2024年北京陈经纶中学高二（上）10月月考数学试题及答案

PAGE14页2024-2025学年度第一学期阶段性诊断训练高二数学试卷 2024.10（考试时间120分钟 满分150分）50100分第一部分（50分）10550直线3xy40的倾斜角是（ ）A．30 B．60 C．120 D．150空直坐系若0)B(2)点B坐（ ）A．(2)．(2)．)D．(2) 已知空间向量aba1b夹角为（ ）

2ab与a垂直，则a与b的A．60o ．30o C．135 D．454．“m1”是“直线l1：m4xmy10与直线l2：mxm2y20互相垂直”的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．直线l:a2y3a1x1不过第二象限，则a的取值范围为（ A．a

B．2a

C．a

D．a4圆x2y22x2y10关于直线xy1对称的圆的标准方程（ ）A．(x1)2(y1)21 B．x2y21C．x2(y1)21 D．(x1)2y21ABac如图，在四面体A-BCD中，点O为底面△BCD的重心，P为AO的中点，设，ACb，AD，则BP（ ）ABac5

11bc

B．5

1 1bca6 6 6 6 6 6a2C．

11bc

D．2

1 1aba3 3 3 3 3 3已知直线lkxy2k0Pxy在直线2xy10上则的最小值是 （ ）C．355A．5 B．5 DC．355《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“阳马面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.ABC中，ACBC，且AB2.其中正确的是（ ）①四棱锥BA1ACC1为“阳马”②四面体A1C1CB为“鳖臑”BA21 1 3④过AE1BEEF1B于点F1B面FA．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④Mx4)2y24直线lxy20P在直线lPAPBMB．则下列说法正确的是（）14PAMB的面积最小值为14PAAB473PAAB直线方程为3x3y80AB过定点102 3 二、填空题已知空间向量2b若 则．a a//b12．动直线l:2mxmy7m40mR与一点M4,0.当点M到直线l的距离最大时，直线l的方程为 （填一般式）.13．已知圆x2y22xay40的半径为3，则a的值为 .14．已知空间三点A1,1,1,B0,0,1,C1,2,3．若空间中点N满足BN平面ABC，则符合条件的一个点N的坐标是 ．15．过点(2,与圆(x1)2y21相切的直线方程为 ．1图三柱C11中＝214E1D为BC的中点当AD∥时此时直线AD与直线所成的角的余弦值为 ．1Cx2y124ykx5点使得过点P的圆C的两条切线夹角为60o则实数k的值范围是 PABCDPDABCDABCD为正方形，PDAD2，O为线段AC,BD交点，T为线段BP上的动点，则以下结论正确的是.①当PTBT时，PD‖平面ACT；②当PT2BT时，PO平面ACT；③线段OT的最小值为范围为[ , ].42

；④直线AP，CT所成角取值636三、解答题已知圆CA20B00，且圆心C在直线lxy0上.(1)求圆C的标准方程；(2)经过点2,1的直线l与l垂直，且l与圆C相交于M,N两点，求MN.ABC中，ABAC

5，BC2BB12，P，Q分别为B1C1，A1B的中点.CP.与平面CPQ所成角的正弦值.(3)求点到平面CPQ的距离.21如图，在四棱锥PABCD中，AD//BC，CDAP，△PCD为等腰PDCD2PAD于直线lEF分别PDPB的中点．（Ⅰ）求证：BC//l；（Ⅱ）设PAAD2BC2，则：①求平面AEF与平面PAD夹角的正切值；②在棱PC上是否存在点G，使得DG∥平面AEF？若存在，求PG的值，若不存在，说明理由．PCT22n:1,2,...niN,i,,...n“TT列An变换成数列Bn:b1,b2,...bn，其中biaiai1i1,2,...n1，且bnana1，这种“T变换”记作BnTAn.继续对数列Bn进行“T变换”，得到数列Cn,...，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．（Ⅰ）42,8:142,9经过不断的“T变换”能否结束？若能，请依次写出经过T变换”得到的各数列；若不能，说明理由；（Ⅱ）求A3:a1,a2,a3经过有限次“T变换”后能够结束的充要条件；（Ⅲ）证明：A4:a1,a2,a3,a4一定能经过有限次“T变换”后结束．PAGE115页参考答案：题号12345678910答案BDDACBBBCB1．B【分析】依据斜率计算倾斜角即可.【详解】直线3xy40的斜率为3，则由tan故选:B．

