2024-2025学年人教版九年级数学下册专项复习：相似三角形的判定与性质（30题）（解析版）

专题提升相似三角形的判定与性质（30题）

1.（2023•东莞市校级一模）如图，在平行四边形A2CZ）中，AB=8.在的延长线上取一点8,使CE=

—BC,连接AE,AE与CD交于点F.

3

（1）求证：AADFsAECF；

（2）求。尸的长.

【分析】（1）由平行四边形的性质可得出AO〃BE,从而得出/ZMF=/CEF,ZADF=ZECF,即证明

丛ADFs丛ECF；

（2）由平行四边形的性质可得出AO=BC,AB=CD=S,即得出旭1=3,再根据相似三角形的性质可得

CE

出处理，即此=3，最后结合CO=DP+CF,即可求出。尸的长.

CECFCF

【解答】（1）证明：•••四边形ABC。为平行四边形，

J.AD//BC,BPAD//BE,

：.ZDAF=ZCEF,ZADF=ZECF,

：.△ADFsXECE；

（2）解：：四边形ABCZ）为平行四边形，

C.AD^BC,AB=CD=8,

CE^yAD'即祟=3-

oCD

AADF^AECFf

...坦理，BpDF_=3.

CECFCF

CD=DF+CF,

2

•••DF?D=6-

4

2.（2022秋•细河区期末）如图，平行四边形ABC。，DE交BC于F,交AB的延长线于E,且NEDB=N

C.

(1)求证：AADEsADBE；

(2)若DC=1cm,BE=9cm,求。E的长.

【分析】（1）由平行四边形的对角相等，可得/A=NC,即可求得/4=/即2,又由公共角/E=NE,

可证得ADBE；

（2）根据相似三角形的对应边成比例，进而解答即可.

【解答】（1）证明：平行四边形A8CD中，ZA=ZC,

:NEDB=NC,

：.NA=NEDB,

又/E=NE,

LADEsADBE；

(2)平行四边形ABC。中，DC=AB,

由(1)得AADES^DBE,

•.•一DE二BE,，

AEDE

,:DC=7cnt,BE=9cm,

'.AB=lcm,AE=\6cm,

DE=12cm.

3.（2023秋•高新区校级期中）如图，在矩形ABC。中，E是边8C的中点，OFLAE于点E.

⑴求证:需嘿

(2)若A8=4,BC=6,求AF的长.

【分析】（1）由四边形ABC。为矩形，DFLAE,可得NR4£=NADF,推导出即可证

明结论;

（2）E为BC的中点，根据勾股定理可得4E=5,再根据相似三角形的性质即可列出比例式求得AF的

长即可.

【解答】（1）证明：•••四边形ABCD为矩形，DF±AE,

：.ZB=ZAFD=90°,

ZBAE+ZEAD=ZEAD+ZADF=90°，

：.NBAE=ZADF,

：.△ADFsdEAB,

.AF=AD

"BEAE'

（2）解：：E为BC的中点，

：.BE=^BC=3,

2

在Rt/XABE中，AE=^AB2+BE2=742+32=5-

..AF=AD

'BEAE'

.AF_6

••~~~~~9

35

4.（2023秋•丰泽区校级期中）小军在学习相似三角形时，遇到这样一个问题:

（2）如图2,已知/A=81°,AC2=AB'AD,BC=BD,求/ABC的度数.

【分析】（1）根据NACP=/B,NC4尸=NA4C即可得出结论；

（2）先由4C2=42・A£）得A£）：AC^AC：AB,再根据NC42=NZMC可判定△ACB和△&£＞（7相似，进

而得NACB=/。，然后由BC=BD得/BCD=ND,据此可得出NACO=2N。，然后利用三角形的内

角和定理可求出/。=40°,进而可求出乙4BC的度数.

【解答】（1）证明：VZACP=ZB,ZCAP=ZBAC,

・•・AACP^AABC；

(2)解：VAC2=AB-AZ),

：.AD：AC=AC：AB,

又・・・NCA8=NOAC,

/.AACB^AADC,

・・・ZACB=ZD,

■:BC=BD,

：.ZBCD=ZDf

：.ZACD=ZACB+ZBCD=2N。，

VZACZ)+ZD+ZA=180°,ZA=81°,

/.2ZD+ZD+810=180°,

，NO=33°,

：.ZBCD=ZD=33°,

AZABC=ZBCD-^ZD=66°.

