2024-2025学年人教版八年级数学上册专项复习：与三角形的角有关的计算（30题）（解析版）

专题第01讲与三角形的角有关的计算

1.（2022秋•海珠区校级期末）如图，在AABC中，是高，AE,是角平分线，它们相交于点。，ZC

=70°.

（1）NAOB的度数为；

（2）若/ABC=60°,求ND4E的度数.

【分析】(1)根据角平分线的定义得出/。48+/。氏4=工CZBAC+ZABC),根据三角形内角和定理得

2

出NBAC+NABC=180°-ZC=110°,进而即可求解；

(2)根据三角形内角和定理求得/ZMC,ABAC,根据AE是NBAC的角平分线，得出/CAE=』NCAB

2

=25°,根据ND4E=/CAE-NC4O,即可求解.

【解答】(1)解：BF^ZBAC.NA8C的角平分线，

ZOAB+ZOBA=上(ZBAC+NABC),

2

在△ABC中，ZC=70°,

：.ZBAC+ZABC=\80°-ZC=110°,

AZAOB=180°-ZOAB-ZOBA=180°-工(ZBAC+ZABC)=125°.

2

故答案为：125°；

(2)解：•.•在△ABC中，4。是高，/C=70°,ZABC=60°,

.,.ZDAC=90°-ZC=90°-70°=20°,ZBAC=180°-ZABC-ZC=50°

：AE是NA4c的角平分线，

AZCAE=AZCAB=25°,

2

：.ZDAE=ZCAE-ZCAD=25°-20°=5°,

：.ZDAE=5°.

2.(2023春•洛宁县期末)如图，A。为△ABC的高，AE,BP为△ABC的角平分线，ZCBF=30°,ZAFB

=70°.

(1)/BAD=°；

(2)求ND4E的度数.

【分析】(1)利用角平分线的定义求出/A8C,再利用三角形内角和定理求出/BAD

(2)根据ND4E=/BAE-求出NBAE,N2A£)即可.

【解答】解：(1)：8/平分NABC,

ZABC=2ZCBF=60°,

'：AD±BC,

：.ZADB=90°,

：.ZBAD^90°-ZABC=90°-60°=30°,

故答案为：30；

(2)VZAFB=ZFBC+ZC,

AZC=70°-30°=40°,

：.ZBAC=1SO°-ZABC-ZC=180°-60°-40°=80°,

:AE平分N2AC,

・"M=9/BAC=40。，

AZDAE^ZBAE-ZBAD^40Q-30°=10°.

3.(2023春•丰城市期末)如图，在△ABC中，BD,CD分别是/ABC,NAC2的平分线，BP,CP分别是

ZEBC,NFCB的平分线.

(1)当NABC=64°,ZACB=66°时，/D=°,NP=°；

(2)ZA=56°,求/。，NP的度数；

(3)请你猜想，当NA的大小变化时，尸的值是否变化？请说明理由.

【分析】(1)根据角平分线的定义和三角形的内角和定理解答即可;

(2)根据角平分线的定义和三角形的内角和定理解答即可；

(3)利用(2)的结论即得结果.

【解答】解：(1),:BD,CO分别是/ABC,/ACB的平分线，ZABC=64°,ZACB=66°,

•■•ZDBC=yZABC=32°,ZDCB=j-ZACB=33°-Z£BC=116°,ZBCF=114°,

：.ZD=180°-ZDBC-ZDCB=115°；

:BP,CP分别是/EBC,/bCB的平分线，

•••ZCBP=yZEBC=58°,ZBCP=j-ZBCF=57°，

.,.ZP=180o-ZCBP-ZBCP=65a；

(2)在△ABC中，ZABC+ZACB=180°-ZA,

,:BD,CD分别是NABC,NACB的平分线，

•'-ZDBC=yZABC,ZDCB-yZACB-

—180°-(./DBC+/DCB)

=180°-y(ZABC+ZACB)

=180°-y(180°-NA)

=90°弓/A

=90°+yX56°

=118°；

:BP,CP分别是/EBC,NbCB的平分线，

ZCBP+ZBCP

=yZCBE+yZBCF

=y(ZCBE+ZBCF)

旧(ZA+ZACB+ZA+ZABC)

=y(180°+ZA)

=90°+28°

=118°；

/.ZBPC=180°-(NCBP+NBCP)

=90°-yZA

=90°-28

=62°；

（3）NO+N尸的值不变.