3,0,π，知 ，即60π3π2．D【分析】设出B点，利用A、B两点的坐标即可表示出，再由两向量相等的坐标表示列出方程组，即可求出答案.B(z)B(xyz)(602)，x16所以y10，解得：x7，y1，z2．z2所以点B的坐标为(2)故选：D3．D 【分析】根据已知可得aba0，根据数量积的运算律即可求出cosa,b出结果.

，进而求222 【详解】因为ab与a垂直，所以aba0，r2 rr r2 rr rr rr即aabaabcosab12cosab

0，所以cos

2a,b .22又0

180，所以

rra,b45o.4．A【分析】根据给定直线方程求出l2作答.l2m(m4m(m20，解得m0或m1，所以m1”是“直线m4xmy10与直线l2mxm2y20互相垂直”的充分不必要条件.故选：A5．Ca20a20a组，由此可解得实数a的取值范围.【详解】若a20，可得a2，直线l的方程为x1，该直线不过第二象限，合乎题意；5若a20，可得a0，直线ly3a1xa2

1a2，3a10a2若直线l不过第二象限，则 1

，解得a2. 0a2综上所述，a2.故选：C.6．B【详解】由圆x2y22x2y10，得(x1)2(y1)21，则圆心坐标为(1,1)，半径为1，设(1,1)关于直线xy1的对称点为(a,b)，b11则a1a1 ba1 b

a0，解得 ，b02 2圆x2y22x2y10关于直线xy1对称的圆的标准方程为x2y21．故选：B．7．B

212BOBP

BABO求解.【详解】取CDEBEBO2BEBOE三点共3线.

1

1

1 BE

BCBD ACABAD

b2ac2 2 2BO

2BE

b

3 1

1

1

11

511BP BABO AB BOa

abc．2 2 2 2 2 3故选：B．8．B

6 6 6【分析】先求定点，再根据点到直线距离求解点到直线上动点距离最小值即可.221 415 【详解】由kxy2k0y2k1xlM2，M到直线2x221 415 故选:B.

min9．C“阳马”和“鳖膈”ACBCCAEF，进而判D的正误.【详解】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，∴在堑堵ABCA1B1C1中，ACBC，侧棱AA1平面ABC，A选项，∴AA1BC，又ACBC，且AA1ACA，则BC平面A1ACC1，∴四棱锥BA1ACC1为“阳马”，故A正确；B选项，由ACBC，即A1C1BC，又A1C1C1C且BCC1CC，∴A1C1平面BB1C1C，∴A1C1BC1，则VA1BC1为直角三角形，CC，得1C堑堵”的定义可得C形，CC1B为直角三角形，∴四面体A1C1CB为“鳖膈”，故B正确；C选项，在底面有4AC2BC22ACBCACBC2ACBC

2时取V

1S BC1AAACBC2ACBC44C错误；B

33 1 3 3 3DAEEFAEEFEAEFD正确；故选：C10．BA当|AP|选项，两垂直直线的斜率相乘等于1PM2PM2AMPM2四边形

S

S

=2S

=21PAAM2

2PA2

2 ，|4022|MP|4022

min

32，322322

214，故A错误；14由上述可知，MPl时，|MP|最短，故|PA|最小，14PA

3224 ，APPMAB2AMsin2AMAPPM

22

1432

47，故B正确；3当PA最短时，则MPl，又MPAB，所以l//AB，kl1，kAB1，可设AB的直线方程为xym0，2M(40AB的距离d|4m|2解得m8或m16，

