2025年中考数学高频考点突破-圆的切线的证明(含详解)

2025年中考数学高频考点突破——圆的切线的证明1．已知四边形ABCD内接于⊙O，连接AC，BD，若BD是⊙O的直径，AC平分∠BCD，过A作∠BAE＝∠BDA，AE与CB的延长线交于点E．(1)求证：AE是⊙O的切线；(2)若，，求图中阴影部分的面积（结果保留）．2．如图，是的直径，与相切于点，．(1)求证：；(2)若，求的半径．3．如图，已知是的直径，点D在的延长线上，为的切线，过D作，与的延长线相交于E，，．（1）求证：；（2）求的半径；（3）若的平分线与交于点F，P为的内心，求的长．4．如图，是的直径，与交于，弦平分，，垂足为．(1)判断直线与的位置关系，并说明理由．(2)若的半径为3，若，求线段．5．如图，已知是的直径，，连接交于点，切于点，交的延长线于点，交于点．（1）求证：；（2）连结，如果，，求的半径．6．如图，为⊙O的直径，弦于，为延长线上一点，交⊙O于点，连接，，，，．（1）求证：平分．（2）若，，⊙O的半径为5，求的长．7．如图，已知在中，，以为直径的分别交，于D，E两点，于点F，且．

(1)求证：是的切线．(2)若，求的半径．8．如图，四边形内接于，，点E在的延长线上，．(1)求证：是的切线；(2)若，，求的半径．9．如图，是的直径，点在上，，与相交于点，点在的延长线上，且．

(1)求证：是的切线；(2)若，，求的值．10．如图，AB是的直径，点是上的一点（点不与点，重合），连接、，点是AB上的一点，，交CD的延长线于点，且．

(1)求证：是的切线；(2)若的半径为，，则的长为______．11．如图，在△ACE中，以AC为直径的⊙O交CE于点D，连接AD，且∠DAE＝∠ACE，连接OD并延长交AE的延长线于点P，PB与⊙O相切于点B．(1)求证：AP是⊙O的切线；(2)连接AB交OP于点F，求证：△FAD∽△DAE；(3)若，求的值．12．如图，是的外接圆，是的直径，C是延长线上一点，在上，连接，若．(1)求证：为的切线；(2)若，，求的长．13．如图，在中，，为外接圆的直径，点为延长线上一点，连接，且．

(1)求证：是的切线：(2)若，，求的长．14．如图，为圆O的直径，C为圆O上一点，D为弦的中点，过点C的切线与的延长线相交于点E，连接．(1)求证：是圆O的切线；(2)当，时，求线段的长．15．如图，内接于，且为的直径，的平分线交于点，过点在左侧作交的延长线于点，过点作于点．

(1)求证：；(2)求证：是的切线；(3)若，，求线段的长．参考答案：1．(1)见解析(2)【详解】（1）连接，如图，AC平分∠BCD，，，，是直径，，是等腰直角三角形，，，，，∠BAE＝∠BDA，，，，是上的点，则为半径，是的切线（2）如图，过点作，是等腰直角三角形是等腰直角三角形在中，2．(1)见解析(2)【详解】（1）证明：连接，是的直径，与相切于点，，，，，，，，，，，；（2）解：由（1）得：，，，，，，，，，的半径为．3．（1）证明见解析；（2）2；（3）．【详解】证明：（1）如图，连接，，，是的切线，，即，，，，，；（2）设的半径为，则，，，由（1）已证：，，在中，，即，解得，即的半径为2；（3）如图，连接，是的直径，，平分，，由圆周角定理得：，是等腰直角三角形，，，由（2）已得：，，解得，为的内心，，，．4．(1)直线与相切，见解析(2)【详解】（1）解：直线与相切，理由如下：连接，平分，，，，，，，即，，即，是半径，是的切线；（2）解：过作于，，，，，，，四边形是菱形，，，，则，．5．（1）见解析；（2）5【详解】解：（1）证明：连接OD，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵切于点，∴，∴，即．（2）∵，即∴设，，∴由勾股定理得，，∵，∴，∴，在中，，∴解得，∴OD=5∴圆的半径等于5．6．（1）见解析；（2）【详解】（1）证明：∵C、D、B、F四点共圆，∴∠EFB=∠CDB，∠BCD=∠DFB，∵CD⊥OA，∴CH=DH，∴BC=BD，∴∠BCD=∠CDB，∴∠EFB=∠DFB，∴BF平分∠DFE；（2）解：∵在△DFB和△EFB中，，∴△DFB≌△EFB（SAS），∴BD=BE，∵BE=8，∴BD=8，∵AB为⊙O直径，CD⊥AB，∴∠ADB=∠DHB=90°，∵∠DBH=∠ABD，∴△DHB∽△ADB，∴，设AH=x，∵⊙O的半径为5，BD=8，∴AB=10，BH=10-x，∴，解得：x=，即AH的长是．7．(1)见解析(2)【详解】（1）证明：连接，

∵为的直径，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，又为的半径，∴是的切线；（2）连接，交于点，

∵为的直径，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，∴是的中位线，∴，在中，，设的半径为，则：，∴，在中，，即：，解得：．∴的半径为．8．(1)见解析；(2)5．【详解】（1）证明：如图，连接并延长交于点M，连接．∵，∴．又∵，，∴．∵是的直径，∴．∴．∴．∴．∴是的切线．（2）如图，连接并延长交于点N，连接．∵，，，∴．．∴．∵是的直径，∴．在中，，∴．∴的半径为5．9．(1)见解析(2)【详解】（1）证明：∵，∴，，∴，则，∵是直径，∴，∴，∵，则是等腰三角形，且，∴，，∴，∴，∴，又∵是直径，∴是的切线．（2）解：如图所示，连接，

∵，，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴．10．(1)证明见解析(2)8【详解】（1）证明：是的直径，，，，，，，，，，，即．为的直径，是的切线；（2）解：，，，设，则，，，，，是的直径，，，，解得：不合题意，舍去或．．故答案为：．11．(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【详解】（1）证明：为的直径，，，，，即，，是的切线．（2）证明：和都是的切线，垂直平分，，，，，，，在和中，，．（3）解：，，设，则，，，即，解得，，，由（2）已证：，，即，解得，则．12．(1)见解析(2)【详解】（1）解：证明：如图1，连接．是的直径，，．，．，，，，为的切线．（2）解：如图2，设交于点H．，，，．，．设，则．，，，，解得，，，．13．(1)见解析(2)【详解】（1）证明：连接，

则，∵，∴，∵为直径，∴，∴，∴，∴，∴．

∵为直径．∴是的切线．（2）过作交于，

∵，，∴，∵，∴，

∴．∴，

∵，．∴，∴，在中，，

∵，．∴，，∵，

∴，∴，

∴，

∴，∴．14．(1)见解析(2)【详解】（1）证明：在中，∵D为弦的中点，∴，∴垂直平分，∴，∴，又∵，∴，∵是的切线，∴，∴，又∵为的直径，∴是的切线；（2）解：∵为的直径，∴，∵，，∴，∴，由（1）得，在中，设，∴，，∴，解得，∴线段的长为