2024-2025学年高中数学第1章解三角形1.2应用举例第1课时解三角形的实际应用举例练习新人教A版必修5VIP

PAGEPAGE1第1课时解三角形的实际应用举例1.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4m，∠A＝30°，则其跨度AB的长为A.12m B.8m C.3eq\r(3)m D.4e解析由题意知，∠A＝∠B＝30°，所以∠C＝180°－30°－30°＝120°，由正弦定理得，eq\f(sinC,AB)＝eq\f(sinB,AC)，即AB＝eq\f(AC·sinC,sinB)＝eq\f(4·sin120°,sin30°)＝4eq\r(3).答案D2.如图，D，C，B三点在地面同始终线上，DC＝100米，从C，D两点测得A点仰角分别是60°，30°，则A点离地面的高度AB等于A.50eq\r(3)米 B.100eq\r(3)米C.50米解析因为∠DAC＝∠ACB－∠D＝60°－30°＝30°，所以△ADC为等腰三角形.所以AC＝DC＝100米，在Rt△ABC中，AB＝ACsin60°＝50eq\r(3)米.答案A3.在高出海平面200m的小岛顶上A处，测得位于正西和正东方向的两船的俯角分别是45°与30°，此时两船间的距离为________解析过点A作AH⊥BC于点H，由图易知∠BAH＝45°，∠CAH＝60°，AH＝200m则BH＝AH＝200m，CH＝AH·tan60°＝200eq\r(3)m.故两船距离BC＝BH＋CH＝200(eq\r(3)＋1)m.答案200(eq\r(3)＋1)4.如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于________m.(用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，eq\r(3)≈1.73)解析依据已知的图形可得AB＝eq\f(46,sin67°).在△ABC中，∠BCA＝30°，∠BAC＝37°，由正弦定理，得eq\f(AB,sin30°)＝eq\f(BC,sin37°)，所以BC≈2×eq\f(46,0.92)×0.60＝60(m).答案60[限时45分钟；满分80分]一、选择题(每小题5分，共30分)1.已知两座灯塔A和B与海洋视察站C的距离相等，灯塔A在视察站C的北偏东40°，灯塔B在视察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的A.北偏东10° B.北偏西10°C.南偏东10° D.南偏西10°解析如图，由题意，知AC＝BC，∠ACB＝80°，所以∠CBA＝50°，α＋∠CBA＝60°.所以α＝10°，即A在B的北偏西10°.故选B.答案B2.如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点之间的距离为60m，则树的高度为A.(30＋30eq\r(3))m B.(30＋15eq\r(3))mC.(15＋30eq\r(3))m D.(15＋15eq\r(3))m解析由正弦定理可得eq\f(60,sin（45°－30°）)＝eq\f(PB,sin30°)，PB＝eq\f(60×\f(1,2),sin15°)＝eq\f(30,sin15°).h＝PB·sin45°＝eq\f(30,sin15°)·sin45°＝(30＋30eq\r(3))(m).故选A.答案A3.如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋视察站C的距离都等于akm，灯塔A在视察站C的北偏东20°，灯塔B在视察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为A.akm B.eq\r(3)akmC.eq\r(2)akm D.2akm解析由题意得∠ACB＝120°，AB2＝a2＋a2－2a2cos120°＝3a所以AB＝eq\r(3)a.故选B.答案B4.设在南沙群岛相距10nmile的A，B两小岛上的两个观测站，同时发觉一外国船只C非法进入我领海.若在A望C和B成60°的视角，在B望C和A成75°的视角，则船只C距离最近观测站A.5nmile B.5eq\r(3)nmileC.5eq\r(6)nmile D.5eq\r(2)nmile解析结合题意作图如图，由B＞A得BC＜AC，故船只C距离观测站B近.因为在△ABC中，因为eq\f(BC,sin60°)＝eq\f(AB,sin45°)，所以BC＝eq\f(AB·sin60°,sin45°)＝eq\f(10×\f(\r(3),2),\f(\r(2),2))＝5eq\r(6)(nmile).故选C.答案C5.如图所示为起重机装置示意图.支杆BC＝10m，吊杆AC＝15m，吊索AB＝5eq\r(19)m，起吊的货物与岸的距离AD为A.30m B.eq\f(15,2)eq\r(3)mC.15eq\r(3)m D.45m解析在△ABC中，AC＝15m，AB＝5eq\r(19)m，BC＝10m，由余弦定理得cos∠ACB＝eq\f(AC2＋BC2－AB2,2×AC×BC)＝eq\f(152＋102－（5\r(19)）2,2×15×10)＝－eq\f(1,2)，∴sin∠ACB＝eq\f(\r(3),2).又∠ACB＋∠ACD＝180°，∴sin∠ACD＝sin∠ACB＝eq\f(\r(3),2).在Rt△ADC中，AD＝AC·sin∠ACD＝15×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(15\r(3),2)(m).答案B6.