2024-2025学年新教材高中数学单元素养评价一含解析新人教A版必修第一册

PAGE10-单元素养评价(一)(第一、二章)(120分钟150分)一、单选题(每小题5分，共40分)1.不等式14-5x-x2<0的解集为 ()A.{x|-7<x<2} B.{x|x<-7或x>2}C.{x|x>2} D.{x|x<-7}【解析】选B.原不等式等价于x2+5x-14>0，所以(x+7)·(x-2)>0，即x<-7或x>2，故选B.2.若a，b，c∈R且a>b，则下列不等式成立的是 ()A.a2>b2 B.QUOTE<QUOTEC.a|c|>b|c| D.QUOTE>QUOTE【解析】选D.选项A：a=0，b=-1，符合a>b，但不等式a2>b2不成立，故本选项是错误的；选项B：当a=0，b=-1符合已知条件，但零没有倒数，故QUOTE<QUOTE不成立，故本选项是错误的；选项C：当c=0时，a|c|>b|c|不成立，故本选项是错误的；选项D：因为c2+1>0，所以依据不等式的性质，由a>b能推出QUOTE>QUOTE.3.QUOTE(-6≤a≤3)的最大值为 ()A.9 B.QUOTE C.3 D.QUOTE【解析】选B.因为-6≤a≤3，所以3-a≥0，a+6≥0，所以QUOTE≤QUOTE=QUOTE.当且仅当a=-QUOTE时，等号成立，即QUOTE(-6≤a≤3)的最大值为QUOTE.4.不等式mx2-ax-1>0(m>0)的解集可能是 ()A.QUOTE B.RC.QUOTE D.∅【解析】选A.因为Δ=a2+4m>0，所以函数y=mx2-ax-1的图象与x轴有两个交点，又因为m>0，所以原不等式的解集不行能是B，C，D选项.5.某市原来居民用电价为0.52元/kW·h，换装分时电表后，峰时段(早上八点到晚上九点)的电价为0.55元/kW·h，谷时段(晚上九点到次日早上八点)的电价为0.35元/kW·h.对于一个平均每月用电量为200kW·h的家庭，换装分时电表后，每月节约的电费不少于原来电费的10%，则这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为 ()A.110kW·h B.114kW·hC.118kW·h D.120kW·h【解析】选C.设每月峰时段的平均用电量为xkW·h，则谷时段的用电量为(200-x)kW·h；依据题意，得：(0.52-0.55)x+(0.52-0.35)(200-x)≥200×0.52×10%，解得x≤118.所以这个家庭每月峰时段的平均用电量至多为118kW·h.6.已知2a+1<0，则关于x的不等式x2-4ax-5a2>0的解集是 ()A.{x|x<5a或x>-a}B.{x|x>5a或x<-a}C.{x|-a<x<5a}D.{x|5a<x<-a}【解析】选A.方程x2-4ax-5a2=0的两根为-a，5a.因为2a+1<0，所以a<-QUOTE，所以-a>5a.结合二次函数y=x2-4ax-5a2的图象，得原不等式的解集为{x|x<5a或x>-a}，故选A.7.若0<x<QUOTE，则函数y=xQUOTE的最大值为 ()A.1 B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.因为0<x<QUOTE，所以1-4x2>0，所以xQUOTE=QUOTE×2xQUOTE≤QUOTE×QUOTE=QUOTE，当且仅当2x=QUOTE，即x=QUOTE时等号成立.8.(2024·攀枝花高一检测)某公司从2024年起每人的年工资主要由三个项目组成并按下表规定实施：项目计算方法基础工资2024年1万元，以后每年逐增10%住房补贴按工龄计算：400元×工龄医疗费每年1600元固定不变若该公司某职工在2024年将得到的住房补贴与医疗费之和超过基础工资的25%，到2024年底这位职工的工龄至少是 ()A.2年 B.3年 C.4年 D.5年【解析】选C.设这位职工工龄至少为x年，则400x+1600>10000·(1+10%)2×25%，即400x+1600>3025，即x>3.5625，所以至少为4年.二、多选题(每小题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9.下列说法不正确的是 ()A.某人月收入x不高于2000元可表示为“x<2000B.小明的身高为x，小华的身高为y，则小明比小华矮表示为“x>y”C.某变量x至少是a可表示为“x≥a”D.某变量y不超过a可表示为“y≥a”【解析】选ABD.对于A，x应满意x≤2000，故A错；对于B，x，y应满意x<y，故B不正确；C正确；对于D，y与a的关系可表示为y≤a，故D错误.10.下列不等式不肯定正确的是 ()A.x+QUOTE≥2 B.QUOTE≥2C.QUOTE>xy D.QUOTE≥QUOTE【解析】选BCD.因为x与QUOTE同号，所以QUOTE=|x|+QUOTE≥2，A正确；当x，y异号时，B不正确；当x=y时，QUOTE=xy，C不正确；当x=1，y=-1时，D不正确.11.已知2<x<3，2<y<3，则 ()A.2x+y的取值范围为(6，9)B.2x-y的取值范围为(2，3)C.x-y的取值范围为(-1，1)D.xy的取值范围为(4，9)【解析】选ACD.因为2<x<3，2<y<3，所以4<xy<9，4<2x<6，所以6<2x+y<9，而-3<-y<-2，所以1<2x-y<4，-1<x-y<1.12.3+5x-2x2>0的充分不必要条件是 ()A.-QUOTE<x<3 B.-QUOTE<x<0C.1<x<2 D.-1<x<6【解析】选BC.由不等式3+5x-2x2>0，可得2x2-5x-3<0，解得-QUOTE<x<3，由此可得：选项A，-QUOTE<x<3是不等式3+5x-2x2>0成立的充要条件；选项B，-QUOTE<x<0是不等式3+5x-2x2>0成立的充分不必要条件；选项C，1<x<2是不等式3+5x-2x2>0成立的充分不必要条件；选项D，-1<x<6是不等式3+5x-2x2>0成立的必要不充分条件.三、填空题(每小题5分，共20分)13.二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如表：x-3-2-101234y60-4-6-6-406则a=_______；不等式ax2+bx+c>0的解集为_______.

