北京市顺义区2022-2023学年高二上学期数学期末质量监测试卷（含答案）

北京市顺义区2022-2023学年高二上学期数学期末质量监测试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三总分评分一、单选题1．下列直线中，斜率为1的是（）A．x+y−2=0 B．x−1=0 C．x−y+1=0 D．x−2．已知甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶概率为0.8，乙中靶概率为0.7，且两人是否中靶相互独立．若甲、乙各射击一次，则两人都中靶的概率为（）A．0.56 B．0.14 C．0.24 D．0.943．若直线x−ay=0与直线2x+y−1=0的交点为(1，A．-1 B．−12 C．14．已知圆C：x2A．圆心(0，2)，半径r=1 C．圆心(0，2)，半径r=2 5．农科院的专家为了了解新培育的甲、乙两种麦苗的长势情况，从种植有甲、乙两种麦苗的两块试验田中各抽取6株麦苗测量株高，得到的数据如下（单位：cm）：甲：9，10，10，11，12，20；乙：8，10，12，13，14，21．根据上述数据，下面四个结论中，正确的结论是（）A．甲种麦苗样本株高的极差大于乙种麦苗样本株高的极差B．甲种麦苗样本株高的平均值大于乙种麦苗样本株高的平均值C．甲种麦苗样本株高的中位数大于乙种麦苗样本株高的中位数D．甲种麦苗样本株高的方差小于乙种麦苗样本株高的方差6．抛掷两颗质地均匀的正方体骰子，记下骰子朝上面的点数．设A=“两个点数之和等于8”，B=“至少有一颗骰子的点数为5”，则事件A∪B的概率是（）A．118 B．29 C．7187．若双曲线x2a2−y2bA．62 B．233 C．8．空间直角坐标系中，点P(1，A．(−1，2C．(1，29．已知椭圆C的焦点为F1(0，−2)，A．x29+y25=1 B．10．如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为B1A．线段AP长度最大值为5，无最小值B．线段AP长度最小值为32C．线段AP长度最大值为5，最小值为3D．线段AP长度无最大值，无最小值二、填空题11．某校高中三个年级共有学生2400人，其中高一年级有学生800人，高二年级有学生700人．为了了解学生参加整本书阅读活动的情况，现采用分层抽样的方法从中抽取容量为240的样本进行调查，那么在高三年级的学生中应抽取的人数为．12．若圆C1：x2+y13．如图，在四面体O−ABC中，OA=a，OB=b，OC=c，D为BC的中点，E为AD的中点，若OE=xa+yb+zc14．已知点M在抛物线x2=4y上，F是抛物线的焦点，直线FM交x轴于点N，若M为线段FN的中点，则焦点F坐标是，|FN|=15．现代几何学用曲率概念描述几何体的弯曲程度．约定：多面体在每个顶点处的曲率等于2π减去该点处所有面角之和（多面体每个侧面的内角叫做多面体的面角），一个多面体的总曲率等于该多面体各顶点处的曲率之和．例如：正方体在每个顶点处有3个面角，每个面角的大小是π2，所以正方体在各顶点处的曲率为2π−π2×3=π2．按照以上约定，四棱锥的总曲率为；若正十二面体（图1）和正二十面体（图2）的总曲率分别为θ三、解答题16．从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图．组号分组频数1[c2[83[174[225[256[127[68[29[2合计100（1）求频数分布表中c的值及频率分布直方图中a，b的值；（2）从一周阅读时间不低于14小时的学生中抽出2人做访谈，求2人恰好在同一个数据分组的概率．17．如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=CC1=CB=2（1）求证：BC⊥A（2）求证：BC118．已知直线l：2x−y+4=0与x轴的交点为A，圆O：x2（1）求r的值；（2）若点B为圆O上一点，且直线AB垂直于直线l，求弦长|AB19．如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1，（1）求直线A1E与直线（2）求直线BC1与平面（3）求点A到平面A120．已知椭圆C：x2a2（1）求椭圆C的离心率和△DEF的面积；（2）已知直线y=kx+1与椭圆C交于A，B两点．过点B作直线y=4的垂线，垂足为G．判断直线AG是否与y轴交于定点？请说明理由．21．对于正整数集合A={a1，a2，⋯，a（1）判断集合B={（2）若集合A是平衡集，并且ai（3）若集合A是平衡集，并且ai为奇数，求证：集合A中元素个数n≥7

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】对于A，直线x+y−2=0的斜率为−1；对于B，直线x−1=0的倾斜角为90°，斜率不存在；对于C，直线x−y+1=0的斜率为1；对于D，直线x−2y−1=0的斜率为故答案为：C.

