2024-2025学年人教版八年级数学上册复习：等腰三角形的性质与判定（解析版）

特训12等腰三角形的性质与判定

【特训过关】

1.已知等腰三角形的两边长分别是5和6,则第三边的长是（）

A.5B.6C.5或6D.10

【答案】C.

【解析】解：由题意可分：当边长为5的为该等腰三角形的底边时，则腰长为6,符合三角形三边关系;

当边长为5的为该等腰三角形的腰长时，则该等腰三角形的三边长为5、5、6,符合三角形三边关系；

综上所述：第三边的长为5或6；

故选：C.

2.随着钓鱼成为一种潮流，如图1所示的便携式折叠凳成为热销产品，图2是折叠凳撑开后的侧面示意图,

已知。C=OD,/5。。=108°,则凳腿与地面所成的角/。。。为（）

C.54°D.72°

【答案】C.

【解析】解：

ZOCD=ZODC,

'：ZBOD=108°,

：.ZBOD=ZOCD+ZODC=2ZODC=108°,

ZODC=54°,

故选：C.

3.下列条件中，不能判定△NBC是等腰三角形的是（）

A.（2=3,b=3,c=4B.a:b:c=2:3:4

C.ZB=50°,ZC=80°D.ZA;ZB:ZC=1:1:2

【答案】B.

【解析】解：A.a=3,b=3,c=4,

:.a=b,

.••△45C是等腰三角形；故选项A不符合题意；

B.a:b:c=2:3:4

:.a丰b丰c,

...△ABC不是等腰三角形，故选项B符合题意；

C.•/AB=50°,ZC=80°,

：.ZA=1800-ZB-ZC=50°,

：.NA=NB,

：.AC=BC,

：.AABC是等腰三角形，故选项C不符合题意；

D.•：ZA:ZB:ZC=1:1:2,

ZA=ZB,

：.AC=BC,

.••△48C是等腰三角形，故选项D不符合题意.

故选：B.

4.已知等腰三角形的一个外角等于100°,则它的顶角是（）

A.80°B.20°C.80°或20°D.不能确定

【答案】C.

【解析】解：①若100°是顶角的外角，贝IJ顶角=180°—100°=80°；

②若100°是底角的外角，贝U底角=180°—100°=80°,那么顶角=180°—2x80°=20°.

故选：C.

5.己知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成9c加和12c机两部分，则等腰三角形的腰长为（

A.6cmB.6cmBK8cmC.8cmD.5c机或9c

【答案】B.

【解析】解：根据题意画出图形，如图所示，

设等腰三角形的腰长N5=ZC=2x,BC=y,

•••5。是腰上的中线，

AD=DC=x,

①若45+40的长为12,则2x+x=12,

解得x=4,

二等腰三角形的腰长为8cm,

②若48+40的长为9,则2x+x=9,

解得x=3,

等腰三角形的腰长为6cm,

故选：B.

6.如图，在△尸4g中，PA=PB,M,N,K分别是PZ,PB,48上的点，且2/=ZK,

BN=BK,

若NMKN=44°,则/尸=()

【答案】B.

【解析】解：；尸2=尸8,

ZA=NB,

•：AM=AK,BN=BK,

：.ZAKM=ZAMK=ZBKN=ZBNK,

'：NMKN=44°,

：.ZAKM=ZBKN=1(180°-44°)=68°,

/.ZA=ZB=180°-68°—68°=44°,

：.ZP=180°-ZA-ZB=92°,

故选：B.

7.如图，在△48C中，ZA=36°,AB=AC,8。是△48C的角平分线.若在边48上截取

BE=BC,

连接。£,则图中等腰三角形共有（）

A

B

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】D.

【解析】解：=

.•.△48C是等腰三角形；

;AB=AC,ZA=36°,

ZABC=ZC=72°,

•••AD是A48C的角平分线，

ZABD=ZDBC=-ZABC=36°,

2

/.N4=NABD=36°,

BD=AD,

AAB。是等腰三角形；

在ABCD中，ZBDC=180°-ZDBC-ZC=180°-36°-72°=72°,

ZC=ZBDC=72°,

?.BD=BC,

△BCD是等腰三角形；

,/BE=BC,

BD=BE,

△ADE是等腰三角形；

ABED=(180°-36。)+2=72°,

ZADE=ZBED-Z^=72°-36°=36°,

NN=ZADE,

DE=AE,

.•.△ZOE是等腰三角形；

，图中的等腰三角形有5个.

