2024-2025学年人教版九年级数学上册同步练习：与旋转有关的计算（30题）（解析版）

专题第01讲与旋转有关的计算

1.（2023春•秦都区期末）如图，△ABC是等边三角形，点E在AC边上，连接BE,将BE绕点B逆时针

旋转60°得至UBD,连接DE、AD.

（1）求证：AD=CE；

（2）若BC=8c〃z,BE=lcm,求△AOE的周长.

D__A

BC

【分析】（1）利用等边三角形的性质和判定和旋转的性质，证明即可得解；

（2）由BC=8c〃z,BE=lcm,结合（1）的结论，等线段转化，得到△AOE的周长.

【解答】（1）证明：；△ABC是等边三角形，

：.BC=BA,ZABC=60°.

：2D是由BE绕点B逆时针旋转60°得到，

：.BD=BE,/班£）=60°,

...△BDE是等边三角形，

：.ZCBE=AABD,

:.ACBE咨AABD（SAS）,

：.AD=CE；

（2）解：:△ABC和△BE。都是等边三角形，

.".AE+AD—AE+CE—AC—BC—Scm,DE—BE—1cm,

：.AADE的周长为AD+AE+DE=8+1=15cm.

2.（2023春•北林区期末）如图，在正方形A8CD中，E,尸是对角线3。上两点，且NEAP=45°,将4

尸绕点A顺时针旋转90°后，得到△AB。，连接E。.

（1）求证：EF=EQ；

（2）求证：EF2=B£2+DF2.

【分析】（1）直接利用旋转的性质得出AAOE丝ZVIFE（SAS）,进而得出乙4£。=NAER即可得出答

案；

(2)利用(1)中所求，再结合勾股定理得出答案.

【解答】证明：(1)：将△ADP绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ,

:.QB=DF,AQ^AF,ZBAQ^ZDAF,

VZ£AF=45°,

AZDAF+ZBAE^45Q,

.,.NQ4E=45°,

：.ZQAE=ZFAE,

在△AQE和△APE中

'AQ=AF

<ZQAE=ZFAE«

AE=AE

A/\AQE^AAFE(SAS).

：.EF=EQ；

(2)由(1)得△AQEr乌△ABE,

：.QE=EF,

由旋转的性质，得NAB。=NADE

ZADF+ZABD^90°,

贝(jNQ8E=/ABQ+NA8£)=9(r,

在Rt/XQBE中，

QB2+BE2=QE2,

又,：QB=DF,

：.EF2=BE2+DF2.

3.(2022秋•同心县期末)如图，八钻。是等边三角形，点。在AC边上，将△BCD绕点C旋转得到△ACE

(1)求证：△(7£)£是等边三角形；

(2)若48=8,80=7,求△AOE的周长.

BK------------------七

【分析】(1)由旋转的性质可得CD=CE,ZACB=ZACE=60°,可得NCDE=60°=ZACB,可证

DE//BC；

(2)由旋转的性质可得AE=8O=7,即可求的周长.

【解答】(1)证明：:△ABC是等边三角形，

：.AB=BC=AC,ZACB=6Q°,

•.,将△BCD绕点C旋转得到

：.CD=CE,ZACB=ZDCE=6Q°,

...△cr也是等边三角形；

(2)解：：将△BCD绕点C旋转得到△ACE.

；.AE=BD=7,

,/AADE的周长=AE+D£+A£)=AE+r)C+A£)=AE+AC,

AADE的周长=7+8=15.

4.(2023春•清远期末)如图，在△ABC中，点E在BC边上，AE=AB,将线段AC绕A点旋转到AF的位

置，使得/CAF=/8AE,连接EF,EF与AC交于点G.

(1)求证：BC=EF；

(2)若/ABC=64°,ZACB=25°,求/AGE的度数.

【分析】(1)由旋转的性质可得AC=AR利用SAS证明AABC之根据全等三角形的对应边相等

即可得出EF=BC；

(2)根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出/BAE=180°-64°X2=52°,那么NE1G=

52°.由△ABCg/XAEF,得出/b=/C=25°,再根据三角形外角的性质即可求出/AGE=NR7C=

ZFAG+ZF=77°.

【解答】(1)证明：

：.ZBAC=ZEAF.

•.•将线段AC绕A点旋转到AF的位置，

：.AC=AF.

在△ABC与△AEP中，

'AB=AE

<ZBAC=ZEAF>

AC=AF

.♦.△ABCdAEF(SAS),

:.BC=EF；

⑵解：'JAB^AE,ZABC=64°,

：.ZBAE=180°-64°X2=52°,

:./FAG=/BAE=52°.