(实力提升)台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危急区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危急区内的时间为A.0.5小时 B.1小时C.1.5小时 D.2小时解析设A地东北方向上存在点P到B的距离为30千米，AP＝x，在△ABP中，PB2＝AP2＋AB2－2AP·AB·cosA，即302＝x2＋402－2x·40cos45°，化简得x2－40eq\r(2)x＋700＝0，|x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝400，|x1－x2|＝20，即图中的CD＝20(千米)，故t＝eq\f(CD,v)＝eq\f(20,20)＝1(小时).答案B二、填空题(每小题5分，共15分)7.一艘海轮从A处动身，以每小时20海里的速度沿南偏东40°方向直线航行，30分钟后到达B处.在C处有一座灯塔，海轮在A处视察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处视察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B、C两点间的距离是________海里.解析如图所示，A＝30°，B＝105°，C＝45°，AB＝10，由正弦定理可得BC＝eq\f(10sin30°,sin45°)＝5eq\r(2).答案5eq\r(2)8.在山底测得山顶的仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1000m至S点，又测得山顶的仰角∠DSB＝75°，则山高BC解析如图，∠SAB＝45°－30°＝15°，∠SBA＝45°－15°＝30°，所以∠ASB＝180°－15°－30°＝135°.在△ABS中，由正弦定理得AB＝eq\f(AS·sin135°,sin30°)＝1000×eq\f(\f(\r(2),2),\f(1,2))＝1000eq\r(2)，所以BC＝ABsin45°＝1000eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝1000(m).答案1000m9.(实力提升)海上一观测站测得方位角240°的方向上有一艘停止航行待修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正以每小时90海里的速度向它靠近，此时海盗船距观测站10eq\r(7)海里，20分钟后测得海盗船距观测站20海里，再过______分钟，海盗船到达商船.解析如图，设观测站、商船分别位于A、B处，起先时，海盗船位于C处，20分钟后，海盗船到达D处.在△ADC中，AC＝10eq\r(7)，AD＝20，CD＝30，由余弦定理，得cos∠ADC＝eq\f(AD2＋CD2－AC2,2AD·CD)＝eq\f(400＋900－700,2×20×30)＝eq\f(1,2).则∠ADC＝60°.在△ABD中，由已知，得∠ABD＝30°，∠BAD＝60°－30°＝30°，所以BD＝AD＝20，eq\f(20,90)×60＝eq\f(40,3)(分钟).答案eq\f(40,3)三、解答题(本大题共3小题，共35分)10.(11分)海上某货轮在A处看灯塔B，在货轮北偏东75°，距离为12eq\r(6)海里处；在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为8eq\r(3)海里处；货轮向正北由A处航行到D处时看灯塔B的方位角为120°.求：(1)A处与D处的距离；(2)灯塔C与D处之间的距离.解析由题意，画出示意图，如右图所示.(1)在△ABD中，由已知∠ADB＝60°，则B＝45°.由正弦定理，得AD＝eq\f(ABsin45°,sin60°)＝24(海里).(2)在△ADC中，由余弦定理，得CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos30°＝242＋(8eq\r(3))2－2×24×8eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝(8eq\r(3))2，得CD＝8eq\r(3)(海里).答：A处与D处的距离为24海里，灯塔C与D处的距离为8eq\r(3)海里.11.(12分)如图，在山脚A测得山顶P的仰角为α，沿倾斜角为β的斜坡向上走a米到B，在B处测得山顶P的仰角为γ，求证：山高h＝eq\f(asinαsin（γ－β）,sin（γ－α）).证明在△ABP中，∠ABP＝180°－γ＋β，∠BPA＝180°－(α－β)－∠ABP＝180°－(α－β)－(180°－γ＋β)＝γ－α.在△ABP中，依据正弦定理，eq\f(AP,sin∠ABP)＝eq\f(AB,sin∠APB)，即eq\f(AP,sin（180°－γ＋β）)＝eq\f(a,sin（γ－α）)，AP＝eq\f(a×sin（γ－β）,sin（γ－α）)，所以山高h＝APsinα＝eq\f(asinαsin（γ－β）,sin（γ－α）).12.(12分)(实力提升)在某次地震时，震中A(产生振动的中心位置)的南面有三座东西方向的城市B、C、D.已知B，C两市相距20km，C，D相距34km，C市在B，D两市之间，如图所示.某时刻C市感到地表振动，8s后B市感到地表振动，20s后D市感到地表振动，已知震波在地表传播的速度为每秒1.5km.求震中A到B、C、解析在△ABC中，由题意AB－AC＝1.5×8＝12(km).在△ACD中，由题意AD－AC＝1.5×20＝30(km).设AC＝xkm，则AB＝(12＋x)km，AD＝(30＋x)km.在△ABC中，cos∠ACB＝eq\f(x2＋400－（12＋x）2,2×20×x)＝eq\f(256－24x,40x)＝eq\f(32－3x,5x).在△ACD中，cos∠ACD＝eq\f(x2＋1156