专题07 五大最值问题模型（原卷版）

专题07五大最值问题模型一、【知识回顾】（1）将军饮马模型：①一定两动②一定两动③两定两动（2）费马点模型：（如图：求PA+PB+PC最小值，图3CD为所求最小值）（3）阿氏圆模型：（4）胡不归模型：（5）隐圆最值模型：①四点共圆：②动点到定点等定长：③直角所对的是直径：④定弦对定角：二、【考点类型】考点1：将军饮马模型典例1：（2022春·全国·九年级期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，弦AD平分∠BAC，过点D作射线AC的垂线，垂足为M，点E为线段AB上的动点．(1)求证：MD是⊙O的切线；(2)若∠B＝30°，AB＝8，在点E运动过程中，EC+EM是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，说明理由；(3)若点E恰好运动到∠ACB的角平分线上，连接CE并延长，交⊙O于点F，交AD于点P，连接AF，CP＝3，EF＝4，求AF的长．【变式1】（2023春·八年级课时练习）如图，在等边中，于，．点分别为上的两个定点且，点为线段上一动点，连接，则的最小值为______．【变式2】（2023春·山东青岛·九年级专题练习）如图，点P是内任意一点，，点M和点N分别是射线和射线上的动点，，则周长的最小值是______．【变式3】（2022春·贵州铜仁·八年级统考期末）如图，已知一次函数y＝kx＋b的图像经过A（1，4），B（4，1）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．(1)求该一次函数的表达式；(2)若y轴存在一点P使PA＋PB的值最小，求此时点P的坐标及PA＋PB的最小值；(3)在x轴上是否存在一点M，使△MOA的面积等于△AOB的面积；若存在请直接写出点M的坐标，若不存在请说明理由．考点2：费马点模型典例2：（2021秋·四川成都·九年级成都实外校考阶段练习）如图，在中，，P是内一点，求的最小值为______．【变式1】（2022秋·全国·九年级专题练习）在正方形ABCD中，点E为对角线AC（不含点A）上任意一点，AB=；（1）如图1，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DCF，连接EF；①把图形补充完整（无需写画法）；

②求的取值范围；(2)如图2，求BE+AE+DE的最小值．【变式2】（2022春·全国·九年级专题练习）如图，正方形的边长为4，点是正方形内部一点，求的最小值．【变式3】（2022春·江苏·九年级期末）如图，在平面直角坐标系xoy中，点B的坐标为(0，2)，点在轴的正半轴上，，OE为△BOD的中线，过B、两点的抛物线与轴相交于、两点（在的左侧）.（1）求抛物线的解析式；（2）等边△的顶点M、N在线段AE上，求AE及的长；（3）点为△内的一个动点，设，请直接写出的最小值,以及取得最小值时，线段的长.考点3：阿氏圆模型典例3：（2023春·江苏·九年级校考阶段练习）如图，正方形的边长为4，的半径为2，为上的动点，则的最大值是______．【变式1】（2022春·江苏·九年级专题练习）如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则PA＋PB的最小值为________．【变式2】（2023秋·重庆九龙坡·九年级重庆市育才中学校考期末）已知与有公共顶点C，为等边三角形，在中，．(1)如图1，当点E与点B重合时，连接AD，已知四边形ABDC的面积为，求的值；(2)如图2，，A、E、D三点共线，连接、，取中点M，连接，求证：；(3)如图3，，，将以C为旋转中心旋转，取中点F，当的值最小时，求的值．【变式3】（2021·全国·九年级专题练习）如图1，在RT△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圆C的半径为2，点P为圆上一动点，连接AP，BP，求：①，②，③，④的最小值．考点4：胡不归模型典例4：（2023秋·四川乐山·九年级统考期末）如图，在中，，若D是边上的动点，则的最小值是（

）A．6 B．8 C．10 D．12【变式1】（2022春·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x＋c的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B（0，﹣3），若P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，则PD＋PC的最小值是（

）A．4 B．2＋2 C．2 D．【变式2】（2022·湖北武汉·校联考一模）如图，在中，，，半径为的经过点，是圆的切线，且圆的直径在线段上，设点是线段上任意一点不含端点，则的最小值为______．【变式3】（2022秋·浙江·九年级专题练习）如图，四边形ABCD是菱形，AB＝8，且∠ABC＝60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，则AM+BM的最小值为_____．考点5：隐圆最值模型典例5：（2023秋·浙江金华·九年级统考期末）如图，正方形的边长为4，点E是正方形内的动点，点P是边上的动点，且．连结，，，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【变式1】（2022·山东泰安·统考中考真题）如图，四边形为矩形，，．点P是线段上一动点，点M为线段上一点．，则的最小值为（