..•由（1）知ND=90°耳/A'NP=90°蒋NA，

.,.zr»+zp=i80°.

...当/A的大小变化时，ND+/P的值不变.

4.（2023春•乐山期末）（1）如图1,△ABC中，延长到M,BP平分NMBC,延长AC到MCP平分

ZNCB,PB交PC于点、P,若/ABC=a,ZACB=^,ZBPC=G,求证：a=一；）；

（2）如图2,△ABC中，E是AB边上一点，E是AC边上一点，延长A8到M,PB平分NMBC,P尸平

分NEFC,BP交PF于点P,若NAEF=a,ZACB=p,ZBPF=Q,求证：9=；

（3）如图3,/XABC中，E是AB边上一点，尸是AC边上一点，延长E尸至ijG,PB平分/ABC,P尸平

分NAFG,BP交PF于点、P,若NAEF=a,ZACB=^,ZBPF=B,探究并直接写出a,p,0之间的等

量关系.

【分析】（1）根据角平分线的性质、外角性质和三角形内角和定理，求出NCBP+/BCP,ZA,再次利

用三角形的内角和定理进行解答；

（2）根据角平分线的性质、外角性质和三角形内角和定理，求出/CBP,NCFP,ZBOP,再次利用三

角形的内角和定理进行解答；

（3）根据角平分线的性质、外角性质和三角形内角和定理，求出/。尸尸，ZCBO,ZPOF,再次利用三

角形的内角和定理进行解答；

【解答】（1）证明：平分/MBC,CP平分NBCN,

/.ZCBP=|ZMBC=1(ZA+P),NA蒋B，ZBCP=-1ZBCN=1(ZA+Cl)-|ZA4yd；

•'•ZCBP+ZBCP^-ZA-^-84NA4a=ZA+ya蒋B，

VZA+a+p=180°,

AZA=180°-a-p,

VZCBP+ZBCP+ZP=180°,

；•/人卷a弓⑹+8=180°,

180°-a-p+j-a-Ryp+e=180°>

.c9+6

・・y=-------；

2

ZCBP=1ZMBC=1-(ZA+B)4/A蒋P，

ZCFP=1ZEFC=1(ZA+CI)-|ZA^CI.

VZOFC+ZFOC+ZACB=180°,ZBOP=ZFOC,

.../2。尸=180°-p-Z<9FC=180°-P-yZEFC=180°^Q^ZA>

VZCBP+ZP+ZB(9P=180o,

*',■^Z^A+yP+0+180°-8卷a4NA=180°，

e=a+B；

2

(3)解：如图所不：

尸平分NA3C,尸尸平分NA尸G,

.•.ZOFP=1ZAFG=1(ZA+CI)=yZA-^Cl，

NC80=£/ABC总(180。-ZA-P)=90°-//A总B,

■：ZPOF=ZCBO+ZACB=^-//A蒋3+B=90。总NA蒋B，

VZPOF+ZOFP+ZP=180°,

•1,90°-yZA-t^-P+yZA+y<l+0=180°-

•'-04^^-=90°-

5.(2022秋•黄石期末)如图，直线。与EF相交于点。，ZCO£=60°,将一直角三角尺AOB(含30°

和60°)的直角顶点与。重合，。4平分/COE.

(1)求48。。的度数；

(2)图中互余的角有对；

(3)将三角尺AO8以每秒3°的速度绕点。顺时针旋转，同时直线EF以每秒9°的速度绕点O顺时针

旋转，设运动时间为fs(0W/W40).

①当f为何值时，直线EF平分/AOB.

②当t=时，直线EF平分NBOD.

【分析】(1)依据/COE=60°,平分NCOE,可得/AOC=30°,再根据/4。2=90°,即可得到

ZBOD=180--30°-90°=60°；

(2)互余的角有12对分别是：/A与N&ZA^ZAOC,/A与NAOENCOE与NB,NCOE与/

AOC,ZCOE^ZAOE,2094与/800；ZAOE^ZBOD；NA与NBOQ；

(3)①分两种情况进行讨论：当OE平分NAOB时，乙4OE=45°；当OF平分/AOB时，NAO尸=45°；

分别依据角的和差关系进行计算即可得到f的值；

②分两种情况进行讨论：当OE平分N8OO时，NBOE=L/BOD；当OF平分N3OO时，ZDOF=A

22

NBOD；分别依据角的和差关系进行计算即可得出f的值.