△ABC四△AEF,

：.ZF=ZC=25°,

：.ZFGC^ZFAG+ZF^52°+25°=77°,

AZAGE=11°.

5.(2023春•白银期中)如图，在四边形ABC。中，NBCD=12Q°,BC=CD,ACLLB。，点E在对角线

BD上,将线段CE绕点C顺时针旋转120°,得到线段CR连接。?

(1)求证：BE=DF；

(2)若EB=EC,求证：ACLCF.

【分析】(1)首先根据旋转的性质得到N3C£)=NEC尸=N120°,CE=CF,然后证明出△BEC0ZXOf'C

(SAS),即可得到8E=DF；

(2)根据等边对等角得到NCBO=NCOB,然后利用全等三角形的性质得到/CDP=NCBD,进而证明

CF//BD,最后利用平行线的性质求解即可.

【解答】证明：(1)由旋转性质得：NBCD=/ECF=120°,CE=CF,

：.ZBCE=ZDCF,

又；BC=CD,

:.△BEC%ADFC(SAS),

；.BE=DF；

(2)'：BC=CD,

:.NCBD=NCDB,

若EB=EC,则ZCBD=ZBCE=ZCDB,

Y△BE8ADFC(SAS),

：.ZCDF=ZCBD,

：.ZDCF=ZCDB,

J.CF//BD,

'：ACLBD,

：.AC±CF.

6.(2023春•南城县期中)如图，点。是等边三角形ABC内一点，将C。绕点C顺时针旋转60°得到C£),

连接。£),AO,BO,AD.

(1)求证：BO-AD-,

(2)若OA=10,OB=8,OC=6,求/BOC的度数.

【分析】(1)由旋转的性质就可以证明△SCO四△AC。；

(2)先证出△OCQ是等边三角形，又根据△8CO0ZXACZ),得出AO=OB=8,ZBOC=ZADC,再根

据勾股定理的逆定理得出/4。0=90°,等量代换得出NBOC=150°.

【解答】(1)证明：：C。绕点C顺时针旋转60°得到CD,

：.CO=CD,ZOC£>=60",

•：AABC是等边三角形，

：.CA^CB,/BCA=NOC£)=60°,

：.ZBCA=ZOCD,ZBCO=ZACD,

在△BCO和△ACD中，CA=CB,NBCO=NACD,CO^CD,

：./\BCO^/\ACD(SAS),

：.BO=AD.

(2)解："：CO=CD,ZOCD=60°,

.♦.△OCO是等边三角形，

：.OD=OC=6,ZODC=60°,

VABCO^AACD,

；.Ar>=0B=8,ZBOC^ZADC,

'：0A=10,

：.OA^=AD2+OD1,

：.ZADO=90°,

.•.NADC=/AOO+NODC=90°+60°=150°,

：.ZBOC=ZADC=150°.

7.(2023春•罗源县校级期中)如图，先将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△DEC,再将线段QE绕点

。顺时针旋转90°得到。G,连接BE、BG、AD,且AC=4.

(1)若NABC=135：B、E、。三点在同一条直线上，求BG的长；

(2)若/ABC=90°,AC=2CE,点P在边A8上，求线段尸。的最小值.

【分析】(1)由旋转的性质可得NACZ)=90°=ZBCE,AB=DE,BC=CE,AC=CD,ZABC=ZDEC

=135°,由等腰三角形的性质可得NBEC=45°=ZCBE,可证/BEC+/CED=180°,通过证明四边

形ABDG是矩形，可得AZ>=2G,由等腰直角三角形的性质可求解；

(2)由垂线段最短可得当时，P。的长度有最小值，先证点P,点E,点。三点共线，由勾股

定理可求。E的长，由正方形的性质可得BC=PE=2,即可求解.

【解答】解：⑴如图，连接AG,

A

'：将aABC绕点C顺时针旋转90°得到△DEC,

[△ABC空ADEC,ZACD^90°=NBCE,

：.AB=DE,BC=CE,AC=CD,

ZABC=ZDEC=135°,

AZBEC=45°=ZCBE,

：.ZBEC+ZCED=lSOa,

：.B.E、。三点共线；

；将线段DE绕点D顺时针旋转90°得到DG,

：.DE=DG,ZEDG=90°

：.AB=DE=DG,

'：ZABE=ZABC-ZCBE^90°,

/.ZABE+ZEDG=180°,

：.AB//DG,

四边形ABDG是平行四边形，

又：/8OG=90°

四边形ABDG是矩形，

：.AD=BG,

'：AC=CD=4,ZACD=9Q°,

.*.AD=V2AC=4V2>

BG=4M；

(2):点尸在边AB上，

，当PD±AB时，PD的长度有最小值，

由旋转的性质可得：

ZABC=ZCED=ZBCE=90°,

J.BC//DE,

VZABC+ZBP£>=180°,

C.DP//BC,

点尸，点E,点。三点共线，

'：AC=2CE,

:.BC=CE=2,

又；NABC=NBPE=/BCE=9Q°,

四边形8PEC是正方形，

：.BC=PE=2,

'：CD=AC=4,CE=2,ZCED=90°,

•*-D£=VCD2-CE2=V16-4=2V3'

：.DP=243+2,

线段PD的最小值为2愿+2.