5.(2023秋•武侯区校级期中)如图，团A5CD中，AE_LBC于点点厂在3C的延长线上，且C尸=8。

连接AC,DF.

(1)求证：四边形AE尸。是矩形：

(2)若/ACQ=90°,AE=4,CF=3,求=~/的值.

^ADFC

【分析】(1)先证明四边形AEFO是平行四边形，再证明/AEF=90°即可;

(2)根据矩形的性质和相似三角形的判定和性质解答即可.

【解答】(1)证明：：

CF+EC=BE+EC.

即EF=BC.

在12ABe。中，AD//BCS.AD=BC,

.♦.AO〃所且AO=EF.

四边形AEFD是平行四边形.

'：AE±BC,

：.ZAEF=90°.

...四边形AEED是矩形；

(2)解：：四边形AEED是矩形，

ZAEC=ZDFC=90°,AE=DF=4,

：.ZEAC+ZECA=90°,

VZACD=90°,

：.ZECA+ZDCF=90°,

：.ZEAC=ZDCF,

：.AAECs^CFD,

•AE=CF=2

"ECDFT

：.EC=2AE=^-

3

[XAEXEC[x4X孕

.QSAAEC_2_________2316

SACFD^XCFXDF4X3X49

6.（2023秋•浙江期中）如图1,在正方形ABCD中，煦=工，F为BE上的一点，连结CF并延长交48

DE2

于点M,作MNLCM交边A。于点N.

(1)当尸为BE中点时，求证：AM=2CE-,

(2)如图2,若里=2,求迪的值.

BF3ND

图1图2

【分析】（1）如图1中,证明△BEMg/iiEFC（ASA）即可解决问题.

（2）如图2中，由4B〃C。，推出眼用1=2,设CE=2k,则BM=3G,推出CO=A8=4比证明△

BMBF3

AMNsABCM,可得期可得AN=3k，ND=—k,由此即可解决问题.

BMBC222

【解答】（1）证明：如图1中,

•..四边形A8CO是正方形,

：.AB=CD,AB//CD,

：.ZMBF=ZCEF,

"：BF=EF,ZBFM=ZCFE,

:.△BFM名AEFC(ASA),

:.BM=CE,

..CE=1

,DE5，

2

(2)解：在正方形ABC。中，AB//CD,

ZFMB=ZFCE,ZFBM=ZFEC,

.•.△FBMsAFEC,

•.•EC—EF二2一,

BMBF3

设CE=2k,则比

..CE=1

,DE5，

:.DE=4k,

：.CD=AB=4k,

J.AM^AB-BM=3k,

,:MNLCM,

：.ZNMC=90°,

：.ZAMN+ZBMC^90°,

'：ZA+ZABC=90°,

:.NAMN+NANM=90°,

ZBMC=/ANM,

：.LAMNs^BCM,

.ANAM1

•.----=-----—,

BMBC2

;.AN=3k，

2K

J.ND^AD-AN=—k,

2

3k

.AN_2\1

"ND

7k

7.(2023秋•天宁区校级期中)如图，在平面直角坐标系中，A(—2，0)，B(0,3),点C在x轴上，且

4

△AOBs^BOC.

（1）求C点坐标、NABC的度数；

（2）在线段AC上是否存在点M,使得以线段8/为直径的圆与边BC交于P点（与点8不同），且以

点P、C、。为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

备用图

【分析】（1）由△AOBS^BOC,根据相似三角形的对应边成比例，求出OC的长度，得出C点坐标；

根据相似三角形的对应角相等得出/O4B=NO8C,从而得出NABC=90°；

（2）如果以点尸、C、。为顶点的三角形是等腰三角形，那么分三种情况讨论：①CP=C。；②PC=PO；

③OC=OP.针对每一种情况，都应首先判断M点是否在线段AC上，然后根据相似三角形的对应边成

比例求出点M的坐标.