【解答】解：(1)VZCO£=60°,04平分/COE,

...NAOC=30°,

又。2408=90°,

.../20。=180°-30°-90°=60°；

（2）互余的角有4对分别是：NA与NB；NA与/AOC,NA与NAOE,NCOE与/B,NCOE与/

AOC,ZCOE^ZAOE,NCOA与NBOD；NAOE与NBOD；NA与NBOD,ZCOA^ZBOE；ZAOE

与/BOE；/A与NBOE；

（3）①分两种情况：

当OE平分NAOB时，ZAOE=45°,

即9°?+30°-3°f=45°,

解得f=2.5；

当O尸平分NA08时，ZAOF=45°,

即9°t-150°-3°f=45°,

解得f=32.5；

综上所述，当f=2.5s或32.5s时，直线平分NAO3；

②t的值为12s或36s.

分两种情况：

当OE平分NB。。时，NBOE=L/BOD,

2

即9°r-60°-3°（60°-3°t）,

2

解得r=12；

当。尸平分480。时，NDOF=、NBOD,

2

即9°t-300°=工（3°L60。），

2

解得f=36；

综上所述，若直线平分N20Z）,f的值为12s或36s.

6.（2022秋•淮南期末）（1）如图1,有一块直角三角板X1Z放置在△ABC上，恰好三角板X出的两条直

角边XKXZ分别经过点8、C.△A8C中，ZA=30°,贝UNABC+NACB=,ZXBC+Z

（2）如图2,△ABC的位置不变，改变直角三角板XFZ的位置，使三角板X1Z的两条直角边XKXZ

仍然分别经过8、C,那么NA8X+/ACX的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出/

A8X+NACX的大小.

【分析】本题考查的是三角形内角和定理.已知NA=30。易求/ABC+/ACB的度数.又因为/X为90°,

所以易求/XBC+NXCB.

【解答】解：(1)VZA=30°,

AZABC+ZACB=150°,

,：ZX=90°,

：.ZXBC+ZXCB=90°,

故答案为：150°；90°.

(2)不变化.

VZA=30°,

ZABC+ZACB=150°,

VZX=90°,

；.NXBC+NXCB=90°,

Z.ZABX+ZACX^(AABC-ZXBC)+(ZACB-NXCB)

=CZABC+ZACB)-(NXBC+/XCB)

=150°-90°

=60°.

7.(2023春•栾城区校级期末)在△ABC中，点。在线段AC上，Z)E〃8c交AB于点E,点尸在线段A8

上(点尸不与点A,E,8重合)，连接。F过点e作FGLFD交射线CB于点G.

①②③

(1)如图1,点尸在线段BE上.

①直接写出ZEDF与ZBGF的数量关系；

②求证：ZABC+ZBFG-Z££)F=90°；

(2)当点P在线段AE上时，请在备用图中补全图形，并直接写出/瓦正与N8GF的数量关系.

【分析】(1)①结论：ZEDF+ZBGF^90°.如图1中，过点尸作尸H〃BC交AC于点凡利用平行线

的性质求解即可.

②过点尸作尸〃〃8c交AC于点H.利用平行线的性质求解即可.

（2）作出图形，利用平行线的性质，以及三角形的外角的性质求解即可.

【解答】解：（1）①结论：ZEDF+ZBGF=90°.

理由：如图1中，过点/作77/〃交AC于点

图1

■:DE〃BC,

:.DE〃FH,

，/EDF=NT,

,:FH〃BC,

：.ZBGF=Z2.

■:FGLFD,

：.ZDFG=90°.

.'.Zl+Z2=90°.

：.ZEDF+ZBGF=90°.

②证明：过点方作尸“〃3。交AC于点如图2,

图2

・•・ZABC=/AFH,

：.NA3C=N1+N3,

：.Z3=ZABC-Zl,

■:NEDF=N1,

：.Z3=ZABC-ZEDF,

VFG±F£>,

：.ZDFG^90°,

AZBFG+Z3=90°,

；./3=90°-ZBFG,

：.90°-NBFG=ZABC-ZEDF,

：.NABC+NBFG-NED尸=90°；

(2)解：结论：NBGF-/EDF=90°.

：.ZBGF=ZFJE,

VZFJE=ZDFJ+ZEDF,/DEJ=90°,

；./BGF-NEDF=90°.