【解析】由表知x=-2时y=0，x=3时，y=0，所以二次函数y=ax2+bx+c可化为y=a(x+2)(x-3).又因为x=1时，y=-6，所以a=1，图象开口向上，结合二次函数的图象可得不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|x<-2或x>3}.答案：1{x|x<-2或x>3}14.若a<1，则a+QUOTE与-1的大小关系是_______.

【解析】因为a<1，即1-a>0，所以-QUOTE=(1-a)+QUOTE≥2QUOTE=2.即a+QUOTE≤-1.答案：a+QUOTE≤-115.已知A={x|1<x<2}，B={x|x2-2ax+a2-1<0}，若A⊆B，则a的取值范围是_______.

【解析】方程x2-2ax+a2-1=0的两根为a+1，a-1，且a+1>a-1，所以B={x|a-1<x<a+1}.因为A⊆B，所以QUOTE，解得1≤a≤2.答案：1≤a≤216.若正数a，b满意a+b=1，则QUOTE+QUOTE的最小值为_______.

【解析】由a+b=1，知QUOTE+QUOTE=QUOTE=QUOTE，又ab≤QUOTE=QUOTE(当且仅当a=b=QUOTE时等号成立)，所以9ab+10≤QUOTE，所以QUOTE≥QUOTE.答案：QUOTE四、解答题(共70分)17.(10分)解下列不等式：(1)2+3x-2x2>0.(2)x(3-x)≤x(x+2)-1.(3)x2-2x+3>0.【解析】(1)原不等式可化为2x2-3x-2<0，所以(2x+1)(x-2)<0，故原不等式的解集是QUOTE.(2)原不等式可化为2x2-x-1≥0.所以(2x+1)(x-1)≥0，故原不等式的解集为QUOTE.(3)因为Δ=(-2)2-4×3=-8<0，故原不等式的解集是R.18.(12分)(1)若x<3，求y=2x+1+QUOTE的最大值.(2)已知x>0，求y=QUOTE的最大值.【解析】(1)因为x<3，所以3-x>0.又因为y=2(x-3)+QUOTE+7=-2(3-x)+QUOTE+7，由基本不等式可得2(3-x)+QUOTE≥2QUOTE=2QUOTE，当且仅当2(3-x)=QUOTE，即x=3-QUOTE时，等号成立，于是-QUOTE≤-2QUOTE，-2(3-x)+QUOTE+7≤7-2QUOTE，故y的最大值是7-2QUOTE.(2)y=QUOTE=QUOTE.因为x>0，所以x+QUOTE≥2QUOTE=2，所以0<y≤QUOTE=1，当且仅当x=QUOTE，即x=1时，等号成立.故y的最大值为1.19.(12分)“绿水青山就是金山银山”.随着经济的发展，我国更加重视对生态环境的爱护，2024年起，政府对环保不达标的养鸡场进行限期整改或勒令关闭.一段时间内，鸡蛋的价格起伏较大(不同周价格不同).假设第一周、其次周鸡蛋的价格分别为x元、y元(单位：kg)；甲、乙两人的购买方式不同：甲每周购买3kg鸡蛋，乙每周购买10(1)若x=8，y=10，求甲、乙两周购买鸡蛋的平均价格.