2024-2025学年人教版九年级数学下册专项复习：相似三角形及其性质（原卷版）

第02讲相似三角形的性质及其判定

学习目标

课程标准学习目标

1,掌握相似三角形的定义及其表示方法。

①相似三角形的定义

2.掌握相似三角形的性质并能够熟练应用。

②相似三角形的性质

3.掌握相似三角形的判定并能够熟练的判定相似三角

③相似三角形的判定

形。

思维导图

相似三角形的定义

对双边成比例

rIS做三角形的住ASY（对应角相等

相似三角形

军行线法

/李加皿蛆删

相似三角形的判定,两边对应成比例及X夹角相等

\两角对应相等

知识清单

知识点01相似三角形的定义与性质

1.相似三角形的定义：

如果两个三角形的对应边的比,对应角，那么这两个三角形相似。用符号“S”

来表示。若AABC相似于△DEF,A对应D,B对应E,C对应F。则表示为△ABCs/\EDF。对应边的比叫做这

两个三角形的o

2.相似三角形的性质:

①相似三角形的对应角.，对应边的比.

②相似三角形（多边形）的周长的比等于.;相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平

分线、对应边上的高）的比也等于.

③相似三角形的面积的比等于.

题型考点：①求相似三角形的相似比。②利用相似三角形的性质求值。

【即学即练1】

1.已知△ABCS/XOEF,若/A=30°,ZB=80°,则NF的度数为()

A.30°B.80°C.70°D.60°

【即学即练2】

2.如图，AADE^AABC,若4。=1,BD=2,则△ADE与△ABC的相似比是（）

A.1：2B.1：3C.2：3D.3：2

【即学即练3】

3.若两个相似三角形的周长之比是1：2,则它们的面积之比是（)

A.1：2B.1：V2C.2：1D.1：4

【即学即练4】

4.如图，AABC^AADE,S^ABC：S四边形BDEC=1：2其中的长为（

B.娓C.V5D.5

【即学即练5】

5.若AABCsADEF,△ABC的面积为81CW,△£)£；尸的面积为36CW,且A5=12cm,则DEcm.

【即学即练6】

6.如图，AABC,AB=12,AC=15,。为AB上一点，SLAD=^AB,在AC上取一点E,使以A、。、E

3

为顶点的三角形与A3C相似，则AE等于（)

B.10

C.丝或10D.以上答案都不对

5

知识点02相似三角形判定的预备定理

1.判定预备定理内容:

平行于三角形其中一边的直线与另两边或两边的延长线相交，所得到的三角形与原三角形

如图1：AAOE^AABC；如图2,AAOB^ACOZ)

题型考点：①利用预备定理进行相似三角形的判定。

【即学即练。

7.如图，在△ABC中，点。在A8上，A。：BD=\-.2,DE〃BC交AC于E,下列结论中不正确的是(

A.BC=3DEB.AADE^AABC

「BDCED.S&PE」

BACA,△ABC3

【即学即练2】

8.如图，△ABC中，DE//BC,DF//AC,求证：△ADEs^DBF.

知识点03相似三角形的判定定理1—三边成比例的两个三角形相似

1.三边对应成比例的两个三角形相似：

若两个三角形三边的相等，则这两个三角形相似。

题型考点：①利用判定定理1判定三角形相似。

【即学即练1】

9.一个三角形的三边长分别为12c机，8cm,7cm,另一个三角形的三边长分别为16c机，24cm,]4cm,这

两个三角形相似吗？为什么？

【即学即练2】

10.如图，。是△ABC内一点，D,E,尸分另OB,OC,上的点，DE//AB,EF//BC,DF//AC.求

证：ADEFs^ABC.

知识点04相似三角形的判定定理2一两边及其夹角判定

1.判定定理2的内容：

两个三角形的两组对应边的相等且这两组对应边的相等的两个三角形相似。

题型考点：①利用判定定理2判定三角形相似。

【即学即练1】

11.如图，点C在△ADE的边DE上，Z1=Z2,胆望_,请说明△ABCs△ADE.