故选：D.

8.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点.已知/、8是两格点，如果C也是图中的格点，且

使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（）

【答案】C.

【解析】解：如图，分情况讨论：

①48为等腰△48C的底边时，符合条件的C点有4个；

②48为等腰dBC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个.

9.如图，ZABC=ZACB,BD,CD,分别平分AZBC的内角NZ8C,外角NZC下，外角

ZEAC.以

下结论：

①AD〃BC；

②ZACB=2ZADB；

③NBDC=；NB幺C；

④△48。和△ZCD都是等腰三角形.

其中正确的结论有（）

E

BCF

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D.

【解析】解：平分NE4C,

ZEAC=2ZEAD,

,/ZEAC=ZABC+ZACB,ZABC=ZACB,

：.ZEAD=ZABC,

：.AD//BC,故①正确；

,/AD//BC,

NADB=NDBC,

BD平分ZABC,ZABC=ZACB,

：.ZABC=ZACB=2ZDBC,

ZACB=2ZADB,故②正确；

:ZACF=2NDCF,ZACF=ZBAC+ZABC,ZABC=2ZDBC,ZDCF=ZDBC+ZBDC,

:.NBAC=2NBDC,NBDC=g/BAC,故③正确；

在AADC中，ZADC+ZCAD+ZACD=180°,

；CD平分AABC的外角ZACF,

Z.ZACD=ZDCF,

,/AD//BC,

:.NADC=NDCF,NADB=/DBC,ZCAD=ZACB,

：.AD=CD,

...△ZQC是等腰三角形，

,/ZABC=ZACB,

•：AD//BC,

NADB=ZDBC,

BD平分ZABC，ZABD=ZDBC，

：.ZABD=ZADB,

.•.△48。是等腰三角形.

故④正确.

综上所述，正确的有4个.

故选：D.

10.如图，在中，N48。和NZC5的平分线相交于点。，过。点作EF〃BC交4B于点E,交

AC

于点E过点。作OQLNC于D,下列四个结论.

@EF=BE+CF；(2)ZBOC=90°+^ZA；③点。到△NBC各边的距离相等；④设机，

AE+AF=n,则，女尸二^机〃，正确的结论有()个.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D.

【解析】解：•••在AZBC中，N48。和NZC8的平分线相交于点O,

AZOBC=-ZABC,ZOCB=-ZACB,ZA+ZABC+ZACB=l80°,

22

ZOBC+NOCB=90°--ZA,

2

NBOC=180°-(ZOBC+ZOCB)=90°+^ZA；故②正确；

•.,在AABC中，ZABC和ZACB的平分线相交于点。，

ZOBC=ZOBE,ZOCB=ZOCF,

EF//BC,

/.ZOBC=ZEOB,ZOCB=ZFOC,

：.ZEOB=NOBE,ZFOC=ZOCF,

BE=OE,CF=OF,

：.EF=OE+OF=BE+CF,

故①正确；

过点。作（W，48于作ONLBC于N,连接CM,

•.•在ANBC中，N/8C和NZC5的平分线相交于点。，

ON=OD=OM=m,

：.SAFF=SAnF+S,nP=-AE-OM+-AF-OD=-OD-（AE+AF}=^-mn；故④正确；

•.•在AABC中，N4BC和NNCB的平分线相交于点。，

.•.点。到△48C各边的距离相等，故③正确.

故选：D.

11.如果一个等腰三角形的两边长分别为4c〃?和8CM,则此等腰三角形的周长为cm.

【答案】20.

【解析】解：等腰三角形的两边长分别为4c〃?和8c加，

当腰长是4cm时，则三角形的三边是4c加，4cm,Scm,4c机+4c机=8c机不满足三角形的三边关系；

当腰长是8c加时，三角形的三边是8<?加，8cm,4cm,8cm+4cm>8cm,满足三角形的三边关系，三角形

的周长是8+8+4=20（0机）.

故答案为：20.

12.如图，AZBC中，AD平分NBAC,CD1AD,若NZ3C+44cD=180。，CD=4,则5C的长

为.

【答案】8.