）A． B． C． D．【变式2】（2023秋·广东广州·九年级统考期末）如图，四边形中，，，，，点是四边形内的一个动点，满足，则面积的最小值为______．【变式3】（2022春·全国·九年级专题练习）△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D是BC的中点，E为AB上一动点，点B关于DE的对称点在△ABC内（不含△ABC的边上），则BE长的范围为______．巩固训练一、单选题1．（2022秋·安徽池州·九年级统考期末）如图，中，，点P为AC边上的动点，过点P作于点D，则的最小值为（

）A． B． C．5 D．2．（2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆市凤鸣山中学校联考期末）如图，为正方形边上一点，，，为对角线上一个动点，则的最小值为（

）A．5 B． C． D．103．（2022秋·浙江杭州·九年级杭州外国语学校校考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、C两点，与x轴交于点，若P是x轴上一动点，点D的坐标为，连接PD，则的最小值是（

）A．4 B． C． D．4．（2022·河南·校联考三模）如图1，正方形中，点是的中点，点是对角线上的一个动点，设，，当点从向点运动时，与的函数关系如图2所示，其中点是函数图象的最低点，则点的坐标是（

）A． B． C． D．5．（2022秋·河北邢台·九年级统考期末）如图，的半径是，P是上一动点，A是内部一点，且，则下列说法正确的是（

）①PA的最小值为；②PA的最大值为；③当时，△PAO是等腰直角三角形；④△PAO面积最大为．A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．②③④7．（2022秋·北京海淀·九年级校考期中）如图，如图，的半径为2，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，，与x轴分别交于A，B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最小值为（

）A．3 B．4 C．5 D．68．（2023春·九年级课时练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则AP＋BP的最小值为（

）A．7 B．5 C． D．9．（2022·福建厦门·福建省厦门集美中学校考一模）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴相交于点A、B，点E、F分别是正方形OACD的边OD、AC上的动点，且，过原点O作，垂足为H，连接HA、HB，则面积的最大值为（

）A． B．12 C． D．10．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在中，，，，若是边上的动点，则的最小值（

）A． B． C． D．二、填空题11．（2022秋·山东菏泽·九年级校考阶段练习）如图，在周长为的菱形中，，，若为对角线上一动点，则的最小值为______．12．（2023秋·山东东营·九年级校考期末）如图，是⊙O的弦，点C在⊙O内，，连接，若⊙O的半径是4，则长的最小值为______．13．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一点，且CD＝3，E是BC边上一点，将△DCE沿DE折叠，使点C落在点F处，连接BF，则BF的最小值为_______．14．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线l分别交x、y轴于B、C两点，点A、C的坐标分别为(3，0)、(0，﹣3)，且∠OCB＝60°，点P是直线l上一动点，连接AP，则的最小值是______．15．（2022秋·浙江·九年级专题练习）如图，直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，点C（0，1）在y轴上，点P在x轴上运动，则PC＋PB的最小值为___．三、解答题16．（2023秋·江西宜春·八年级统考期末）如图，在中，边的垂直平分线交于点D，若，(1)求的长；(2)若点P是直线上的动点，直接写出的最小值为_________．17．（2022秋·河北保定·八年级统考期末）在中，，为延长线上一点，点为线段，的垂直平分线的交点，连接，，．(1)如图1，当时，则______°；(2)当时，①如图2，连接，判断的形状，并证明；②如图3，直线与交于点，满足．为直线上一动点．当的值最大时，用等式表示，与之间的数量关系为______，并证明．18．（2022春·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系，，直线经过，点在直线上运动，求最小值．19．（2021春·江苏苏州·八年级校考期中）定义：既相等又垂直的两条线段称为“等垂线段”，如图1，在中，，，点、分别在边、上，，连接、，点、、分别为、、的中点，且连接、．(1)观察猜想线段与______填（“是”或“不是”）“等垂线段”．(2)绕点按逆时针方向旋转到图2所示的位置，连接，，试判断与是否为“等垂线段”，并说明理由．(3)拓展延伸把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出与的积的最大值．20．（2022秋·山东济南·九年级山东师范大学第二附属中学校考阶段练习）如图1，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点B，在x轴上有一动点（），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．(1)求a的值和直线AB的函数表达式：(2)设△PMN的周长为，△AEN的周长为，若求m的值．(3)如图2，在（2）的条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到，旋转角为（），连接、，求的最小值．21．（2022·湖南长沙·模拟预测）如图，抛物线（a为常数，）与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝OC．(1)求a的值；(2)点D是该抛物线的顶点，点P（m，n）是第三象限内抛物线上的一个点，分别连接BD、BC、CD、BP，当∠PBA＝∠CBD时，求m的值；(3)点K为坐标平面内一点，DK＝2，点M为线段BK的中点，连接AM，当AM最大时，求点K的坐标．22．（2022秋·江苏·九年级期中）问题情境：如图1，P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙O于点A，B，则PA是点P到⊙O上的点的最短距离．（1）探究证明：如图2，在⊙O上任取一点C（不与点A，B重合），连接PC，OC．求证：PA＜PC．（2）直接应用：如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，以BC为直径的半圆交AB于D，P是弧CD上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是．（3）构造运用：如图4，在