曲边梯形面积与定积分(二)教案

1.4.1曲边梯形面积与定积分【学习要求】1．了解定积分的概念，会用定义求定积分.2.理解定积分的几何意义.3.掌握定积分的基本性质．【学法指导】通过求曲边梯形的面积、变力做功这两个背景和实际意义截然不同的问题，进一步体会定积分的作用及意义.1．定积分：设函数y＝f(x)定义在区间[a，b]上，用分点a＝x0<x1<x2<…xn－1<xn＝b，把区间[a，b]分为n个小区间，其长度依次为Δxi＝xi＋1－xi，i＝0,1,2，…，n－1.记λ为这些小区间长度的最大者，当λ趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0，在每个区间内任取一点ξi，作和式In＝eq\i\su(i＝0,n－1,f)(ξi)Δxi.当λ→0时，如果和式的极限存在，我们把和式In的极限叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作ʃeq\o\al(b,a)f(x)dx，即ʃeq\o\al(b,a)f(x)dx＝_____eq\o(lim,\s\do8(λ→0))eq\i\su(i＝0,n－1,f)(ξi)Δxi___.2．在定积分ʃeq\o\al(b,a)f(x)dx中，f(x)叫做被积函数，a叫做积分下限，b叫做积分上限，f(x)dx叫做被积式．3．如果函数f(x)在[a，b]的图象是一条连续的曲线，则f(x)在[a，b]一定是可积的．4．定积分的性质(1)ʃeq\o\al(b,a)kf(x)dx＝kʃeq\o\al(b,a)f(x)dx(k为常数)；(2)ʃeq\o\al(b,a)[f1(x)±f2(x)]dx＝ʃeq\o\al(b,a)f1(x)dx±ʃeq\o\al(b,a)f2(x)dx；(3)ʃeq\o\al(b,a)f(x)dx＝ʃeq\o\al(c,a)f(x)dx＋ʃeq\o\al(b,c)f(x)dx(其中a<c<b).探究点一定积分的概念问题1分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的共同点．答两个问题均可以通过“分割、近似代替、求和、取极限”解决，都可以归结为一个特定形式和的极限．问题2怎样正确认识定积分ʃeq\o\al(b,a)f(x)dx?答(1)定积分ʃeq\o\al(b,a)f(x)dx是一个数值(极限值)．它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，另外ʃeq\o\al(b,a)f(x)dx与积分区间[a，b]息息相关，不同的积分区间，所得值也不同．(2)定积分就是和的极限eq\o(lim,\s\do8(n→＋∞))eq\i\su(i＝1,n,f)(ξi)·Δx，而ʃeq\o\al(b,a)f(x)dx只是这种极限的一种记号，读作“函数f(x)从a到b的定积分”．(3)函数f(x)在区间[a，b]上连续这一条件是不能忽视的，它保证了和的极限(定积分)的存在(实际上，函数连续是定积分存在的充分条件，而不是必要条件)．例1利用定积分的定义，计算ʃeq\o\al(1,0)x3dx的值．解令f(x)＝x3.(1)分割：在区间[0,1]上等间隔地插入n－1个分点，把区间[0,1]等分成n个小区间[eq\f(i－1,n)，eq\f(i,n)](i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为Δx＝eq\f(i,n)－eq\f(i－1,n)＝eq\f(1,n).(2)近似代替、作和：取ξi＝eq\f(i,n)(i＝1,2，…，n)，则ʃeq\o\al(1,0)x3dx≈Sn＝eq\o(∑,\s\up12(n),\s\do8(i＝1))f(eq\f(i,n))·Δx＝eq\o(∑,\s\up10(n),\s\do8(i＝1))(eq\f(i,n))3·eq\f(1,n)＝eq\f(1,n4)eq\o(∑,\s\up10(n),\s\do8(i＝1))i3＝eq\f(1,n4)·eq\f(1,4)n2(n＋1)2＝eq\f(1,4)(1＋eq\f(1,n))2.