【解析】解：延长48、CD交于点E,

A

•/AD平分NB4C,

：.NEAD=ACAD,

,/CDA.AD,

：.NADE=ZADC=90°,

在AADE和△4DC中，

"NEAD=ZCAD

<AD=AD,

ZADE=ZADC

：.AADE^AADC(ASA),

:.DE=DC=4,AE=AC,

：.CE=8,ZE=ZACD,

•：ZABC+ZACD=180°,ZABC+ZCBE=180°,

NE=ZACD=ZCBE,

/.BC=CE=8,

故答案为：8.

13.如图，若3、D、F在AN上,C、E在ZAf上，且AB=5C=C£>,EC=ED=EF,ZA=20°,

【解析】解:如图,

N

：.ZA=Z1=20°,

•••N2是△48C的外角，

/.N2=NZ+N1=4O°,

,/BC=CD,

：.N3=N2=40°,

/.N5=N3+NZ=40°+20°=60°,

•/CE=ED,

：.N4=N5=60°,

：.Z6=180°-Z3-Z4=l80°-40°-60°=80°,

'：ED=EF,

：.Z6=Z7=80°,

/.ZFED=180°-Z6-Z7=l80°—80°-80°=20°.

故答案为：20°.

14.如图，。为AZBC内一点，CD平分N4CB,BELCD,垂足为D,交NC与点E,

NA=NABE.若

AC=7,BC=4,则5。的长为.

【解析】解：•••。。平分/2。8,

/.ZBCD=NECD,

BELCD,

：.NBDC=ZEDC=90°,

•/CD=CD,

：.ABDC、EDC（ASA）,

：.BC=CE=4,BD=DE,

又：NA=NABE,

AE=BE,

VAC=7,BC=4,

：.AE=AC-CE=3,

BE=AE=3,

/.BD=—BE——,

22

3

故答案为：

2

15.如图，AZBC中，AB=8,AC=6,BC=5,NZ8C与NZC5的平分线相交于点。，过。点作

DE//BC,则AADE的周长为.

【解析】解：由N4SC与NNC5的平分线相交于点。，得

ZDBO=ZOBC,ZECO=ZOCB.

由。E〃8C,得

ZDOB=ZOBC,ZEOC=ZOCB,

NDOB=NDBO,ZEOC=ZECO,

：.DO=BD,0E=EC.

C,nF=AD+DE+AE=AD+BD+AE+CE=AB+AC=lA.

故答案为14.

16.如图，在中，AB=20cm,ZC=12。机，点P从点8出发以每秒3c机速度向点N运动，点

Q

从点/同时出发以每秒2c〃?速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当

△APQ

【答案】4.

【解析】解：设运动的时间为X,

在ANBC中，AB=20cm,AC=12cm,

点尸从点8出发以每秒3cm的速度向点N运动，点。从点/同时出发以每秒2c加的速度向点C运动,

当是等腰三角形时，AP=AQ,

AP=20—3x,AQ=2x,

即20—3x=2x,

解得x=4.

故答案为：4.

17.如图，在AZBC中，ZBAC=90°,ADLBC,垂足是点。，BE平分N4BC交4c于E,交,AD

于

F,点G,点〃分别为线段BE,N5上动点，下面四个结论：①ZCAD=2ZABE；②

ZAEF=NAFE；

③AC-AB=AD-BC；@AG+GH>AD.其中正确的有（写出所有正确结论的序号）.

【答案】①②③.

【解析】解：在AZBC中，ZBAC=90°,AD1BC,

ABAC=ZADC=ZADB=90°,

/.ZC+ZCAD=ZC+/ABC=90°,

/.ZCAD=NABC,

,:BE平分NABC,

：.ZABC=2ZABE=2ZCBE,

ZCAD=2ZABE=2ZCBE；故①正确，符合题意;

,/ABAC=ZADB=90°,

/.ZABE+NAEF=NCBE+ZBFD=90°,

•：ZABE=ZCBE,

/.ZAEF=ZBFD=ZAFE,故②正确，符合题意；

V5,=-AC-AB=-AD-BC,

AAbR。r22

：.ACAB=ADBC,故③正确，符合题意；

作点”关于的对称点则NG+G〃=NG+G/7'2/H'2Z。，故④错误，不符合题意;

故答案为：①②③.

18.如图，在A48C中，AB=AC,CE平分NACB,EC=EA.

（1）求NZ的度数；

（2）若ADLZC,垂足为。，BD交EC于点、F,求N1的度数.

【答案】（1）ZA=36°；（2）Z1=54°.