【解答】解：（1）由题意，A（-.0），B（0,3）,

4

：.OA=^-,08=3,

4

,/△AOBs^BOC,

：.ZOAB^ZOBC,

•OA=OB

"OROC

9

.T_3

••--------,

3OC

OC=4,

：.C(4,0)；

：.ZOAB+ZOBA=90°,

；./OBC+/OBA=90°,

：.ZABC=90°；

(2)设M(m,0),

①如图1,当CP=C。时，点尸在为直径的圆上,

为圆的直径，

ZBPM=90°,

图1

：.PM//AB,

CM：CA=CP：CB,

CM：6.25=4：5,

:.CM=5,

.*.m=4-5=-1,

.,.点w的坐标为（-1,0）；

②如图2,当PC=P。时，点尸在为直径的圆上，且点尸在OC垂直平分线上,

.•.PC=_1BC=2.5,

2

•.,BM为圆的直径，

ZBPM=90°,

J.PM//AB,

：.CM=^-AC=—,

28

...点M的坐标为（［，0）；

8

③当0c=。尸时，M点不在线段AC上.

综上所述，点M的坐标为（工，0）或（T,0）.

图2

8.（2023秋•卫辉市期中）如图，在正方形ABCZ）中，在BC边上取中点E,连接DE,过点E作

交AB于点G、交D4延长线于点E

（1）求证：AECDs^DEF；

(2)若CQ=4,求AF的长.

【分析】（1）根据正方形的性质得出NFEZ）=/C=90°,BC//AD,根据平行线的性质得出NCE£>=N

FDE,再根据相似三角形的判定得出即可；

（2）根据正方形的性质得出NC=90°,AD=BC=CD=4,求出CE,根据勾股定理求出DE,根据相

似得出比例式，代入求出即可.

【解答】（1）证明：：在正方形ABC。中，EF±ED,

：.ZFED=ZC=90°,

'JBC//AD,

：.ZCED=ZFDE,

:.丛ECDs丛DEF；

(2)解：：四边形ABCQ是正方形，

；.NC=90°,AD=BC=CD=4,

「E为BC的中点，

；.CE=0.52C=2

在RtZXDCE中，

由勾股定理得：DE1=CE2+DC2=22+42=20,

■:AECDs/\DEF,

：.CE：DE=DE：DF,

：,2：DE=DE：DF,

2DF=DE2,

解得：DF=10,

VAD=4,

：.AF^DF-AD^10-4=6.

9.（2023秋•西安期中）如图，在菱形ABC。中，对角线AC,8。相交于点O,EBLAB,垂足为点2,交

AC于点E.

⑴求证:

(2)若AE=6,AB=5,求EC的长.

【分析】（1）根据菱形的性质得到ACLBD,AB=BC,证明△EOBs^EBA,根据相似三角形的性质证

明即可；

（2）证明根据相似三角形的性质求出。4,根据菱形的性质计算即可.

【解答】（1）证明：•••四边形ABC。为菱形，

：.AC±BD,AB=BC,

\'EB±AB,

：.ZEOB=ZEBA,

'：ZOEB=ZBEA,

:.AEOBs^EBA,

•OE=BE

"OBAB'

"：AB=BC,

.OE=BE.

*'0BBC'

（2）解：VZAOB=ZABE=90°,ZOAB=ZBAE,

：.AAOBsAABE,

.OA=AB

"ABAE'

VAE=6,AB=5,

•.•-0-A_-5,

56

解得：。4=至，

6

：.EC=2OA-AE=^--6=工.

33

10.（2023秋•宝山区期中）如图，在四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点E,ZBAC=ZBZ）C=90°.（1）

求证：AABEs"DE；

（2）如果坦求也迦的值.

BC4SABCE

A

D

/E

BC

【分析】(1)根据两组角对应相等的两三角形相似；

(2)利用相似三角形面积比等于相似比的平方即可求解.

【解答】(1)证明："：ZBAC=ZBDC=90°,

又：ZAEB=ZDEC,

：.LABEsADCE；

(2)解：VAABE^ADCE,

.AEBE

••--二-，

DECE

,/ZAED=ZBEC,

：./\AED^/\BEC,

.ADV5

••---------,

BC4

•SAADE5

••-•

^ABCE16

11.(2023秋•罗湖区校级期中)在锐角三角形ABC中，点。、£分别在边A3、AC上，AFLBC于点尸,

AG_LZ)E于点G,ZBAF=ZEAG.

(1)求证：AABCsAAED；

(2)若AB=5,AG=2,EG=1,求AF的长.

【分析】(1)根据等角的余角相等证明即可解决问题；

(2)由△A3PSZV1EG,得生1=金殳，然后根据勾股定理求出AE,进而即可解决问题.

