数学课堂探究：平面向量基本定理

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂探究探究一基底的判断两个向量能否作为基底关键是判断这两个向量中是否有零向量或这两个向量是否共线．【例1】已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(3x－4y）·e1＋(2x－3y）e2＝6e1＋3e2，则x－y的值等于（）A．3B．－3C．0D．2解析：由得故x－y＝3．答案：A名师点拨若a,b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0．【例2】已知e1和e2不共线，则下列各组向量可以作为基底的是________．(填序号)①a＝2e1，b＝－2e1;②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；③a＝4e1－e2，b＝e1－e2；④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2．解析:①a＝－b;②b＝－2a；③a＝4b,所以①②③不能作基底．答案：④探究二用基底表示向量用基底来表示向量主要有以下两种类型：(1)直接利用基底,结合向量的线性运算，灵活应用三角形法则与平行四边形法则求解．(2)若直接利用基底表示比较困难，则利用“正难则反"的原则，采用方程思想求解．【例3】已知在△ABC中,D为BC的中点，E，F为BC的三等分点，若＝a,＝b,用a，b表示,，．分析:把，,分别放在一个封闭三角形中，利用线性运算不断地向基底靠拢．解：由题意，得＝＋＝＋＝＋(－）＝a＋（b－a）＝a＋b，＝＋＝a＋（b－a)＝a＋b,＝＋＝a＋(b－a）＝a＋b．探究三直线的向量参数方程式的应用直线的向量参数方程式＝（1－t）＋t(t为实数）包含两层意思:(1）当点P在直线AB上时满足该式；(2)反之，当点P满足该式时，点P一定在直线AB上．【例4】如图所示,在△ABC中，＝,P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为（）A．B．C．D．解析：因为＝，所以＝4．又＝m＋,所以＝m＋．因为P，B，N三点共线，所以由直线的向量参数方程式知m＋＝1，所以m＝．答案：C探究四向量法证明几何问题选取合适的基底，将待证的向量用基底表示，可以证明线段平行等位置关系．【例5】如图所示,点M是AB边上的中点，E是CM的中点，AE的延长线交BC于点F，MH∥AF，且MH交BC于点H．求证：＝＝．证明:设＝a，＝b,则＝a＋b，＝＋＋＝－＋2＋2＝－a－b＋2a＋2b＝a＋b,＝＋＝eq\f(1，2)＋＝－＋＋＝－b＋＋－＝－b＋a＋2－＝－b＋a＋2b－b＝a＋b．综上可得：＝＝．探究五确定两直线交点的位置问题基底建模是向量法解决几何图形有关证明和求解的重要方法，关键在于选取的基底是否合适．【例6】如图所示，在△ABC中,点M在边BC上，且BM＝eq\f（1,2）MC，点N在边AC上,且AN＝3NC，AM与BN相交于点P,求AP∶PM的值．分析：选择一组合适的向量作为基底，用这组基底表示平面内的有关向量,再由向量共线的条件列出等式，用待定系数法解之．解：设＝e1，＝e2，则＝＋＝－4e2－2e1，＝＋＝3e1＋e2．因为A,P，M和B，P，N分别共线，所以存在实数λ，μ，使得＝λ＝－2λe1－4λe2,＝μ＝3μe1＋μe2