2024-2025学年高中数学模块综合提升教学用书教案新人教A版选修2-1

PAGE模块综合提升一、常用逻辑用语1．命题及其关系(1)原命题：若p，则q．则逆命题：若q，则p．否命题：若p，则q．逆否命题：若q，则p．(2)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．2．充分条件与必要条件(1)若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)若p⇔q，则p是q的充要条件．(3)若p⇒q，qp，则p是q的充分不必要条件．(4)若pq，q⇒p，则p是q的必要不充分条件．(5)若pq，qp，则p是q的既不充分也不必要条件．3．简洁的逻辑联结词(1)命题p∧q的真假：“全真则真”，“一假则假”．(2)命题p∨q的真假：“一真则真”，“全假则假”．(3)命题p的真假：p与p的真假性相反．4．全称命题与特称命题的否定(1)全称命题的否定p：∀x∈M，p(x)．p：∃x0∈M，p(x0)．(2)特称命题的否定p：∃x0∈M，p(x0)．p：∀x∈M，p(x)．二、圆锥曲线与方程1．椭圆(1)椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2(2)椭圆的标准方程焦点在x轴上：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，焦点在y轴上：eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)．(3)椭圆的几何性质①范围：对于椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，－a≤x≤a，－b≤y≤b．②对称性：椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1或eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)，关于x轴，y轴及原点对称．③顶点：椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的顶点坐标为A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)．④离心率：e＝eq\f(c,a)，离心率的范围是e∈(0,1)．⑤a，b，c的关系：a2＝b2＋c2．2．双曲线(1)双曲线的定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的肯定值等于常数(小于|F1F2(2)双曲线的标准方程焦点在x轴上：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，焦点在y轴上：eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)．(3)双曲线的几何性质①范围：对于双曲线eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，y≥a或y≤－a，x∈R，②对称性：双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1或eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)关于x轴，y轴及原点对称．③顶点：双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的顶点坐标为A1(－a,0)，A2(a,0)，双曲线eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的顶点坐标为A1′(0，－a)，A2′(0，a)，④渐近线：双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，双曲线eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±eq\f(a,b)x．⑤离心率：e＝eq\f(c,a)，双曲线离心率的取值范围是e∈(1，＋∞)，⑥a，b，c的关系：c2＝a2＋b2．3．抛物线(1)抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．(2)抛物线的标准方程焦点在x轴上：y2＝±2px(p>0)，焦点在y轴上：x2＝±2py(p>0)．(3)抛物线的几何性质①范围：对于抛物线x2＝2py(p>0)，x∈R，y∈[0，＋∞)②对称性：抛物线y2＝±2px(p>0)，关于x轴对称，抛物线x2＝±2py(p>0)，关于y轴对称．③顶点：抛物线y2＝±2px和x2＝±2py(p>0)的顶点坐标为(0,0)．④离心率：抛物线上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比叫做抛物线的离心率，由抛物线的定义知e＝1．三、空间向量与立体几何1．空间向量及其运算(1)共线向量定理：a∥b⇔a＝λb(b≠0)．(2)P，A，B三点共线⇔eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))(x＋y＝1)．(3)共面对量定理：p与a，b共面⇔p＝xa＋yb．(4)P，A，B，C四点共面⇔eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))＋zeq\o(OC,\s\up7(→))(x＋y＋z＝1)．(5)空间向量基本定理假如三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，把{a，b，c}叫做空间的一个基底．(6)空间向量运算的坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则①a±b＝(a1±b1，a2±b2，a3±b3)，②λa＝(λa1，λa2，λa3)，③a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3，④a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3，⑤a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0，⑥|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))，⑦cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3)))，⑧若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则eq\o(AB,\s\up7(→))＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)，|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12)．