8.(2023春•成武县期中)已知△ABCg/XOEC,AB=AC,AB>BC.

F

(1)如图(1),CB平分/AC。，求证：四边形ABAC是菱形；

(2)如图(2),将(1)中的△COE绕点C逆时针旋转(旋转角小于N2AC),BC,OE的延长线相交

于点R用等式表示NACE与NEfC之间的数量关系，并证明.

【分析】(1)根据全等三角形的性质得到AC=DC,根据角平分线的定义得到NOC3=NAC8,证明四

边形A5CO为平行四边形，根据菱形的判定定理证明结论；

(2)根据全等三角形的性质得到NA8C=NOEC,根据三角形内角和定理证明即可.

【解答】(1)证明：VAABC^ADEC,

：.AC=DC,

9：AB=AC,

：.ZABC=ZACB.AB^DC,

TCB平分NAS,

・•・/DCB=NACB,

：./ABC=/DCB,

J.AB//CD,

・・・四边形ABDC为平行四边形，

VAB=AC,

・・・平行四边形A&X?为菱形；

(2)解：ZACE+ZEFC=180°,

理由如下：VAABC^ADEC,

J/ABC=/DEC,

：.ZACB=ZDEC,

VZACB-^-ZACF=ZDEC+ZCEF=180°,

:・/CEF=NACF,

VZCEF+ZECF+ZEFC=180°,

/.ZACF+ZECF+ZEFC=1SO°,

/.ZACE+ZEFC=180°.

9.(2023春•九江期末)如图，在RtZkABC中，ZBCA=90°,将△ABC绕点A逆时针旋转至△ADE处，

分别延长3C与即交于点R连接A尸、CE.

(1)求证：热平分/CFE；

(2)若S四边形AMD=12,AC=4,求CE的长.

【分析】(1)根据旋转的性质知AC=AE,ZACB=ZAED=90°,再利用角平分线的判定可得结论；

(2)根据旋转前后三角形全等可得S四边形4CFE=12,再说明S"c尸=S"E尸=6,则。/=3,最后利用面

积法求出C£的长即可.

【解答】（1）证明：•・•将△A3C绕点A逆时针旋转至△ADE处，分别延长5c与皮＞交于点R

：.AC=AEfZACB=ZAED=90°,

・・・A/平分NCTE；

（2）解：•二S四边形45尸。=12,

S四边形ABFD=S四边形ACFD+SZVIBCM12,

•'•S四边形4。尸片=12,

丁朋平分NCbE,ZACF=ZAEF=90°,

:./CAF=/EAF,

\'AC=AE.

・・・A尸垂直平分CE

・・・CF=EF,

••S/\ACF=S/^AEF=6f

：.CF=3,

在Rt/VICT中，由勾股定理得，A尸=5,

.rF2X1224

AF5

10.（2023春•日于胎县期末）如图，将矩形ABC。绕点C旋转得到矩形PECG,点E在上，延长E£）交

FG于点H.连接BE、CH.

（1）四边形是怎样的特殊四边形？证明你的结论；

（2）若BC长为2,则4B的长为时，四边形BE8C为菱形.

【分析】（1）依据题意可得到FE=A8=QC,ZF=ZEDC=90°,FH//EC,利用平行线的性质可证明

ZFHE=ZCED,然后依据AAS证明△EDC丝由全等三角形的性质可知E〃=EC,由旋转的性

质可得到BC=EC,从而可证明EH=BC,最后依据平行四边形的判定定理进行证明即可；

（2）连接BE.可证明AEBC为等边三角形，贝iJ/A8E=30°,利用特殊锐角三角函数值可得到答案.

【解答】解：（1）四边形BMC是平行四边形.

证明：•..四边形/ECG是矩形，

.'.FG//EC,

：.ZCED=ZEHF,

:四边形FECG是矩形，

：.ZEDC=ZF=90°,DC=FE,

在△EDC和△加E中，

，ZCED=ZEHF

<ZEDC=ZF，

DC=FE

:.二EDC9AHFE(A4S),

:.EH=EC,

,/矩形FECG由矩形ABCD旋转得到，

:.EH=EC=BC,EH//BC,

...四边形BEHC为平行四边形；

(2)当时，四边形是菱形,

连接BE.