(3)取极限ʃeq\o\al(1,0)x3dx＝eq\o(lim,\s\do8(n→＋∞))Sn＝eq\o(lim,\s\do8(n→＋∞))eq\f(1,4)(1＋eq\f(1,n))2＝eq\f(1,4).小结利用定积分定义求定积分的数值仍然是“分割、近似代替、求和、取极值”这一过程，需要注意的是在本题中将近似代替、求和一起作为步骤(2)，从而省略了解题步骤．跟踪训练1用定义计算ʃeq\o\al(2,1)(1＋x)dx.解(1)分割：将区间[1,2]等分成n个小区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\f(i－1,n)，1＋\f(i,n)))(i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度Δx＝eq\f(1,n).(2)近似代替、求和：在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\f(i－1,n)，1＋\f(i,n)))上取点ξi＝1＋eq\f(i－1,n)(i＝1,2，…，n)，于是f(ξi)＝1＋1＋eq\f(i－1,n)＝2＋eq\f(i－1,n)，从而得eq\i\su(i＝1,n,f)(ξi)Δx＝eq\i\su(i＝1,n,)(2＋eq\f(i－1,n))·eq\f(1,n)＝eq\i\su(i＝1,n,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,n)＋\f(i－1,n2)))＝eq\f(2,n)·n＋eq\f(1,n2)[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＝2＋eq\f(1,n2)·eq\f(nn－1,2)＝2＋eq\f(n－1,2n).(3)取极限：S＝eq\o(lim,\s\do8(n→＋∞))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(n－1,2n)))＝2＋eq\f(1,2)＝eq\f(5,2).因此ʃeq\o\al(2,1)(1＋x)dx＝eq\f(5,2).探究点二定积分的几何意义问题1从几何上看，如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么ʃeq\o\al(b,a)f(x)dx表示什么？答当函数f(x)≥0时，定积分ʃeq\o\al(b,a)f(x)dx在几何上表示由直线x＝a，x＝b(a<b)，y＝0及曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．问题2当f(x)在区间[a，b]上连续且恒有f(x)≤0时，ʃeq\o\al(b,a)f(x)dx表示的含义是什么？若f(x)有正有负呢？答如果在区间[a，b]上，函数f(x)≤0时，那么曲边梯形位于x轴的下方(如图①)．由于eq\f(b－a,n)>0，f(ξi)≤0，故f(ξi)eq\f(b－a,n)≤0.从而定积分ʃeq\o\al(b,a)f(x)dx≤0，这时它等于如图所示曲边梯形面积的相反值，即ʃeq\o\al(b,a)f(x)dx＝－S.当f(x)在区间[a，b]上有正有负时，定积分ʃeq\o\al(b,a)f(x)dx表示介于x轴、函数f(x)的图象及直线x＝a，x＝b(a≠b)之间各部分面积的代数和(在x轴上方的取正，在x轴下方的取负)．(如图②)，即ʃeq\o\al(b,a)f(x)dx＝－S1＋S2－S3.例2利用几何意义计算下列定积分：(1)ʃeq\o\al(3,－3)eq\r(9－x2)dx；(2)ʃeq\o\al(3,－1)(3x＋1)dx.解(1)在平面上y＝eq\r(9－x2)表示的几何图形为以原点为圆心以3为半径的上半圆，其面积为S＝eq\f(1,2)·π·32.由定积分的几何意义知ʃeq\o\al(3,－3)eq\r(9－x2)dx＝eq\f(9,2)π.(2)由直线x＝－1，x＝3，y＝0，以及y＝3x＋1所围成的图形，如图所示：ʃeq\o\al(3,－1)(3x＋1)dx表示由直线x＝－1，x＝3，y＝0以及y＝3x＋1所围成的图形在x轴上方的面积减去在x轴下方的面积，∴ʃeq\o\al(3,－1)(3x＋1)dx＝eq\f(1,2)×(3＋eq\f(1,3))×(3×3＋1)－eq\f(1,2)(－eq\f(1,3)＋1)×2＝eq\f(50,3)－eq\f(2,3)＝16.