苏扬州·高二统考）蜂房绝大部分是一个正六棱柱的侧面，但它的底部却是由三个菱形构成的三面角.18世纪初，法国学者马拉尔奇曾经专门测量过大量蜂巢的尺寸.令人惊讶的是，这些蜂巢组成底盘的菱形的所有钝角都是SKIPIF1<0，所有的锐角都是SKIPIF1<0.后来经过法国数学家克尼格和苏格兰数学家马克洛林从理论上的计算，如果要消耗最少的材料，制成最大的菱形容器正是这个角度.从这个意义上说，蜜蜂称得上是“天才的数学家兼设计师”.如图所示是一个蜂巢和部分蜂巢截面.图中竖直线段和斜线都表示通道，并且在交点处相遇．现在有一只蜜蜂从入口向下（只能向下，不能向上）运动，蜜蜂在每个交点处向左到达下一层或者向右到达下一层的可能性是相同的．蜜蜂到达第SKIPIF1<0层（有SKIPIF1<0条竖直线段）第SKIPIF1<0通道（从左向右计）的不同路径数为SKIPIF1<0.例如：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.则不等式SKIPIF1<0的解集为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由题可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，可推得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0可能取到0，1，2，7，8，9，所以解集为SKIPIF1<0，故选：B47．（2024·江苏扬州·高二统考）如图，在某城市中，SKIPIF1<0､SKIPIF1<0两地之间有整齐的方格形道路网，其中SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是道路网中的SKIPIF1<0个指定交汇处.今在道路网SKIPIF1<0､SKIPIF1<0处的甲､乙两人分别要到SKIPIF1<0､SKIPIF1<0处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发直到到达SKIPIF1<0､SKIPIF1<0处为止.则下列说法正确的是（

）A．甲从SKIPIF1<0到达SKIPIF1<0处的方法有SKIPIF1<0种B．甲从SKIPIF1<0必须经过SKIPIF1<0到达SKIPIF1<0处的方法有SKIPIF1<0种C．甲、乙两人在SKIPIF1<0处相遇的概率为SKIPIF1<0D．甲、乙两人在道路网中SKIPIF1<0个指定交汇处相遇的概率为SKIPIF1<0【答案】D【解析】对于A，甲从M到N的最短路程，只能向上或者向右走，需要走6步，2步向上，4步向右，共有CSKIPIF1<0种，故A错；对于B，第一步，甲从M到SKIPIF1<0，有CSKIPIF1<0种走法，第二步，从SKIPIF1<0到N，有CSKIPIF1<0种走法，所以共有SKIPIF1<0种走法，故B错；对于C，由B可知甲、乙经过SKIPIF1<0的走法都有9种，所以在SKIPIF1<0处相遇共有SKIPIF1<0种走法，而甲、乙两人的总走法有SKIPIF1<0种，所以两人在SKIPIF1<0处相遇的概率为SKIPIF1<0，故C错；对于D，因为甲、乙两人只能在SKIPIF1<0处相遇，由C可知D对.故选：D.15构造法模型和递推模型48．将SKIPIF1<0方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等．若相邻两个小方格的颜色不同，称他们的公共边为“分割边”，则分割边条数的最小值为（

）A．33 B．56 C．64 D．78【答案】B【解析】记分隔边的条数为SKIPIF1<0，首先将方格表按图分成三个区域，如图：分别染成三种颜色，粗线上均为分隔边，此时共有56条分隔边，则SKIPIF1<0，其次证明：SKIPIF1<0，将方格表的行从上至下依次记为SKIPIF1<0，列从左至右依次记为SKIPIF1<0，行SKIPIF1<0中方格出现的颜色为SKIPIF1<0，列SKIPIF1<0中方格出现的颜色为SKIPIF1<0，三种颜色分别记为SKIPIF1<0，对于一种颜色SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0为含色方格的行数与列数之和，定义当SKIPIF1<0行含SKIPIF1<0色方格时，SKIPIF1<0，否则SKIPIF1<0，类似的定义SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由于染SKIPIF1<0色的格的行有SKIPIF1<0个，列有SKIPIF1<0个，则SKIPIF1<0色的方格一定在这SKIPIF1<0行和SKIPIF1<0列的交叉方格中，从而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以①，由于在行SKIPIF1<0中有SKIPIF1<0种颜色的方格，于是至少有SKIPIF1<0条分隔边，类似地，在列SKIPIF1<0中至少有SKIPIF1<0条分隔边，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0②SKIPIF1<0③，下面分两种情况讨论：1、有一行或一列所有方格同色，不妨设为SKIPIF1<0色，则方格表的33列中均含有SKIPIF1<0色的方格，又SKIPIF1<0色的方格有363个，故至少有SKIPIF1<0行含有SKIPIF1<0色的方格，于是SKIPIF1<0④，由①③④得SKIPIF1<0；2、没有一行也没有一列所有方格同色，对任意SKIPIF1<0均有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，从而由②可得SKIPIF1<0；综上所述，分隔边条数的最小值为56.故选：B49．（2024·福建福州·高三统考期中）三名篮球运动员甲、乙、丙进行传球训练，由丙开始传，经过SKIPIF1<0次传递后，球又被传回给丙，则不同的传球方式共有（