2．立体几何中的向量方法(1)异面直线所成的角两条异面直线所成的角为θ，两条异面直线的方向向量分别为a，b，则cosθ＝|cos〈a，b〉|＝eq\f(|a·b|,|a||b|)．(2)直线与平面所成的角直线与平面所成的角为θ，直线的方向向量为a，平面的法向量为n，则sinθ＝|cos〈a，n〉|＝eq\f(|a·n|,|a||n|)．(3)二面角二面角为θ，n1，n2为两平面的法向量，则|cosθ|＝|cos〈n1，n2〉|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|)．1．一个命题的逆命题和否命题有相同的真假性． (√)[提示]一个命题的逆命题和否命题互为逆否命题，因此具有相同的真假性．2．使a>b成立的充分不必要条件是a>b－1． (×)[提示]a>b－1a>b．3．“p∧q”的否定为“(p)∨(q)”，“p∨q”的否定为“(p)∧(q)”． (√)[提示]“且”的否定为“或”，“或”的否定为“且”．4．命题p：∀x∈(0，＋∞)，则x2＋2x＋1>0，则p为：∃x0∈(－∞，0]，使xeq\o\al(2,0)＋2x0＋1≤0． (×)[提示]p应为∃x0∈(0，＋∞)，使xeq\o\al(2,0)＋2x0＋1≤0．5．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是“若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数”． (×)[提示]命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是“若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数”．6．命题“菱形的两条对角线相等”是全称命题且是真命题． (×)[提示]此命题是全称命题，但是是假命题．7．“x>6”是“x>1”的充分但不必要条件． ([提示]x>6⇒x>1，但x>1x>6．8．若命题p∧q为假，且p为假，则q假． (√)[提示]由p为真，p∧q为假知，q为假．9．椭圆上的点到焦点的最大距离为a＋c，最小距离为a－c． (√)[提示]椭圆长轴的端点到焦点的距离有最大值或最小值．10．已知F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆． (×)[提示]|F1F2|＝8，故点的轨迹是线段F1F11．椭圆2x2＋3y2＝12的焦点坐标为(0，±eq\r(2))． (×)[提示]椭圆标准方程为eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,4)＝1，c2＝a2－b2＝2，故椭圆的焦点坐标为(±eq\r(2)，0)．12．已知椭圆的标准方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,m2)＝1(m>0)，焦距为6，则实数m的值为4． (×)[提示]当焦点在x轴上时，由25－m2＝9得m＝4，当焦点在y轴上时，m2－25＝9得m＝eq\r(34)．13．已知F1(－5,0)，F2(5,0)，动点P满意|PF1|－|PF2|＝10，则点P的轨迹是双曲线的右支． (×)[提示]点P的轨迹是一条射线．14．“0≤k<3”是方程eq\f(x2,k＋1)＋eq\f(y2,k－5)＝1表示双曲线的充要条件． (×)[提示]当0≤k<3时，方程eq\f(x2,k＋1)＋eq\f(y2,k－5)＝1表示双曲线，若方程eq\f(x2,k＋1)＋eq\f(y2,k－5)＝1表示双曲线，则有(k＋1)(k－5)<0，即－1<k<5，故原命题错误．15．双曲线2x2－y2＝8的实轴长为2． (×)[提示]双曲线标准方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,8)＝1，因此双曲线的实轴长为4．16．等轴双曲线的渐近线相同． (√)[提示]等轴双曲线的渐近线方程都是y＝±x．17．到定点和定直线距离相等的点的轨迹是抛物线． (×)[提示]当定点在定直线上时点的轨迹是一条直线．18．抛物线y＝2x2的焦点坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))． (×)[提示]抛物线标准方程为x2＝eq\f(1,2)y，故焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,8)))．19．抛物线y2＝2px(p>0)中过焦点的最短弦长为2p． (√)[提示]抛物线中通径是最短的弦长．20．抛物线y＝ax2(a≠0)的准线方程为y＝2，则实数a的值是eq\f(1,8)． (×)[提示]抛物线标准方程为x2＝eq\f(1,a)y，则－eq\f(1,4a)＝2，解得a＝－eq\f(1,8)．21．若空间任一点O和不共线的三点A，B，C满意eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(3,2)eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OC,\s\up7(→))，则点P与A，B，C共面． (√)[提示]eq\f(1,2)＋eq\f(3,2)－1＝1，故四点共面．22．a，b为空间向量，则cos〈a，b〉＝cos〈b，a〉． (√)[提示]〈a，b〉＝〈b，a〉，则cos〈a，b〉＝cos〈b，a〉．23．两个平面垂直，则这两个平面的法向量也垂直． (√)[提示]由平面法向量的定义可知．24．直线与平面垂直，则直线的方向向量与平面的法向量垂直． (×)[提示]直线的方向向量与平面的法向量平行．25．若向量e1，e2，e3是三个不共面的向量，且满意k1e1＋k2e2＋k3e3＝0，则k1＝k2＝k3＝0． (√)[提示]假设k1≠0，则e1＝－eq\f(k2,k1)e2－eq\f(k3,k1)e3，则e1，e2，e3共面．26．若直线的方向向量与平面的法向量所成的角为150°，则直线与平面所成的角为30°． (×)[提示]直线与平面所成的角为60°．27．