【分析】把直线方程变形，求得直线的斜率可得答案.2．【答案】A【解析】【解答】因为甲中靶概率为0.8，乙中靶概率为0.7，且两人是否中靶相互独立，所以甲、乙各射击一次，则两人都中靶的概率为0.故答案为：A.

【分析】根据相互独立事件的乘法公式求解可得答案.3．【答案】A【解析】【解答】直线x−ay=0与直线2x+y−1=0的交点为(1，所以1−ay故答案为：A.

【分析】把两直线的交点坐标分别代入两直线方程，求解可得答案.4．【答案】A【解析】【解答】由x2+y故圆心(0，2故答案为：A.

【分析】根据题意将圆的方程化为标准方程，可得圆心和半径.5．【答案】D【解析】【解答】甲种麦苗样本株高的极差为20−9=11，乙种麦苗样本株高的极差为21−8=13，A不符合题意；甲种麦苗样本株高的平均值为9+10+10+11+12+206乙种麦苗样本株高的平均值为8+10+12+13+14+216甲种麦苗样本株高的中位数为10+112乙种麦苗样本株高的中位数为12+132甲种麦苗样本株高的方差为16乙种麦苗样本株高的方差为16D符合题意.故答案为：D.

【分析】根据已知条件，结合平均数、中位数、极差、方差公式，逐项进行判断，可得答案.6．【答案】C【解析】【解答】事件A∪B表示“两个点数之和等于8或至少有一个骰子的点数为5”.基本事件的总数为6×6=36，事件A∪B包含的基本事件为：(2，(5，1)，所以事件A∪B的概率是1436故答案为：C

【分析】根据和事件的概率的求法进行求解，可得答案.7．【答案】D【解析】【解答】双曲线的渐近线为y=3x，所以所以e=c故答案为：D

【分析】根据双曲线的几何性质，结合双曲线的离心率的求法可得答案.8．【答案】B【解析】【解答】点P(1，2，3)关于平面xOz对称的点的坐标为(1，9．【答案】B【解析】【解答】依题意c=24a=12a2由于椭圆的焦点在y轴上，所以椭圆C的标准方程为y2故答案为：B

【分析】根据已知条件求得a，b，由此求得椭圆C的标准方程.10．【答案】C【解析】【解答】分别取A1D1因为MN//B1D1//EF，MN⊄平面BEF所以MN//平面BEF，同理可得AM//平面BEF.因为MN∩AM=M，MN，AM⊂平面AMN，所以平面因为P是底面A1B1C1所以点P的轨迹为线段MN.因为正方体的棱长为2，所以|MN|=12+当P与点M或N重合时，|AP|max当P为线段MN的中点时，|AP|min所以线段AP长度最大值为5，最小值为32故答案为：C.

【分析】分别取A1D1，A1B1的中点M，N，利用面面平行的判定定理可得平面AMN//平面BEF，故点P的轨迹为线段MN，当P与点M或11．【答案】90【解析】【解答】由题意可得高三年级有学生2400−800−700=900人，抽取容量为240的样本进行调查，那么在高三年级的学生中应抽取的人数为240×900故答案为：90.

【分析】先求出高三年级的学生人数，再根据分层抽样的定义即可求出答案.12．【答案】4【解析】【解答】圆C1：x圆C2：(x−3)+所以圆心距d=3因为两圆外切，所以1+r=5，所以r=4.故答案为：4.