22，AM2AM2AB223 3ABM(40的右侧，且在直线l的左侧，所以4m22m4，所以m8，3即直线AB的方程为xy80，故C错误；3设圆上一点AA，BBB，PP,yP，MA4,yA，MB4,，PAxAxP,yAyP，易知PAMA0(xA4)(xAxP)yA(yAyP)0，A 由于(A

4)2y24，所以(xP4)(xA4)yPyA4，同理PBMB0(xP4)(xB4)yPyB4，AB:(x4)(xP4)yyP4，yPxP2，x4xP4y2xP4，即x4yxP4x2y120，x10x4y0 3令4x2y120，解得 2 ， y 3所以直线AB过定点为10,2，故D错误． 33 故选：B．【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系求证直线过定点x0y0yy0kxykxb来证明.11．1ta【分析】依题意可得b，从而得到方程组，解得即可.ta 【详解】因为a2、b且a//b，3t所以 ，则t2，即

t3，解得6，bta所以651.故答案为：1

12t

5

xy20【解析】将直线方程转化为交点直线系方程，联立直线方程即可求得定点坐标；当定点与点M点构成的直线与l垂直时，则点M到直线l的距离最大时，则问题得解.【详解】因为l2mxmy7m40mR，即m2xy7xy40，故直线l恒过定点为直线2xy70与直线xy40的交点，联立方程解得直线l恒过定点3,1；MP3,1构成的直线与lM到直线l的距离最大，此时必有klkPM1，即kl11，解得kl1.则2m11，解得m2，m1 3故直线lxy20.3,1xy20.【点睛】本题考查直线恒过定点的求解，以及由直线垂直求直线方程，属综合基础题.134【分析】首先将圆的一般方程，写成标准方程，再利用半径为3，即可求解.2 a2 a2【详解】圆的一般方程写成标准方程为x1a2

y 2 2

5，4由圆的半径为3可知，4故答案为：4

59，得a4.14． 44答案不唯一).x1y20【分析】设Mx,y,z，表示出CM,AB，由

xyz10

，解方程求出x,y,z，即可求出MABC的法向量nN的坐标为(abc，则N的坐标.【详解】设Mx,y,z，A1,1,1,B0,0,1,C1,2,3，

BN//nAB(1,1,0),AC(2,1,4),BM(x,y,z1),CM(x1,y2,z3)，x1y20∴由题意，得

xy ，z10x1,y1,z1．2 2∴点M的坐标为1,1,1．22 设平面ABC的法向量为nx,y,z，则nABxy0,nAC2xy4z0．3 33令x1，则yz 4

n1,1,．4 4设点N的坐标为(a,b,c)，则BN(a,b,c1)． abc1由题知，BN//n，即1 1 3．4N的坐标满足4k4k1，其中k0．令k1N444.11故答案为： ,,1；4,4答案不唯一).2215x2或4x3y10【分析】分类讨论直线的斜率是否存在，结合直线与圆的位置关系分析求解.【详解】由题意可知：圆(x1)2y21的圆心为1,0，半径r1，因为21232101，可知点2,3在圆外，当直线过点(2,3)且斜率不存在时，x2，显然与圆相切；当直线过点(2,3)，且斜率存在时，设方程为y3k(x2)，即kxy2k30，k21则|k2k3|1，解得k4，故方程为4x3y1k213x2或4x3y10.x2或4x3y10.16． 1； 6.2 4【分析】根据题意，以点D为原点，建立空间直角坐标系，然后结合空间向量的坐标运算以及异面直线夹角公式，代入计算，即可求解.【详解】因为ABCA1B1C1为正三棱柱，且D为BC中点，以D为坐标原点，分别以DC,DA所在直线为x,y轴，DABCz轴，建立如图所示空间直角坐标系，AB＝24，D000A,30,C00B00A134104，则AEAA10,0,40,0,4，所以E0,3,4， 204BE,3，设平面BEC的法向量为x,y,z，1 nBC1n2x4z0则 ，