若直线与平面所成的角为0°，则直线在平面内． (×)[提示]直线与平面也可能平行．28．两个平面的法向量所成的角为120°，则两个平面所成的二面角也是120°． (×)[提示]二面角的度数是120°或60°．29．两条异面直线所成的角为30°，则两条直线的方向向量所成的角可能是150°． (√)[提示]依据向量所成角的定义知正确．30．若二面角是30°，则在二面角的两个半平面内与二面角的棱垂直的直线的方向向量所成的角也是30°． (×)[提示]在二面角的两个半平面内与棱垂直的直线的方向向量所成的角是30°或150°．1．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是()A．α内有多数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面B[对于A，α内有多数条直线与β平行，当这多数条直线相互平行时，α与β可能相交，所以A不正确；对于B，依据两平面平行的判定定理与性质知，B正确；对于C，平行于同一条直线的两个平面可能相交，也可能平行，所以C不正确；对于D，垂直于同一平面的两个平面可能相交，也可能平行，如长方体的相邻两个侧面都垂直于底面，但它们是相交的，所以D不正确．综上可知选B．]2．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(1,2)，则()A．a2＝2b2 B．3a2＝4bC．a＝2b D．3a＝4B[因为椭圆的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，所以a2＝4c2．又a2＝b2＋c2，所以3a2＝4b2．]3．已知椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方．若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是________．eq\r(15)[如图，左焦点F(－2,0)，右焦点F′(2,0)．线段PF的中点M在以O(0,0)为圆心，2为半径的圆上，因此OM＝2．在△FF′P中，OM綊eq\f(1,2)PF′，所以PF′＝4．依据椭圆的定义，得PF＋PF′＝6，所以PF＝2．又因为FF′＝4，所以在Rt△MFF′中，tan∠PFF′＝eq\f(MF′,MF)＝eq\f(\r(FF′2－MF2),MF)＝eq\r(15)，即直线PF的斜率是eq\r(15)．]4．已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为eq\f(3,2)的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；(2)若eq\o(AP,\s\up7(→))＝3eq\o(PB,\s\up7(→))，求|AB|．[解]设直线l：y＝eq\f(3,2)x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．(1)由题设得Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，0))，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋eq\f(3,2)．由题设可得x1＋x2＝eq\f(5,2)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(3,2)x＋t，,y2＝3x))可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，则x1＋x2＝－eq\f(12t－1,9)．从而－eq\f(12t－1,9)＝eq\f(5,2)，得t＝－eq\f(7,8)．所以l的方程为y＝eq\f(3,2)x－eq\f(7,8)．(2)由eq\o(AP,\s\up7(→))＝3eq\o(PB,\s\up7(→))可得y1＝－3y2．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(3,2)x＋t，,y2＝3x))可得y2－2y＋2t＝0．所以y1＋y2＝2．从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3．代入C的方程得x1＝3，x2＝eq\f(1,3)．故|AB|＝eq\f(4\r(13),3)．5．如图，长方体ABCD­A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1(1)证明：BE⊥平面EB1C1(2)若AE＝A1E，求二面角B­EC­C1的正弦值．[解](1)证明：由已知得，B1C1⊥平面ABB1A1，BE⊂平面ABB1A1，故B1C又BE⊥EC1，B1C1∩EC1＝C1所以BE⊥平面EB1C1(2)由(1)知∠BEB1＝90°．由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以∠AEB＝45°，故AE＝AB，AA1＝2AB．以D为坐标原点，eq\o(DA,\s\up7(→))的方向为x轴正方向，|eq\o(DA,\s\up7(→))|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系D­xyz，则C(0，1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，E(1，0,1)，eq\o(CB,\s\up7(→))＝(1,0,0)，eq\o(CE,\s\up7(→))＝(1，－1,1)，eq\o(CC1,\s\up7(→))＝(0,0,2)．设平面EBC的法向量为n＝(x1，y1，z1)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(CB,\s\up7(→))·n＝0，,\o(CE,\s\up7(→))·n＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝0，,x1－y1＋z1＝0，))所以可取n＝(0，－1，－1)．设平面ECC1的法向量为m＝(x2，y2，z2)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(CC1,\s\up7(→))·m＝0，,\o(CE,\s\up7(→))·m＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2z2＝0，,x2－y2＋z2＝0，))所以可取m＝(1,1,0)．于是cos〈n，m〉＝eq\f