AGAE

【解答】(1)证明：AF±BC,

：.ZAFB=ZAGE=90°,

,:NBAF=NEAG,

：.ZAED=ZABC,

'：ZEAD=ZBAC,

：.△age；

（2）解：由（1）可知：ZAFB=ZAGE=90°,

■:NBAF=NEAG,

：.AABF^AAEG,

.AF=AB

AGAE"

\'AB=5,AG=2,EG=1,AG±DE,

AE=VAG2+EG2=722+12=烟，

.AF_5

FF

：.AF=2yf5-

12.（2023秋•丹阳市期中）如图，在团ABC。中，E为A8边的中点，对角线AC、BD交于点O.连接。E

交AC于点况且0尸=2.

（1）求对角线AC的长度；

（2）若△&£）尸的面积为4,求四边形E8CF的面积.

【分析】（1）回ABC。中，对角线AC、8。交于点O,则。4=OC,由于E为AB边的中点，可得EO是

△A8O中位线，从而。E〃A。且AZ）=2OE,列比例式即可解决；

（2）根据同高三角形面积之比等于底的比，主要利用由（1）得OF：AF=1：2和平行四边形两对角线

相交分的四个三角形面积相等即可解决.

【解答】解：（1）:在忸4BCD中，对角线AC、2。交于点O,

：.OA=OC,OB=OD,

为AB边的中点，

.♦.EO是△A3。中位线，

OE//AD且AD=2OE,

.OEOF=1

"AD"AFT

OF=2.

：.AF=4,

：.AO^FO+AF^6,

：.AC=2OA=12；

(2)由(1)知OF：AF=1：2,

SAADF：S/\DOF=OF：AF=1：2,

-^-S^ADF=S/^DOF9

2

;△A。尸的面积为4,

••S/\DOF~2,

SAAOD=S/^ADF：+5/\。。/=4+2=6,

由于在重45。。中，对角线AC、BD交于点、O,

**•S/^ABC=2S^AOD=12,

由(1)知OE〃AD,

•.O.—FE——F=1一,

AFDF2

/.S/\ADF：S^AEF=DF：EF=2：1,

=2

.,.SAA£F=-j-SAADF>

四边形EBCF的面积=SAA5C-SMEF=12-2=10.

13.(2023秋•城关区校级期中)如图，DE//BC,且NABE=NC

(1)求证：AE1=AD*AB；

(2)如果AE=4,BD=6,求AD

【分析】（1）易证△ABEs/XACB,以此得到AC=屈一，易证△ADEs/^ABC,得到坦将AC

AEABAC

=A欧代入整理即可得到所证结论；

AE

（2）由8。=6,可得AB=6+A。，结合（1）中的结论可得关于40的一元二次方程，求解即可.

【解答】（1）证明：/A=NA,

...△ABEs/\ACB,

•••A-E二AB1，

ABAC

,:DE〃BC,

：.△ADEs△ABC,

•••-A-D--A-E-,

ABAC

.AD_AE

.演至，

AE

整理得：AE1=AD-AB；

(2)解：,：BD=6,

，AB=BD+AD=6+AD,

由(1)知，AE2=AD*AB,

：.42^AD(6+AD),

解得：A£>=2或A£>=-8(不合题意，舍去)，

：.AD=2.

14.(2023秋•高新区校级期中)如图，RtZxABC的两条直角边4B=4cm,AC=3C7W,点。沿AB从A向8

运动，速度是1cm/秒，同时，点E沿BC从8向C运动，速度为2的/秒.动点£到达点C时运动终止.连

接。E、CD、AE.

(1)当动点运动时间1=空或色秒时，△3DE与△ABC相似.

-13-7-

(2)在运动过程中，当CCDE时，r为何值？请说明理由.

C

【分析】设。点运动时间为r秒，则秒，BD=(4-t)秒，8E=2f秒，CE=(5-2力秒(OWr

W$)；

2

(1)分类：当NBDE=NBAC,即EZ)_LAB时，RtABOE^RtABAC；当NBDE=/BCA,BPDELBC

时，RSDEsRdBCA,然后分别根据三角形相似的性质得到比例线段求出,的值；

(2)先计算出。F=A8-A。-若CD_LDE,则易证得RtZVLCOsRtZiQE,然后根据三角形相似

的性质得到比例线段求出t.