•••四边形BEHC为菱形,

：.BE=BC.

由旋转的性质可知BC=EC.

:.BE=EC=BC.

；.AEBC为等边三角形.

/.ZEBC=60°.

：.ZABE=3>0°.

：.AB：BE=M：2.

又,：BE=CB=2,

：.AB=yf3-

故答案为：Vs.

11.（2023春•平山县期末）如图，PQ//MN,A、8分别为直线MN、PQ上两点，且/8AN=45°,若射线

AM绕点A顺时针旋转至AN后立即回转，射线8。绕点8逆时针旋转至8尸后立即回转，两射线分别绕

点A、点8不停地旋转，若射线AM转动的速度是a°/秒，射线8。转动的速度是6°/秒，且。、b满足

\a-5|+(6-1)2=0.(友情提醒：钟表指针走动的方向为顺时针方向)

(1)；

(2)若射线AM、射线8。同时旋转，间至少旋转多少秒时，射线AM、射线8。互相垂直.

(3)若射线AM绕点A顺时针先转动18秒，射线BQ才开始绕点B逆时针旋转，在射线BQ到达BA之

(2)依据乙48。+/区4。=90°,/ABQ+NR4M=180°,即可得到射线AM、射线8。第一次互相垂直

的时间；

(3)分两种情况讨论，依据时，BQ//AM",列出方程即可得到射线AM、射线2。

互相平行时的时间.

【解答】解：Q)|"5|+(6-1)2=0,

•'•a-5=0,b-1=0,

•・1=5,b—\9

故答案为：5,1；

(2)设至少旋转/秒时，射线AM、射线8。互相垂直.

如图，设旋转后的射线AM、射线3。交于点0,则BOLAO,

AZABO+ZBAO=90°,

,:PQ〃MN,

：.ZABQ+ZBAM=1^°,

：.ZOBQ+ZOAM=90°,

又•：/OBQ=t。,ZOAM=5t°,

：.t°+5t°=90°,

.1=15(s)；

(3)设射线AM再转动，秒时，射线AM、射线8。互相平行.

如图，射线AM绕点A顺时针先转动18秒后，AM转动至AM的位置，ZM4W=18X5=90°,

分两种情况：

①当9cte18时，/QBQ'=f°,AMAM"=5t°,

"：ZBAN=45°=ZABQ,

：.ZAB2'=45°-f,ZBAM"=/MAM"-ZM'AB=5t-45°,

当NA8C=NBAM"时，BQ'//AM",

此时，45°-t°=5f-45°,

解得t=15；

②当18<f<27时，ZQBQ'=t°,ZNAM"=5t°-90°,

•:NBAN=45°=ZABQ,

：.ZABQ'=45°-t°,ZBAM"=45°-(5r°-90°)=135°-5t°,

当NA8Q=/BAM"时，BQ'//AM",

此时，45°-t°=135°-5t,

解得t=22.5；

综上所述，射线AM再转动15秒或22.5秒时，射线AM、射线2。互相平行.

12.(2023春•振兴区校级期中)如图(1),在△ABC中，4B=AC=2,ZABC=30°,射线8M_LBC于点

C,动点。从点8出发沿射线方向运动；以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为f秒；

(1)以点A为旋转中心，将AD逆时针旋转120°,得到线段AE,连接BE,BE是否存在最小值，不存

在，则说明理由，存在则求出BE最小时的f值及BE的最小值；

(2)若射线8N为的平分线，当点。从8点出发时，点/从点A向B点与点。同时同速运动(0

W/W2),连接尸。交8N于点G,当ABG尸为等腰三角形时，直接写出所有可能的r值.

MM

【分析】（1）根据“垂线段最短”可知：当时，BE为最小.过点A作于点H先证

ZDAH=ZE,进而可依据“A4S”判定△A/TO和△ER4全等，从而得DH=AB=2,然后再

求出38=1,AH=43,进而可得出答案；

（2）先求出MBN=N4BN=30°,BD=AF=t,根据为等腰三角形，有以下三种情况：①当GF

=8/时，则/尸26=//62=/。26=30°,故此种情况不存在；②当2尸=BG时，则NGBB=/GFB

=30°,贝叱30尸=90°,据此得防=2BD=2f,贝UAB=AF+B广=f+2t=2,由此即可求出f的值；③当

8G=8/时，则/BGF=NBFG=1（180°-30°）=75°,过点G作GT_LB。于点T,先证△GDT

2

为等腰直角三角形，设DT=GT=x,则BG=2x,BT=Jjx,BD=BT+DT=（y+1）x=t,由此得

x=（强”上,则BF=BG=2X=再由AB=BF+A/=2得（T-l）t+t=2，由此即可求

出f的值，综上所述即可得出答案.