ACAE

DE

【即学即练2】

12.如图，。是△ABC的边BC上的一点，AB=2,BD=\,OC=3,求证：

【即学即练3】

13.如图，在△A3C中，AB=4,AC=8,点尸从2点出发沿BA方向以每秒1个单位移动，点。从A出发

沿AC方向以每秒2个单位移动，当它们到达A、C后停止运动.试问经过几秒后，AABC与△AP。相

似？请说明理由.

知识点05相似三角形的判定定理3一两角判定

2.判定定理3的内容:

两个三角形的两个角对应，则这两个三角形相似。

题型考点：①利用判定定理3判定三角形相似。

【即学即练1】

14.如图，已知在AABC与中，ZC=54°,ZA=47°,ZF=54°,ZE=79°,求证：AABC^

△DEF.

【即学即练2】

15.已知：如图，Z1=Z2=Z3,求证：△ABCS^AOE.

【即学即练3】

16.已知：如图AB为OO的直径，弦AC、2。相交于点P,

(1)证明图中的相似三角形；

(2)若AB=3,CD=1,AC=2,求AP的长.

题型精讲

题型01相似三角形的性质求线段

【典例1】

在△ABC中，BC=15cm,CA=45cm,AB=63cm,另一个和它相似的三角形的最短边是5cm,则最长边是

()

A.18cmB.21cmC.24cmD.19.5cm

【典例2】

如图，在三角形ABC中，42=24,AC=18,。是AC上一点AD=12,在AB上取一点E,使A、D、E=

点组成的三角形与ABC相似，则AE=.

【典例3】

如图，在矩形ABCO中，点E、尸分别在边A。、0c上，AABE^ADEF,43=6,AE=9,DE=2,求EF

的长.

【典例4】

如图，已知△AOBs/YDOC,OA=2,AD=9,OB=5,DC=12.求AB,OC的长.

题型02相似三角形的性质求周长与面积

【典例1】

若AABCs^DEF,且面积比为4：9,其中△ABC的周长为6c机，则的周长是()

A.4cmB.9cm

C.13.5cmD.9c机或13.5CM

【典例2】

两个相似三角形，其周长之比为3：2,则其面积比为（）

A.丙：&B.3：2C.9：4D.不能确定

【典例3】

在一张缩印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的6c机变成了2cm,则缩印出的三角形的面积是原

图中三角形面积的（）

A.AB.工C.AD.工

36912

【典例4】

已知△ABC的三边分别是5,6,7,则与它相似△&'B'C'的最短边为10,则B'C的周长是.

题型03相似三角形的判定

【典例1】

如图，点C,尸在线段2。上，AB//DE,理•注，求证：△ABCS^EDF.

DEDF

【典例2】

如图，点。是△ABC外一点，/DAE=NBAC,ZAEC+ZACB^180°.求证：△DARs/XEAC.

【典例3】

如图，在四边形ABC。中，ZB=ZC=90°，点尸在BC上，且NAP£>=90°.

求证：LABPSAPCD.

D

A

【典例4】

在△ABC中，AF±BC,CE±AB,垂足分别是凡E,连接EF.求证:

(1)ABAFsABCE；

(2)LBEFsABCA.

【典例5】

如图所示，在△ABC中，/A=90°,AB=8cm,AC^6cm,点尸由点A出发沿AB方向向点B匀速运动,

同时点Q由点8出发沿8c方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s,连接P。,设运动时间为"s),

解答下列问题：

(1)ABP。的面积可能是为5a层吗？为什么？

(2)在点P,。的运动过程中，当f为何值时，48尸。与AABC相

似？并说明理由.

题型04相似三角形的判定与性质

【典例1】

如图，在平行四边形A2C£)中，AB=8.在BC的延长线上取一点3,使CE=』8C,连接AE,AE与CD

3

交于点F.

(1)求证：AADFsAECF；

(2)求。尸的长.

【典例2】

如图，平行四边形ABC。，DE交BC于F,交4?的延长线于E,S.ZEDB=ZC.

(1)求证：AADEsADBE；

(2)若DC=7cm,BE=9cm,求£>£的长.

【典例3】

如图，在矩形ABC。中，E是边BC的中点，。尸，AE于点E.