(2)推断甲、乙两人谁的购买方式更实惠(平均价格低视为实惠)，并说明理由.【解析】(1)因为x=8，y=10，所以甲两周购买鸡蛋的平均价格为QUOTE=9(元)，乙两周购买鸡蛋的平均价格为QUOTE=QUOTE(元).(2)甲两周购买鸡蛋的平均价格为QUOTE=QUOTE，乙两周购买鸡蛋的平均价格为QUOTE=QUOTE，由(1)知，当x=8，y=10时，乙两周购买鸡蛋的平均价格比甲两周购买鸡蛋的平均价格低，揣测乙的购买方式更实惠.证法一(比较法)：依题意x，y>0，且x≠y，因为QUOTE-QUOTE=QUOTE=QUOTE>0，所以QUOTE>QUOTE，所以乙两周购买鸡蛋的平均价格比甲两周购买鸡蛋的平均价格低，即乙的购买方式更实惠.证法二(分析法)：依题意x，y>0，且x≠y，要证：QUOTE>QUOTE，只需证：(x+y)2>4xy只需证：x2+y2>2xy，只需证：x≠y(已知).所以乙两周购买鸡蛋的平均价格比甲两周购买鸡蛋的平均价格低，即乙的购买方式更实惠.20.(12分)解关于x的不等式x2+3ax-4a2<0(a∈R).【解析】由于x2+3ax-4a2<0可化为(x-a)·(x+4a)<0，且方程(x-a)(x+4a)=0的两个根分别是a和-4a.当a=-4a，即a=0时，不等式的解集为∅；当a>-4a，即a>0时，解不等式得-4a<x<a；当a<-4a，即a<0时，解不等式得a<x<-4a.综上所述，当a=0时，不等式的解集为∅；当a>0时，不等式的解集为{x|-4a<x<a}；当a<0时，不等式的解集为{x|a<x<-4a}.21.(12分)已知a，b为正实数，且QUOTE+QUOTE=2QUOTE.(1)求a2+b2的最小值.(2)若(a-b)2≥4(ab)3，求ab的值.【解析】(1)因为a，b为正实数，且QUOTE+QUOTE=2QUOTE，所以QUOTE+QUOTE=2QUOTE≥2QUOTE，即ab≥QUOTE(当且仅当a=b时等号成立).因为a2+b2≥2ab≥2×QUOTE=1(当且仅当a=b时等号成立)，所以a2+b2的最小值为1.(2)因为QUOTE+QUOTE=2QUOTE，所以a+b=2QUOTEab.因为(a-b)2≥4(ab)3，所以(a+b)2-4ab≥4(ab)3，即(2QUOTEab)2-4ab≥4(ab)3，即(ab)2-2ab+1≤0，(ab-1)2≤0.因为a，b为正实数，所以ab=1.22.(12分)(2024·滨州高一检测)为了缓解市民吃肉难的生活问题，某生猪养殖公司欲将一批猪肉用冷藏汽车从甲地运往相距120千米的乙地，运费为每小时60元，装卸费为1000元，猪肉在运输途中的损耗费(单位：元)是汽车速度(km/h)值的2倍.(说明：运输的总费用=运费+装卸费+损耗费)(1)若汽车的速度为每小时50千米，试求运输的总费用.(2)为使运输的总费用不超过1260元，求汽车行驶速度的范围.(3)若要使运输的总费用最小，汽车应以每小时多少千米的速度行驶？【解析】(1)当汽车的速度为每小时50千米时，运输的总费用为：