【解答】解：（1）BE存在最小值.

根据“垂线段最短”可知：当8ELA8时，BE为最小.

"：BE±AB,

:.NE+NBAE=90°,

过点A作于点X,如图:

J.AH//BC,

：.ZHAB^ZABC^30°,

由旋转的性质得：ZDAE=120°,AD=AE,

：.ZDAH+ZHAB+ZBAE^120°,

：.ZDAH+ZBAE=nO°-ZHAB=nO0-30°=90°

:./DAH=NE,

\'AH±BM,BE±AB,

：.ZAHD=ZEBA=90°,

在△AH。和△£氏!中，

，ZAHD=ZEBA=90°

<ZDAH=ZE，

AD=AE

.♦.△AHD—EBA(AAS),

：.AH=BE,DH=AB=2,

"：BM.LBC,ZABC=30a,

ZABD^60°,

在RtZkABH中，ZABH=60°,AB=2,

；.N2AH=30°,

.-.B//=AAB=AX2=1,

22

由勾股定理得：AH=VAB2-BH2=722-12=V3，

BE=AH=V3-BD=DH+BH=2+1=3,

运动的时间r=3+l=3秒，BE的最小值为J5；

(2)由(1)可知：ZABM=6Q°,

"?BN为ZABM的平分线，

：.MBN=ZABN=30°,

当点D从B点出发时，点厂从点A向2点与点D同时同速运动,

速度每秒1个单位长度，时间为t秒，

：.BD^AF^t,

当△BGF为等腰三角形时，有以下三种情况：

①当GF=8月时，则/F8G=NbGB=30°,如图：

VZr)BG=30°,

:./FGB=/DBG=30°,这与三角形的任意一个外角都大于和它不相邻的一个内角相矛盾，此种情况

不存在；

②当8广=BG时，则/GBP=/GF3=30°,如图：

AZBDF=90°,

在RtZXBD/中，/BFD=30°,

：.BF=2BD=2t,

：.AB=AF+BF=t+2t=2,

解得：t上，

3

③当8G=B尸时，则(180°-30°)=75°,过点G作GT_LB。于点T,如图:

Mi

N

Bc

ZBGF=ZDBG+ZGDT,

：.ZGDT=ZBGF-ZDBG=15°-30°=45°,

.•.△GOT为等腰直角三角形，

设DT=GT=尤，

在RtZ\BTG中，ZTBG=30°,TG=x,贝IBG=2x,

由勾股定理得：BT=7BG2-TG2=V3X,

.,.BD=BT+DT=V3x+x=（V3+l）x=t-

•_（通-1）t

••x=2'

：.BF=BG=2x=（V3-1）f,

：.AB=BF+AF^2,

即：（V3-l）t+t=2-

解得：t=^乎■.

综上所述：当ABG尸为等腰三角形时，f的值为2或义巨.

33

13.（2023春•迁安市期中）老师在黑板上出示题目：

如图1,在△ABC中，ZA=32°,ZC=

55°,线段C2‘与边重合，CB'从现

在的位置绕着点C按逆时针方向旋转一周

回到原来的位置是否有一位置使CB'//

AB?如果有这样的位置，请画出示意图，并

求出的度数，如果没有说明理由

（1）（如图2）嘉嘉认为：看这样二个位置，使得CB'7/AB,如图.请你按照嘉嘉的做法，求出

的度数.

（2）（如图3）琪琪认为：嘉嘉的想法不全面，还存在另外一种情况使得C"//AB你是否同意琪琪的

说法？如果同意，请画出图形，并求出此时/BC2'的度数；如果不同意，请说明理由.

图1图2图3

【分析】（1）由CB'〃AB可得/A+N4CB'=180°,再由NA=32°,得到NACB'=148",最后求

出N2C2'的度数即可；

（2）由CB，可得NB'CA=ZA=32°,再求出NBC/度数.

【解答】解：(1)如图1当CB，//AB,

所以NA+/ACB'=180°,

因为/A=32°,

所以NACB'=148°,

因为NACB=55°,

所以N2CB'=148°-55°=93°,

(2)同意，

所以NB'CA=NA=32°,

所以NBCB'=/B'C4+/A=87°,

14.（2022秋•青山湖区期末）阅读下面材料，并解决问题：

（1）如图①等边△ABC内有一点P,若点尸到顶点A、B、C的距离分别为3,4,5,求NAPB的度数.