(1)求证：空AD

BEAE

(2)若A8=4,BC=6,求AF的长.

【典例4】

小军在学习相似三角形时，遇到这样一个问题:

(1)如图1,在△ABC中，尸是边上的一点，连接CP,若NACP=NB,求证：AACP^AABC；

(2)如图2,已知NA=81°,AC1=AB-AD,BC=BD,求NA8C的度数.

题型04相似三角形的应用

【典例1】

同学们在物理课上做“小孔成像”实验.如图，蜡烛与带“小孔”的纸板之间的距离是带“小孔”的纸板

与光屏间距离的一半，当蜡烛火焰的高度AB为1.6c机时，所成的像A'8的高度为（）

A.0.8cmB.2.4cmC.32cmD.4.8cm

【典例2】

如图，利用标杆BE测量建筑物的高度.如果标杆BE高1.2m，测得AB=L6加，BC=12m,则楼高CO是

C.10.2mD.11.2mm

【典例3】

如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测“步云阁”的高度,他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水

平，边。E与点B在同一直线上.已知直角三角纸板中。E=18cm,EF=12cm,测得眼睛。离地面的高

度为1.8m他与“步云阁”的水平距离为114祖，则“步云阁”的高度48是（）

A.74.2mB.77.8mC.79.6mD.79.8m

【典例4】

四分仪是一种十分古老的测量仪器.其出现可追溯到数学家托勒

密的《天文学大成》.图1是古代测量员用四分仪测量一方井

的深度，将四分仪置于方井上的边沿，通过窥衡杆测望井底点

F、窥衡杆与四分仪的一边交于点H.图2中，四分仪为

正方形42czz方井为矩形BEPG.若测量员从四分仪中读得

AB为1,8”为0.5,实地测得8E为2.5.则井深83为（）

A.4B.5C.6D.7

强化训练

1.两个相似三角形的周长之比是1:愿，则它们的面积之比为（）

A.1：3B.3：1C.1：V3D.V3：1

2.如图，△ABCsLADE,S^ABC：S四边形BDEC=1：2,其中CB=&，的长为（）

3.如图，已知N1=N2,那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC与△AOE相似的是（）

4.图1是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，与相交于点。，A2〃Cr>,根

据图2中的数据可得x的值为（）

5.新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点.如图，已知在5X5

的网格图形中，点A、B、C、。为不同的点且都在格点上，如果/ADC=/A8C,那么图中所有符合要

求的格点D的个数是（）

6.如图，点A,B,C,。为。。上的四个点，AC平分NBA。，AC交BD于点、E,CE=2,8=3,则AC

的长为（）

A,

O.

C^D

A.4B.4.5C.5D.5.5

7.如图，在平行四边形ABC。中，AB=6,AO=8,对角线AC与3。交于点。，点E是。C的延长线的一

A.6B.6.2C.6.75D.7

8.如图，在正方形ABCQ中，E是AB上一点，连接CE,过点C作CF_LCE交AD的延长线于点R连接

EF,所分别交8、AC于点G、H,M是中点，连接DM,则下列结论：①BE=DF；③FH，GE=

C£2；③NC7W=45°；④若AE=AH,贝!］丝正确的结论是（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

9.D、£分别是△ABC的边A3、AC上的点，如果NA=45°,AB=2,A£）=1,AC=3,那么要使△ABC

和AADE相似，则AE=.

10.九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，如图所示，

已知标杆高度。=3加，标杆与旗杆的水平距离8。=15%，人的眼睛与

地面的高度EP=1.6m,人与标杆CO的水平距离。尸=2切，则旗杆

的高度为m.

11.将一张直角三角形纸片沿一条直线剪开，将其分成一张三角形纸片与一张四边形纸片，如果所得四边

形纸片ABC。如图所示，其中/A=/C=90°,A8=7厘米，8c=9厘米，CZ）=2厘米，那么原来的直

角三角形纸片的面积是平方厘米.

12.如图，四边形ABC。是正方形，点尸是边AB上的一点，连接。R点E是边BC延长线上的一点，且

DFLDE,连接AC交跖