y24，则z

3,x23，Enxyz0

所以平面BEC1的一个法向量为n23,24,3，又AD0,3,0，AD∥BCEAD320，解得1，1 n 232AD所成的角为，331333134则coscos

AD,

AD6 ，AD4即直线AD与直线EC1所成的角的余弦值为6.4故答案为：1；62 417k0或k8．15【分析】根据切线夹角分析出|PC|4，由圆心到直线的距离不大于4列出不等式求解可得．【详解】圆C:x2y24，则圆心为C,，半径r2，PAGE1015页设两切点为A,B，则PAPB，因为APB60o，在Rt△PAC中APC1APB30o，2ACr2，所以|PC|4,因此只要直线l上存在点P，使得PC4即可满足题意．k15k21圆心，所以圆心到直线的距离d 4，解得k0或k15k2115k0或k8．1518.1、3、4解（1）由题意设圆心Ccc，又圆CA20B00，A2c22c2c2c2B2，解得c1，所以圆心C1,1，半径为rCB2，以圆C标方为x2y22 7分（2）由题意经过点2,1且与l垂直的直线l为y1x2，即yx1，又圆心Cyx1d

2，r2，1111112212r2dr2d2

2

6 15分解：因为A1B1A1C1，P为B1C1的中点，所以A1PB1C1，因为棱柱ABCA1B1C1直三棱柱，平面平面，Ç平面，则A1P平面CBB1C1，又CP平面CBB1C1，所以A1PCP，2在矩形中，BC2BB12，P为的中点，所以CPBP ，2所以CP2BP2BC2，故BPCP，IBPPBP，所以CP，所以CPB 5分（2）取BC的中点M，连接PM，11PM1PPxyz，如图所示.Q11 由5，1，则2，0)，0)，(0,0,2)， ,,1.

11

22 设平面CPQ的法向量为n(xyz)PC0)PQ

,,1，

xy0,

22 nPC0, 则 即

令x1，则n(1,1,1).

1x1yz0,nQ

2 2设直线A1B与平面CPQ所成的角为，又A1B(1,1,2)，则sin 则sin cosn,

4 ，nA1BnA1BnA1B36221故直线AB与平面CPQ所成角的正弦值为22 10分13（3）由（2）知平面CPQ的一个法向量为n(1,1,1)，C1(0,1,0)，C1C(1,0,0)，CC所以点C到平面CPQ的距离为d

n1

. 15分31 2 3n（1）AD//ADPADBCPAD//PAD，……1分又因为BC平面，平面PBC平面PAD直线l，所以∥l .……3分（2）①取AD的中点O，连接OP,OB，由题意可得：BC//OD，且BCOD，则OBCD为平行四边形，可得OB//CD，且∵CDAP，CDPD，AP,PD平面∴CD平面……4则OB平面由OP,OD平面则，又因为O为AD的中点，可得AD，OA,OB,OP两两垂直 ……5分如图，以O为坐标原点，OA,OB,OP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则A1,0,0,B0,2,0,C1,2,0,D1,0,0,P0,0,3,E1,0,3,F0,1,3，2 2 2

3 3

1

可得AE2,0,2,EF20， ……6分 3 3nAE2x2

z0AEFnyz，则

1

， ……7分nEF

xy03x2yz3

，即n2,23， ……8分由题意可知：平面PAD的法向量m0,1,0， 17 可得cosn,mnm nm

1171

17， ……9分所以平面AEF与平面所成锐二面角的余弦值17，故正切值为4 ……10分17②由①可得：PC1,2,

3， ……11分PGGabcPGabc

3，a可得b

a，解得b，3c