为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP处，此时△ACP咨AABP,这样就可以利

用旋转变换，将三条线段出、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出/AP8=；

（2）基本运用

请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题

已知如图②,ZXABC中，/CA8=90°,AB=AC,E、尸为8C上的点且/EAF=45°，求证:E产=8£2+八72；

（3）能力提升

如图③，在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=1,ZABC=30°，点。为RtaABC内一点，连接A。，BO,

CO,且NAOC=/COB=/BOA=120°,求OA+OB+OC的值.

【分析】（1）根据旋转变换前后的两个三角形全等，全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等以

及等边三角形的判定和勾股定理逆定理解答；

（2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE',根据旋转的性质可得AE'=AE,CE'=CE,Z

CAE'=NBAE,NACE'=NB,/EAE'=90°，再求出NE'AF=45°，从而得到NE'AF,

然后利用“边角边”证明和△£'A尸全等，根据全等三角形对应边相等可得E'F=EF,再利用

勾股定理列式即可得证.

（3）将△AOB绕点2顺时针旋转60°至△4'O'2处，连接。。'，根据直角三角形30°角所对的直

角边等于斜边的一半求出42=2AC,即A'2的长，再根据旋转的性质求出△BOO'是等边三角形，根

据等边三角形的三条边都相等可得80=。。'，等边三角形三个角都是60°求出NBOO'=ZBO'O=

60°,然后求出C、O、A'、O'四点共线，再利用勾股定理列式求出A'C,从而得至l]OA+OB+OC=A'

C.

【解答】解：（1）v/\ACP'咨AABP,

：.AP'=AP=3、CP'=BP=4、ZAP'C=NAPB,

由题意知旋转角/RIP=60°,

C.^APP'为等边三角形，

PP'=AP=3,ZAP'P=6Q°,

易证C为直角三角形，且/PPC=90°,

AZAPB=ZAP'C=ZAP'P+ZPP'C=60°+90°=150°；

故答案为：150°；

(2)如图2,把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE',

由旋转的性质得，AE'=AE,CE'=BE,ZCAE'=ZBAE,ZACE'=ZB,ZEAE'=90°,

VZEAF=45°,

；.NE'AF=ZCAE'+ZCAF=ZBAE+ZCAF=ABAC-ZEAF=90°-45°=45°,

ZEAF=ZE'AF,

在△EAF和△£1'AF中,

'AE=AE'

<ZEAF=ZEZAF

AF=AF

/.△£AF^AE,AF(SAS),

：.E'F=EF,

VZCAB=90°,AB=AC,

；.NB=/ACB=45°,

：.ZE'CF=45°+45°=90°,

由勾股定理得，E'F2=CE'2+FC2,

即EF2=BE1+FC2.

(3)如图3,将△AOB绕点8顺时针旋转60°至O'B处,连接OO'，

•.,在RtZ\ABC中，ZC=90°,AC=1,ZABC=30°,

.\AB=2,

ABC=VAB^AC2=V3,

VAAOB绕点8顺时针方向旋转60°,

.,.△A，O'8如图所示；

ZA'BC=ZABC+60°=30°+60°=90°,

VZC=90°,AC=\,ZABC=3Q°,

：.AB=2AC=2,

「△AOB绕点3顺时针方向旋转60°,得到△&'O'B,

：,A'B=AB=2,BO=BO',A'O'=AO,

：.ABOO'是等边三角形，

：.BO=OO',ZBOO'=ZBO'0=60°,

VZAOC=ZCOB=ZBOA=120°,

:./COB+/BOO'=ABO'X'+ZBOO'=120°+60°=180°,

・・・C、0、A'、O'四点共线，

在RtZXA'BC中，Nc=VBC2+AyB2=V(V3)2+22=V7)

：.OA+OB+OC^A'O'+00'+OC=A'C=V7.

15.(2023春•清江浦区期末)如图1,MN〃P。，点A在直线MN上，点8在直线PQ上，射线AC绕点A

顺时针从射线AM旋转至射线AN后便立即回转；射线BD绕点B顺时针从射线BP旋转至射线BQ后便

立即回转：射线AC、射线8。不停地来回旋转.若射线AC转动的速度是。度/秒，射线8。转动的速度

是6度/秒，且a、b是方程。+36=6的正整数解.

(1)a—，b—；

(2)如图2,若NBAN=45°,两条射线同时转动，在射线AC到达AN之前，若两条射线交于点E,过

E作EFJ_AC交尸Q于凡若/8£尸=20°,求/BAC的度数；

(3)若射线8。先转动30秒，射线AC才开始转动，在射线到达8Q之前，射线AC转动几秒，射

线AC与射线80互相平行？

【分析】(1)根据二元一次方程的解，a,6为正整数，即可求解；

(2)设运动时间为t,依题意，ZMAC=3t,则/EAN=180°-ZMAE=1SO°-3t°,ZPBE=t°,

过点E作EH//PQ,则EH//MN,根据平行线的性质得出/2£知=180°-2t°,根据已知条件得出

=70°,建立方程求得3进而得出/EAN=15°,根据NBAN=45°,进而即可求解；

(3)依题意，线8。先转动30秒，射线AC才开始转动，当AC到达A7V之前，当AC从何返回且到

达AM前，根据平行线的性质，列出方程，解方程即可求解.