【解析】解：（1）•：EC=EA,

设AA=N2=x,

,/CE平分NACB,

NACB=2x,

*/AB=AC,

：.ZABC=NACB=2x,

在中，x+2x+2x=180。,

x=36°,

/.NZ=36°；

(2)ZA=Z2,

：.N2=36。，

,/BD1AC,

：.ZDFC=90°-36°=54°,

：.Z1=ZDFC=54°.

19.如图，已知点D,E分别在45和ZC上，DE//BC,BD=DE.

(1)求证：BE平分N4BC；

(2)若NN=50°,ZEBC=30°,求NZC5的度数.

【答案】（1）证明见解析；（2）ZACB=70°.

【解析】（1）证明：：£>E〃8C,

ZDEB=ZEBC,

BD=DE,

ZDEB=ZDBE,

ZEBC=ZDBE,

:.BE平分/ABC；

(2)解：由(1)可知：ZEBC=ZDBE,

•••ZEBC=30°,

/.ZEBC=ZDBE=30°,

ZABC=ZEBC+ZDBE=60°,

,/N4=50°,

ZACB=180°-(ZA+ZABC)=180°-(60°+50°)=70°.

20.用一条长为20c”的细绳围成一个等腰三角形.

(1)如果腰长是底边长的2倍，那么腰长是多少？

(2)能围成一边长是5c加的等腰三角形吗？为什么？

【答案】(1)腰长是：8cm,8cm；(2)能围成有长是5cw的等腰三角形，理由见解析.

【解析】解：(1)设底边长为xc〃z,则腰长为2xcm,贝U2x+2x+x=20,

解得，x=4,

2x=8,

二腰长是：8cm,8cm；

(2)能围成有长是5c〃？的等腰三角形，

理由：①当5c加为底时，腰长=7.5cm,

②当5c加为腰时，底边=10。机，因为5+5=10,故不能构成三角形，故舍去；

故能构成有一边长为5cm的等腰三角形.

21.如图，在AZ5c中，点E在4B上,点、D在BC上,BD=BE,连接/。与CE且相交于点尸，有

/BAD=NBCE.求证：△NFC为等腰三角形.

E,

BDC

【答案】证明见解析.

【解析】证明：•••在AZB。和ACBE中，

ABAD=NBCE

<NB=NB,

BD=BE

：."BD、CBE(AAS),

/.AB=BC,

BE=BD,

AE=CD,

在△ZEE和△(?£)/中，

"ZAFE=ZCFD

<ZEAF=ZDCF,

AE=CD

:.AAEF均CDF(AAS),

：.AF=CF,

.•.△4FC是等腰三角形.

22.如图，在△NBC中，N/8C=90°,点£在BC上，点厂在N8的延长线上，连接NE,CF,且

AE=CF,

BF=BE.求证：ANBC是等腰三角形.

【答案】证明见解析.

【解析】证明：：N48C=90°,

ZCBF=180°-ZABC=90°,

在Rt^ABE和Rt^CBF中

BE=BF

<AE=CF>

/.RMABE2RtKBF(HL),

/.AB=CB,

...△48C是等腰三角形.

23.如图，在AZBC中，ZC=5C,点尸为Z8的中点，边NC的垂直平分线交ZC,CF,CB于点

D,

O,E,连接05.

(1)求证：AOBC为等腰三角形；

(2)若N/CE=23°,求N50E的度数.

【答案】（1）证明见解析；（2）ZBOE=21°.

【解析】（1）证明：连接CM,如图，

•；AC=BC,点尸为48的中点，

/.CF1AB,

：.CF垂直平分AB,

/.0A=0B,

垂直平分NC,

OA=OC,

：.OB=0C,

...△08C为等腰三角形；

（2）解：,:AC=BC,CFLAB,

CF平分NACB,

：.NBCF=ZACF=23°,

；OB=OC,

：.40BC=ZOCB=23°,

•：ZEDC=90°,

/DEC=90°-ZDCE=90°-23°-23°=44°,

•/ZOEC=ZOBE+ZBOE,

N8O£=44°—23°=21°.

24.(1)如图1,已知：在ANBC中，AB=AC=10,BD平分NABC,CD平分NACB,过点。作

EF//BC,分别交48、NC于£、尸两点，则图中共有个等腰三角形；EF与BE、C尸之间的

数量关系是,“EF的周长是

(2)如图2,若将(1)中“△NBC中，AB=AC=10改为“若AZBC为不等边三角形，AB=8,

ZC=10”其余条件不变，则图中共有