【解答】解：设。点运动时间为f秒，则AD=f秒，BD=(4-力秒，2E=2f秒，CE=(5-2力秒(0

2

(1)当NBDE=/BAC,即即_LAB时，RtABDE^RtABAC,

：.BD：BA=BE：BC,即(4-f)：4=2f：5,

•.•l--2-0-;

13

当NBDE=NBCA,即OE_LBC时，RtABDE^RtABCA,

：.BD：BC=BE：BA,即(4-r)：5=2t：4,

・L8

••l——;

7

所以当动点运动致秒或反秒时，△BOE与AABC相似;

137

故答案为：型或S；

137

(2)当CD_LOE时，t=2秒.理由如下：

13

DF=AB-AD-BF=4-t--=4-—t,

55

\'CD±DE,

：.ZCDE=90°,

：.ZZADC+ZEDF=90°,

VZBAC=90°,

：.ZADC+ZACD=90°,

/.ZACD=ZFDE,

:NCAD=NDFE,

：.RtAACD^RtAFDE,

：.AC：DF=AD：EF,即3：(4-基力=t：弛,

55

15.(2023秋•拱墅区校级期中)如图，在四边形A8CD中，AC平分/D48,AC2=AB'AD,ZADC=9Q°,

点E为AB的中点.

(1)求证：

(2)若A£>=2,AB=3,求处的值.

AC

【分析】(1)根据角平分线的定义得到/ZMC=/CA8,根据相似三角形的判定定理证明；

(2)根据相似三角形的性质得到NACB=/ADC=90°,根据直角三角形的性质得到CE=A£,根据等

腰三角形的性质、平行线的判定定理证明CE〃A。，然后根据平行线分线段成比例定理即可解决问题.

【解答】(1)证明：平分

:.NDAC=/CAB,

•：AC2=AB-AD,

.AC=AD

"ABAC"

AADC^AACB；

(2)解：由(1)知：AADC^AACB,

/.ZACB=ZADC=90°,

•..点E为AB的中点，

：.CE^AE^—AB=—,

22

：.ZEAC=ZECA,

：.NDAC=ZEAC,

：.ZDAC=ZECA,

：.CE//AD,

3_

.CF=CE=7=2

ADT

•AF=1

*'AC7'

16.(2023秋•梁溪区校级期中)如图，已知AB〃CF,点。是AB上一点，OE交AC于点E,MDE=FE.

(1)求证：AADE2ACFE；

(2)若AB=7,CP=4,求3。的长.

D

BC

【分析】(1)利用角角边定理判定即可；

(2)利用全等三角形对应边相等可得AO的长，用A8-AO即可得出结论.

【解答】(1)证明：

：./A=NECF,NADE=/F,

在△ADE和△0?£■中，

，ZA=ZECF

"ZADE=ZF-

DE=FE

:.△ADEgACFE(AAS)；'

(2)解：由(1)知，AADE^ACFE,

：.AD=CF=4,

'：AB=1,

J.BD^AB-AD=1-4=3.

17.(2023秋•鹿城区校级期中)如图，点E是矩形ABC。的边CB上的一点，AfUZJE于点R

(1)求证：△AFDsXDCE.

【分析】(1)根据四边形ABC。是矩形可得出NAOC=NC=90°,再根据相似三角形的判定定理可得

出由相似三角形的对应边成比例即可得出结论；

(2)由矩形的性质可得出DC的长及/A£>C=/C=90°,利用勾股定理可求出。E的长，由垂直的定

义可得出NAFD=NC,利用同角的余角相等可得出NEDC=/IMF进而可得出△EDCs再利

用相似三角形的性质可求出DF的长度.

【解答】(1)证明：•••四边形ABC。是矩形，

AZADC=ZC=90",

/.ZADF+ZCDE=90°,

'：AF±DE,

：.ZAFD=ZDAF+ZFDA=90°,

：.ZFAD=ZCDE,

又•.•/C=/Af7)=90°,

LAFDs4DCE；

(2)解：：四边形A2CZ)是矩形，

：.DC=AB=4fZADC=ZC=90°.

•；CE=L

==22

•••DFVDC-K：E="+]2=V17.

'：AF±DE,

ZAFD=90°=ZC,ZADF+ZDAF=90°.

又,

ZEDC=ZDAF,

:.AEDCsADAF,

•AF=AD

"DCDE

.AF_2

.丁后

迎

17

即AF的长度为WH.