）A．4种 B．10种C．12种 D．22种【答案】B【解析】根据题意，设在第SKIPIF1<0次传球后（SKIPIF1<0），有SKIPIF1<0种情况球在丙手中，即经过SKIPIF1<0次传递后，球又被传回给丙，而前SKIPIF1<0次传球中，每次传球都有SKIPIF1<0种方法，则前SKIPIF1<0次传球的不同的传球方法共有SKIPIF1<0种，那么在第SKIPIF1<0次传球后，球不在丙手中的情况有SKIPIF1<0种情况，即球在乙或甲手中，只有在这些情况时，在第SKIPIF1<0次传球后，球才会被传回丙，即SKIPIF1<0；易得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选：B．50．（2024·全国·高三专题练习）跳格游戏：如图，人从格子外只能进入第1个格子，在格子中每次可向前跳1格或2格，那么人从格子外跳到第8个格子的方法种数为A．8种 B．13种 C．21种 D．34种【答案】C【解析】设跳到第n格的方法有an，则达到第n格的方法有两类，①是向上跳一格到达第n格，方法数为an-1，②向上跳2格到达第n格，方法数是an-2，则an=an-1+an-2，有数列的递推关系得到数列的前8项分别是1，1，2，3，5，8，13，21∴跳到第8格的方法数是21，故选C．16环排与多排问题51．现有8个人围成一圈玩游戏，其中甲、乙、丙三人不全相邻的排法种数为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】8个人围成一圈,有SKIPIF1<0种.其中甲、乙、丙三人相邻，看做一个整体，由SKIPIF1<0.所以甲、乙、丙三人不全相邻的排法种数为SKIPIF1<0.故答案为：D52．（2024·内蒙古赤峰·高二赤峰二中校考阶段练习）如图，某伞厂生产的太阳伞的伞篷是由太阳光的七种颜色组成，七种颜色分别涂在伞篷的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同颜色图案的此类太阳伞最多有（

）.A．40320种 B．5040种 C．20160种 D．2520种【答案】D【解析】先从7种颜色中任意选择一种，涂在相对的区域内，有SKIPIF1<0种方法，再将剩余的6种颜色全部涂在剩余的6个区域内，共有SKIPIF1<0种方法，由于图形是轴对称图形，所以上述方法正好重复一次，所以不同的涂色方法，共有SKIPIF1<0种不同的涂法.故选：D.53．（2024·辽宁·高三校联考阶段练习）已知甲、乙、丙三位同学围成一个圆时，其中一个排列“甲乙丙”与该排列旋转一个或几个位置后得到的排列“乙丙甲”或“丙甲乙”是同一个排列．现有SKIPIF1<0位同学，若站成一排，且甲同学在乙同学左边的站法共有SKIPIF1<0种，那么这SKIPIF1<0位同学围成一个圆时，不同的站法总数为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】因站成一排时甲在乙左与甲在乙右的站法数相同，而m位同学站成一排有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，甲、乙、丙三位同学围成一个圆，“甲乙丙”、“乙丙甲”或“丙甲乙”是同一排列，其中每一个排列可以拆成以任意一个人为排首的直线排列3个，3人围成一个圆的排列数为SKIPIF1<0，由此可得n个人围成一个圆的排列数为SKIPIF1<0，5位同学围成一个圆的排列数为SKIPIF1<0.故选：A17配对型模型54．（2024·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）新冠疫情期间，网上购物成为主流.因保管不善，四个快递A､B､C､D上送货地址模糊不清，但快递小哥记得这四个快递应分别送去甲､乙､丙､丁四个地方，全部送错的概率是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】若全部