【解答】解：(1)3b=6,a,6为正整数,

•'-b=2—

O

，4=3,b=l；

(2)设运动时间为f,

依题意，ZMAC=3tf则NEAN=180°-ZMAE=180°-3t°,ZPBE=t°,

过点E作EH〃尸Q,贝!JEH〃MN,

・•・ZPBE=NBEH,

■:EH〃MN,

：.ZHEM=/EAN,

:・/BEM=NBEH+NMEH=NPBE+NNAE=180°-3f+f=180°-2t°,

VEF±AC,

/.ZAEF=9Q°,

VZBEF=20°,

:,4BEM=70°,

.*.70°=180°-2t°,

解得：t=55,

：.ZEAN=1SO°-3°X55=15°,

：.ZBAC=ZBAN-ZEAN=45°-15°=30°；

（3）依题意，线3。先转动30秒，射线AC才开始转动，

当AC到达A7V之前，当AC〃瓦）时，则NM4C=NP5。，

；.3t=30+f,

解得：t=15；

当AC从AN返回且到达AM前，当AC〃B。时，则/C4V+NP8D=180°,

•*.3r-180+（30+r）=180,

解得：f=82.5.

16.（2023春•蒸湘区期末）如图，有一副直角三角板如图1放置（其中/。=45°,NC=30°）,PA,PB

与直线MN重合，且三角板B4C,三角板尸8。均可以绕点P逆时针旋转.

（1）在图1中，NDPC=；

（2）①如图2,若三角板尸瓦）保持不动，三角板B4c绕点尸逆时针旋转，转速为10°/秒，转动一周三

角板用C就停止转动，在旋转的过程中，当旋转时间为多少时，有成立；

②如图3,在图1基础上，若三角板B4C的边从PN处开始绕点尸逆时针旋转，转速为3°/秒，同时

三角板的边从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速为2°/秒，当PC转到与位置重合时，

两三角板都停止转动，在旋转过程中，当NCP£)=NBPM时，求旋转的时间是多少？

【分析】(1)根据平角的定义即可得到结论；

(2)①如图1,根据平行线的性质得到NCPN=NZ)B尸=90°,求得/APN=30°,于是得到结论；如

图2,根据平行线的性质得到,根据三角形的内角和得到NCB4=60°,求得NAPM

=30°,于是得到结论；

②设旋转的时间为f秒，由题知，NAPN=3t°,NBPM=2t：根据周角的定义得到/CPD=360°-

/BPD-NBPN-NAPN-NAPC=360°-45°-(180°-2/°)-(3/°)-60°=75°-t°,列方

程即可得到结论.

【解答】解：(1);/BPD=ND=45°,ZAPC=60°,

：.ZDPC=18O°-45°-60°=75°,

故答案为：75°；

(2)①如图1,此时，BO〃PC成立,

"：PC//BD,NDBP=9Q°,

：.ZCPN=ZDBP=90°,

VZC=30°,

：.ZCPA=6Q0,

...NAPN=30°,

••,转速为10°/秒,

旋转时间为3秒；

如图2,PC//BD,

'：PC//BD,ZPBD=90°,

；./CPB=/DBP=90°,

VZC=30°,

，NCB4=60。,

：.ZAPM=30°,

•.•三角板必C绕点P逆时针旋转。的角度为180°+30°=210°,

••,转速为10°/秒，

旋转时间为21秒，

综上所述，当旋转时间为3或21秒时，PC〃DB成立;

②设旋转的时间为t秒，由题知，ZAPN=3t°,ZBPM=2t°,

：.ZBPN=1800-ZBPM=180°-2t°,

：.ZCPD=360°-ZBPD-ZBPN-ZAPN-ZAPC=360°-45°-(180°-2t°)-(3r°)-60°

=75°-t°,

当/CPD=NBPM,即2r°=75°-t°,

解得：t=25,

；.当/CPD=NBPM,求旋转的时间是25秒.

17.(2023春•雄县期中)教材中有这样一道题：如图1,四边形ABC。是正方形，G是BC上的任意一点,

OE_LAG于点E,BF//DE,且交AG于点尺求证：AF-BF=EF.

(1)若图1中的点G为CB延长线上一点，其余条件不变，如图2所示，猜想此时AF,BF,跖之间

的数量关系，并证明你的结论.