18.(2023秋•秦都区校级期中)如图，在菱形ABC。中，连接AC,“为边AB延长线上一点，连接。H,

分别交对角线AC、边8C于M、C两点，连接BM.

(1)求证：/CBM=NCDM；

(2)若DM=2娓,MG=2,求的长.

【分析】(1)根据菱形的性质判定可得/1=/2,AD=BC,则即可得结论;

(2)结合(1)的结论证明利用相似三角形的判定和性质即可得结论.

【解答】(1)证明：在菱形ABC。中，连接AC,

.\Z1=Z2,AD^BC,

又；CM=CM,

:.ACDM咨4BCM(SAS),

J.ZCBM^ZCDM；

(2)解：在菱形ABC。中,

：.CD//AH,

：.ZH=ZCDM,

由(1)知△COMg/kBCM,

ZCBM=ZCDM,DM=BM=2a,

：.ZH=ZCBM,

又；ZBMG=HMB,

，丛BMGs丛HMB,

.BM_MG

"MH"BM'

.啦__2

MH273

解得：MH=6.

19.(2023秋•裕华区月考)如图所示，延长平行四边形A8CD一边BC至点尸，连接AP交于点E,若

-D-E-二—1.

CE3

(1)求证：AADEs^FBA；

(2)若BC=3,则CB的长9.

【分析】（1）利用平行四边形的性质可以证明△AOESZXFBA；

（2）结合（1）利用相似三角形的性质和已知条件即可求解.

【解答】（1）证明：•••四边形ABC。为平行四边形，

J.AD//BF,AB//CD,AD=BC,

：./1ADE^/\FCE,△尸ECs△物B,

AADE^AFBA；

（2）解：VAADE^^FCE,

.AD=DE

"CFCE'

..DE=1

,CE3"

：.CF^3AD^3BC,

,:BC=3,

；.CF=9,

故答案为：9.

20.（2023•石城县模拟）如图，AE平分。为AE上一点，/B=/C.

（1）求证：LABE-"CD；

（2）若。为4E中点，BE=4,求C。的长.

【分析】（1）根据角平分线定义可得/B4E=NCAZ）,进而可以证明结论；

（2）结合（1）,根据相似三角形的性质即可求解.

【解答】（1）证明：平分/54C,

：.ZBAE=ZCAD,

'：ZB=ZC.

：.AABEsAACD；

（2）解：:•。为AE中点，BE=4,

：.AE^2AD,

AABE^AACD,

.BE=AE

"CDAD'

.4=2AD

"CD而，

:.CD=2.

21.（2023秋•朝阳期中）如图，在△ABC中，D、E分别在AC、AB上，AG_LBC于点G,于点R

ZEAF=ZGAC.

（1）求证：AADEsAABC.

（2）若AZ）=5,AB=I,求变的值.

GC

【分析】（1）根据等角的余角相等证明NAEO=/ACB,即可解决问题;

(2)由△ADEs/vlBC,推出处望_,可得处=旦，再证明△£AFsZ\c4G,可得空望＞,由此即

ACABAC5GCAC

可解决问题.

【解答】(1)证明：VAGXBC,AFLDE,

：.ZAFE^ZAGC^90°,

'：ZEAF=ZGAC,

：./AED=ZACB,

'：ZEAD=ZBAC,

：./\ADE^/\ABC.

(2)解：由(1)可知：AADE^AABC,

•.•-A-E-=AD一,

ACAB

\'AD=5,AB=7,

•.•-A-E--5-,

AC7

由(1)可知：ZAFE=ZAGC=90°,

NEAF=NGAC,

:.△EXFsXChG,

.EFAE

••—,)

GCAC

•EF

"GC7'

22.(2022秋•内江期末)如图，已知△ABC中，AB=AC,点。、E分别在边BC、AC上，/ADE=NB.

(1)求证：AABDs^DCE；

(2)若AB=5,BC=6,BD=2,求点E到BC的距离.

【分析】（1）由等腰三角形的性质可得/B=/C,由外角的性质可得/血。=/。£,可得结论;

（2）由相似三角形的性质可求解.