小结利用几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数的图象，以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积．不规则的图象常用分割法求面积，注意分割点的准确确定．跟踪训练2根据定积分的几何意义求下列定积分的值：(1)ʃeq\o\al(1,－1)xdx；(2)ʃeq\o\al(2π,0)cosxdx；(3)ʃeq\o\al(1,－1)|x|dx.解(1)如图(1)，ʃeq\o\al(1,－1)xdx＝－A1＋A1＝0.(2)如图(2)，ʃeq\o\al(2π,0)cosxdx＝A1－A2＋A3＝0.(3)如图(3)，∵A1＝A2，∴ʃeq\o\al(1,－1)|x|dx＝2A1＝2×eq\f(1,2)＝1.(A1，A2，A3分别表示图中相应各处面积)探究点三定积分的性质问题1定积分的性质可作哪些推广？答定积分的性质的推广①ʃeq\o\al(b,a)[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]dx＝ʃeq\o\al(b,a)f1(x)dx±ʃeq\o\al(b,a)f2(x)dx±…±ʃeq\o\al(b,a)fn(x)dx；②ʃeq\o\al(b,a)f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx＋…＋f(x)dx(其中n∈N*)．问题2如果一个函数具有奇偶性，它的定积分有什么性质？答奇、偶函数在区间[－a，a]上的定积分①若奇函数y＝f(x)的图象在[－a，a]上连续不断，则ʃeq\o\al(a,－a)f(x)dx＝0.②若偶函数y＝g(x)的图象在[－a，a]上连续不断，则ʃeq\o\al(a,－a)g(x)dx＝2ʃeq\o\al(a,0)g(x)dx.例3计算ʃeq\o\al(3,－3)(eq\r(9－x2)－x3)dx的值．解如图，由定积分的几何意义得ʃeq\o\al(3,－3)eq\r(9－x2)dx＝eq\f(π×32,2)＝eq\f(9π,2)，ʃeq\o\al(3,－3)x3dx＝0，由定积分性质得ʃeq\o\al(3,－3)(eq\r(9－x2)－x3)dx＝ʃeq\o\al(3,－3)eq\r(9－x2)dx－ʃeq\o\al(3,－3)x3dx＝eq\f(9π,2).小结根据定积分的性质计算定积分，可以先借助于定积分的定义或几何意义求出相关函数的定积分，再利用函数的性质、定积分的性质结合图形进行计算．跟踪训练3已知ʃeq\o\al(1,0)x3dx＝eq\f(1,4)，ʃeq\o\al(2,1)x3dx＝eq\f(15,4)，ʃeq\o\al(2,1)x2dx＝eq\f(7,3)，ʃeq\o\al(4,2)x2dx＝eq\f(56,3)，求：(1)ʃeq\o\al(2,0)3x3dx；(2)ʃeq\o\al(4,1)6x2dx；(3)ʃeq\o\al(2,1)(3x2－2x3)dx.解(1)ʃeq\o\al(2,0)3x3dx＝3ʃeq\o\al(2,0)x3dx＝3(ʃeq\o\al(1,0)x3dx＋ʃeq\o\al(2,1)x3dx)＝3×(eq\f(1,4)＋eq\f(15,4))＝12；(2)ʃeq\o\al(4,1)6x2dx＝6ʃeq\o\al(4,1)x2dx＝6(ʃeq\o\al(2,1)x2dx＋ʃeq\o\al(4,2)x2dx)＝6×(eq\f(7,3)＋eq\f(56,3))＝126；(3)ʃeq\o\al(2,1)(3x2－2x3)dx＝ʃeq\o\al(2,1)3x2dx－ʃeq\o\al(2,1)2x3dx＝3ʃeq\o\al(2,1)x2dx－2ʃeq\o\al(2,1)x3dx＝3×eq\f(7,3)－2×eq\f(15,4)＝7－eq\f(15,2)＝－eq\f(1,2).4．已知sinxdx＝sinxdx＝1，x2dx＝eq\f(π3,24)，求下列定积分：(1)ʃeq\o