(2)将图1中的△A8F绕点A逆时针旋转，使得A8与重合，记此时点尸的对应点为点F,如图3

所示，若正方形的边长为3,求E尸的长度.

【分析】由四边形ABCD为正方形，可得出NRW为90°,AB=AZ),进而得到NBAG与NEAD互余，

又。E垂直于AG,得到NEAD与NADE互余，根据同角的余角相等可得出/4£)石=/24冗利用AAS

可得出三角形A2F与三角形ADE全等，得出2/=4£,由等量代换可得证；

(1)利用A4S证明△4££＞丝△BD4,推出BP=AE,即可得到

(2)利用旋转的性质以及矩形的判定定理得到四边形AED/是矩形，根据矩形的性质即可求解.

【解答】证明：如图，△ABF绕点A逆时针旋转，使得A8与AD重合，记此时点尸的对应点为点尸，

连接EP、DF',

•・•正方形ABCD,

：.AB=AD,ZBAD=ZBAG+ZEAD=90°,

VZ)E±AG,

；・/AED=90°,

.\ZEAD+ZADE=90,

・・・ZADE=ZBAF,

又,：BF〃DE,

：.ZAFB=ZAED=90

在△AEO和△8项中，

^ZAED=ZAFB

,ZADE=ZBAF，

AD=AB

AAED^ABFA(AAS)；

：.BF=AE,

U：AF-AE=EF,

：.AF-BF=EF；

解：(1)AF+BF=EF.证明如下：

•・,正方形ABCD,

：.AB=AD,ZBAD=ZBAG+ZEAD=90°.

9：DELAG,

：.ZAED=90°.

AZEAD+ZADE=90°.

ZADE=ZBAF.

又,：BF〃DE,

：.ZAFB=ZAED=90°.

在△AE0和△3"中，

•；NAFB=NAED,ZADE=ZBAF,AB=AD.

：.(A4S).

：.BF=AE.

"：AF+AE=EF,

：.AF+BF=EF.

由题设得△AEDgZXBDA,

：.AF=DE,

由旋转的性质知：ZMF=90°,DE=AP=AF,

：.ZFAE=ZAED=9Q0,

：.AF//ED.

四边形AED/为平行四边形.

又；/4即=90°,

四边形A即尸是矩形.

r=AO=3.

18.（2023春•长垣市期末）综合与实践

数学社团的同学以“两条平行线AB,和一块含45°角的直角三角尺斯G（/EPG=90°）”为主题

开展数学活动，已知点E,尸不可能同时落在直线AB和CD之间.

探究：（1）如图1,把三角尺的45°角的顶点E,G分别放在AB,CD上，若/8EG=150°,求NFGC

的度数；

类比：（2）如图2,把三角尺的锐角顶点G放在CD上，且保持不动，若点E恰好落在A8和CD之间，

且与所所夹锐角为25°,求NPGC的度数；

迁移：（3）把三角尺的锐角顶点G放在C。上，且保持不动，旋转三角尺，若存在NPGCnS/OGE（N

DGE<45°）,直接写出射线GE与AB所夹锐角的度数.

图1图2备用图

【分析】(1)根据平行线的性质可得N3EG=N£GC,即可求解.

(2)先求出NEGC的度数即可求解.

(3)根据题意分两种情况进行讨论，点£在8上方和在下方两种情况求解即可.

【解答】解：(1)-AB//CD,

：・/BEG=NEGC=150°,

•：NFGE=45°,

AZFGC=150°-45°=105°；

(2)过点E1作如图，

:・/BME=NFEH=25°,NDGE=NHEG.

FEG=/FEH+/GEH=NBME+/DGE=45°,

：.ZDGE=45°-25°=20°,

：.ZFGC=180°-45°-20°=115°；

(3)存在，有两种情况；

①②当点后在CO上方时，如图；

；・NDGE+5NDGE+45°=180°,

：.ZDGE=22,5°,

・•・射线G尸与A3所夹锐角的度数为450+22.5°=67.5°；

②当点石在CO上方时，如图；

A

B

■:/FGC=5/DGE,

AZFGC+ZFGD=180°,

即5N0GE+45。-ZDGE=180°,

・・・NOGE=43.75°,

J射线G/与AB所夹锐角=/八7。=45。-43.75°=11.25°,

综上所述射线Gb与AB所夹锐角的度数为67.5°或11.25°.

19.(2023春•阳城县期末)如图1,将一副直角三角板放在同一条直线A3上，其中NONM=30°,ZOCD

=45。.图1图2图3

(1)观察猜想：将图1中的三角尺。8沿AB的方向平移至图2的位置，使得点。与点N重合，CD

与MN相交于点