【解答】（1）证明：

.*.ZB=ZC,

ZADC=NB+NBAD=ZADE+ZCDE,

：.ZBAD=ZCDE,

：.AABDsADCE；

(2)如图，过点A作AHLBC于H,过点E作EMLBC于Af,

'：AB^AC,AHLBC,

:.BH=CH=3,

AH=^AB2-BH2=V25-9=4,

,:BD=2,BC=6,

：.DC=A,S^ABD=—XBD'AH=4,

2

,/4ABDs/\DCE,

.SAABD_（里）225

S/kCDECD16

/■SACD£=—,

25

二工X4XEM=挺，

225

25

23.(2023秋•泗水县期中)如图，AB为(DO的直径，射线AC交。。于点C,平分/CA8交。。于点。,

过点。作直线。ELAC于点E,交A3的延长线于点f连接并延长交AC于点

(1)求证：直线。E是。。的切线；

(2)若/歹=30°,施=愿，求。M的长.

M

E

Ar0jBF

【分析】（1）连接OD,根据等腰三角形的性质得到NOZM=NOAD,根据角平分线的定义得到

=ZDAC,证明OD〃AC,根据平行线的性质得到。ELOD,根据切线的判定定理证明即可；

（2）根据题意求出NKDE=30°,根据含30°角的直角三角形的性质计算，得到答案.

【解答】（1）证明：连接。£>,

'：OD=OA,

：.ZODA=ZOAD,

,.ND平分NCAB,

：.ZOAD=ZDAC,

：.ZODA=ZDAC,

J.OD//AC,

\'DE±AC,

：.DE.LOD,

是。。的半径，

直线QE是。。的切线；

（2）解：是。。的直径,

ZADB=9Q°,

由（1）可知：OD〃AC,ZODF=ZAED=90°,

VZF=30°,

：.ZBAM=ZFOD=60°,

"：OB=OD,

.•.△080=60°,

ZBAM^ZABM=ZM=60°,

...NMDE=30°,

：.DM=2ME=243.

M

E

—F

24.(2023秋•祁阳县期中)如图，在△ABC中，/B=NC,点P从B运动到C,且

(1)求证：AB-CD=CP・BP；

(2)若AB=6,BC=10,求当8尸长为多少时，PD//AB.

【分析】(1)先根据得出NB=/AP。，证明NOPC=N54P,得出△ABPs/^pc。，根据相似三角形性

质得出坐营，即可证明结论；

CPCD

(2)根据平行线的性质得出NBAP=/APD=NC,证明△BAPS/XBCA,得出组典，根据AB=6,

BCAB

BC=10,求出BP二^,即可得出当BP3■时，PD//AB.

55

【解答】(1)证明：,・・N5=NC,ZAPD=ZC,

：.NB=NAPD,

*.•ZAPC=NAPD+NDPC,ZAPC=/B+NBAP,

：.ZDPC=ZBAP,

：.ZkA8尸s△尸co,

・

••—AB二BP，,

CPCD

：.ABCD=CPBP.

(2)解：如图，PD//AB,

:・/BAP=/APD=/C,

又•：/B=/B,

:ABAPsABCA,

・AB_BP

••—二一，

BCAB

VAB=6,BC=10,

•.•--6"-B-P-,

106

BP喈,

b

即当BP亭■时，PD//AB.

25.(2023秋•普陀区期中)如图，在四边形ABC。中，对角线AC、2。相交于点E,过点E作A。的平行

线FG,分别交AB、0c于点八G,且空口■.

FBGC

(1)求证：EG//BC；

(2)如果EP=2,A£)=3,求BC的长.

【分析】（1）由平行线分线段成比例可得理_=坐，可得坐=空，可得结论;

GCECECBF

（2）通过证明△EFBS/VDAB,可得甄=度，可求空」，即可求解.

ADABAB3

【解答】（1）证明：

.DG=AE

"GC而’

.•.-A-F-二-D--G，

BFGC

.AE=AF

"EC而'

:.EG〃BC；

⑵解:'：FG//AD,

:.丛EFBs丛DAB,

.EF=BF

ADAB'

\"EF=2,AD=3,

•.•-B-F_-2,

AB3

•.•AF1

AB3

U：FG//AD,

AAEF^AACB,

•.•-A-F-=EF一,

ABBC

•.•-1_--2,

3BC

：.BC=6.