【分析】据两圆外切则圆心距等于半径之和进行求解，可得答案.13．【答案】12；14【解析】【解答】因为D为BC的中点，E为AD的中点，所以OE=1因为OE=xa+y故答案为：12

【分析】根据空间向量的线性运算可得OE→14．【答案】(0，【解析】【解答】由x2=4y，可得焦点在y轴上，且焦点坐标为设N(a，0)，则因为点M在抛物线x2=4y上，所以(a所以|FN|=(a−0)故答案为：(0，

【分析】根据抛物线的几何性质，抛物线的焦半径公式，即可分别求出答案.15．【答案】4π；=【解析】【解答】（1）四棱锥有4个三角形、一个四边形，5个顶点，四棱锥的总曲率为：2π×5−(π×4+2π)=4π.（2）正十二面体有12个正5边形，20个顶点，每个面的内角和为(5−2)×π=3π，所以θ1正二十面体有20个正三角形，12个顶点，每个面的内角和为π，所以θ2所以θ1故答案为：4π；=

【分析】根据曲率、总曲率的知识，即可求得答案.16．【答案】（1）解：由c+8+17+22+25+12+6+2+2=100，解得c=6.a=171002（2）解：不低于14小时，有[14，16)的2人，记为1，2；从中任取2人，基本事件为12，13，其中2人恰好在同一个数据分组的情况为：12，34，共所以2人恰好在同一个数据分组的概率为26【解析】【分析】(1)由频率分布直方图，结合频数分布表求解出a，b的值；

(1)由频数分布表，结合古典概型及概率计算公式求解出2人恰好在同一个数据分组的概率．17．【答案】（1）证明：∵AA1⊥底面ABC且BC⊂∴AA又∵AC⊥BC且AC∩AA1=A，AC∴BC⊥平面ACC又∵A1C⊂∴BC⊥（2）证明：取A1B1的中点F因为E，F分别为AB，A1所以四边形EBFA1是平行四边形，所以因为FB⊄平面A1EC，A1所以FB//平面A1EC，同理可得C1又因为C1F∩BF=F，C1所以平面A1EC//又因为BC1⊂所以BC1【解析】【分析】（1）推出AA1⊥BC，根据线面垂直的判定定理可得BC⊥平面ACC1A1，可证得BC⊥A1C；

（2）取A1B1的中点F，连接FB，FC1，推出四边形EBFA118．【答案】（1）解：在2x−y+4=0中，令y=0，得x=−2，故A(−2，因为圆O：x2+y2=（2）解：直线l的斜率为2，因为直线AB垂直于直线l，所以直线AB的斜率为−1所以直线AB的方程为y−0=−12(x+2)圆心O到直线AB的距离为21所以|AB|=22【解析】【分析】（1）先求得A点的坐标，代入圆O的方程，由此求出r的值；

（2）求得直线AB的方程，根据直线与圆相交所得弦长公式，求得弦长|AB19．【答案】（1）解：建立如图所示空间直角坐标系，A1设直线A1E与直线BC则cosα=|（2）解：C(0，设平面A1EC的法向量为则n⋅A1设直线BC1与平面A1则sinβ=|（3）解：A(2，所以A到平面A1EC的距离为【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，利用向量法求出直线A1E与直线BC1所成角的余弦值；

（2）求出平面A1EC的法向量，利用向量法求得直线BC20．【答案】（1）解：因为x2a2+y24所以椭圆C：x28+所以e=c因为D(−22，0)所以S△DEF（2）解：设A(x1，则AG的方程为y−4=4−令x=0，则y=−x联立x28+因为y=kx+1过定点(0，1)，(0，故Δ>0，x1所以kx代入①，可得y=3故直线AG是否与y轴交于定点(0，【解析】【分析】(1)由椭圆C经过点E(2，2)，代入椭圆方程求得a=22，结合c2=a2-b2，解得c的值，可得离心率，求出D、F的坐标，从而可求出△DEF的面积；

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y221．【答案】（1）解：不是，理由如下，对于集合B={1，故集合B不是平衡集.（2）证明：设A={a1，a2故ai（i=1已知ai为奇数，则M为奇数，易得n所以，集合A中元素个数n为奇数.（3）证明：由（2）知若集合A是平衡集，并且ai显然n=3时，集合A不是平衡集，当n=5时，不妨设a1去掉a1后，得a2+a5两式矛盾，故n=5时，集合A不是平衡集，当n=7，设集合A={去掉1后，3+5+7+9=