26.（2023秋•商水县期中）转化是解决数学问题常用的思想方法之一，它可以在数与数、数与形、形与形

之间灵活应用.如图1,已知在RtZXABC中，乙48c=90°,BC=8,AB=6.请解答下面的问题：

观察猜想：（1）如图1,将△ABC绕点C按顺时针方向旋转60°得到连接则的形

状是等边三角形；

探究证明：（2）如图2,点、D,E分别是边BC,AC的中点，将△COE绕点C按顺时针方向旋转60°得

到△CA/N,连接MB,AN.

①求证：△ACNs/\BCM；

②求4V的长.

【分析】（1）如图1,根据旋转的性质得到CM=CB,ZBCM=60°,则根据等边三角形的判定方法可

判断△BCM为等边三角形；

（2）①由于点。，E分别是边BC,AC的中点，所以生=型，再根据旋转的性质得到CN=CE,CM

CACB

=CD,ZACN=ZBCM=60°,所以型=&丛，从而可判断△ACNs/iBCAf；

CACB

②先利用勾股定理计算出AC=10,则CN=CE=5,过N点作NHLAC于//点，如图2,利用含30度

角的直角三角形三边的关系得到CH=a,人发=显巨，然后在RtAANH中利用勾股定理可计算出AN

22

的长.

【解答】（1）解：如图1,「△ABC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△阚（7,

：.CM=CB,ZBCM=60°,

...△BCM为等边三角形；

故答案为：等边三角形；

（2）①证明：丁点E分别是边BC,AC的中点，

.CE=CD

"CACB'

ACDE绕点C按顺时针方向旋转60°得到

：.CN=CE,CM=CD,/ACN=NBCM=60°,

.CN=CM

"CACB'

ZACN=ZBCM,

：.4ACNsABCM；

②；NABC=90°,2C=8,AB=6,

4C=针+§2=10,

：.CN=CE=5,

过N点作NHLAC于H点，如图2,

在RtZXCNH中，

'：ZNCH=60°,

:.CH=LCN="

22

NH=y/3CH=,

2

：.AH=AC-CH=^-,

2

在RtZXAMZ中，所而m+AH2T（呼）2+（号）2=5相.

27.(2023秋・金堂县期中)在菱形48。中,备为对角线,£、E分别为8。、。(7边上的点,且/£庆「='/8，D，

射线AE交DF的延长线于点G,射线AF交BE的延长线于点H.

(1)求证：AF2=FC'FG；

(2)若AF=3,C尸=1,AG=10,求CH的长.

AD

【分析】(1)先根据菱形的性质得到NAa>=上/2C。，再利用/胡歹=2/2。£)得到/ACD=NEAR

22

则可判断△MCszXFGA,然后利用相似三角形的性质得到结论；

(2)由(1)的结论可计算出尸G=9,贝!ICG=8,再利用△E4CsZ\f'GA得到NE4C=NG,空■二空,

AGAF

则可求出AC=」2,接着证明△AC8S^GC4,然后利用相似比可求出C8的长.

【解答】（1）证明：•.•四边形ABCZ）为菱形,

ZACB^ZACD,

即ZACD^-^-ZBCD,

2

'：ZEAF=—ZBCD,

2

：.ZACD=ZEAF,

VZAFC=ZGFA,ZFCA=ZFAG,

:.△FXCs△FGh,

：.AF-.FG=CF-.AF,

：.AF2^FC*FG；

（2）解：-：AF1^FC-FG,

：.32=IXFG,

：.FG=9,

：.CG=8,

VAMC^AFGA,

解得AC=此，

3

•..四边形ABC。为菱形，

ZDAC^—ZBAD,ZBAD=ZBCD,

'：ZEAF=^-ZBCD,

2

：.ZEAF=ADAC,

：.ZDAH^ZCAG,

'：AD//BC,

ZDAH=ZH,

：.ZCAG=ZH,

'：ZH=ZCAG,ZHAC=ZG,

：.AACH^AGCA,

10

,・◎=蚂，即生=3：,

ACCG犯8

3

28.（2023秋•闵行区期中）如图，在梯形ABC。中，AD//BC,/。。2=90°,点E是边AB的中点，连接

DE,延长。E交C2的延长线于点RNCBA=2NF,且AC=BC.

（1）求证：△FBEs^EFC；

【分析】（1）由条件可证明研）g/YBER可得E为DP的中点，由直角三角形的性质可知跖=EC,

可得到/尸=ZFEB=NECF,可证明△f'BEs/\EFC；

（2）根据（1）的过程及条件可求得//=/a