当点G在CB的延长线上时，同法可证/£。/+/26尸=90°,如图4,

8.（2023春叶B江区期中）阅读下列材料并解答问题：

在一个三角形中，如果一个内角a的度数是另一个内角度数的2倍，那么这样的三角形我们称为“优雅

三角形”，其中a称为“优雅角”.例如：一个三角形三个内角的度数分别是、100°、，这个三角形就是

“优雅三角形”，其中“优雅角”为100°.反之，若一个三角形是“优雅三角形”，那么这个三角形的

三个内角中一定有一个内角a的度数是另一个内角度数的2倍.

（1）一个“优雅三角形”的一个内角为120。，若“优雅角”为锐角，则这个“优雅角”的度数为.

（2）如图1,已知/MON=60°,在射线OM上取一点A,过点A作AB_LOM交ON于点8,以A为端

点画射线交线段08于点C（点C不与点。、点8重合）.若△AOC是“优雅三角形"，求/AC8的度数.

（3）如图2,△ABC中，点。在边8c上，OE平分/ADB交AB于点E,尸为线段AD上一点，MZAFE+

ZA£）C=180°,ZFED=ZC.若△AOC是“优雅三角形”，求NC的度数.

【分析】本题考查“优雅三角形”的新定义问题，灵活运用三角形的内角和定理.

【解答】解：(1)一个“优雅三角形”的一个内角为120°,另两个角之和为：180°-120°=60°,

“优雅角”为锐角，根据“优雅三角形”的定义，“优雅角”为40。，另一个角为20°.

(2)交ON于点8,AZMOB=9Qa,

ZMON=6Q°,AAOC是“优雅三角形”，①当“优雅角”为60°时，另一个角为30°,则NACO=

90°,NACB的度数为90°,②当另两个角中有优雅角时，另两个角之和为120。，

根据“优雅三角形”的定义，另两个角分别为：40°,80°,

则NACO=80°,NACB的度数为100°,

ZACO=40°,ZACB的度数为140°.

(3)VZAFE+ZADC=1SO°,ZAFE+ZEFD=180°,

：./A£)C=ZEFD,

：.EF//BC,

△AOC是“优雅三角形”，

DE平分NAOB交AB于点E,

①当NC=a,ZADC=-^~,

2

ZADB=180°--=(180°-X2,

22

解得a=72°,/C=72°；

②当NC=a,ZDAC--^-,

2

无解，故不符合题意；

③当NADC=a,ZDAC^—,

2

ZADB=180°-a=[180°-a-(180°-]X2,

2

解得a=90°,ZC=45°；

④当NA£)C=a,ZC=-^-,

2

ZADB=180°-a=(180°---a)X2,

2

解得a=90°,ZC=45°；

⑤当/ZMC=a,ZADC=—,

2

ZADB=180°-巴=[180°-(180°---]X2,

222

解得a=72°,ZC=72°；

⑥当NZMC=a,ZC=-5-,

2

无解，故不符合题意；

综上，/C的度数为：72°,45°.

9.(2023春吁B江区期中)综合与探究：爱思考的小明在学习过程中，发现课本有一道习题，他在思考过程

中，对习题做了一定变式，让我们来一起看一下吧.在△ABC中，ZABC与NACB的平分线相交于点P.

「M分」

«----------QQ

BC

图1图2图3

(1)如图1,如果NA=80°,那么NBPC=°

(2)如图2,作AABC的外角/MBC,NNCB的平分线交于点°,试探究与/BPC的数量关系.

(3)如图3,在(2)的条件下，延长线段BP,QC交于点E,在△BQE中，若/Q=4/E,求/A的度

数.

【分析】(1)运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出/ABC+/ACB,进而求出N8PC即

可解决问题；

(2)根据三角形的外角性质分别表示出与/BCN,再根据角平分线的性质可求得NC%+NBC。,

最后根据三角形内角和定理即可求解；

(3)在△BQE中，由于/。=90°-AZA,求出由NQ=4NE,得出2NA=90°-Az

222

4,求解即可.

【解答】解：(1)VZA=80°,

ZABC+ZACB=1SO°-ZA=180°-8°=100°,

,/ZABC^ZACB的平分线交于点P,

•'•ZPBC=yZABC'ZPCB=yZACB-

：.ZBPC=1SO0-(NPBC+NPCB)=180°--1CZABC+ZACB)=180°-^-x10Q°=130°；

故答案为：130°；

(2)•.•外角/MBC,/NCB的平分线交于点。，

ZQBC=yZMBC-ZQCB=yZNCB-

，/。=180°-(：ZQBC+ZQCB)=180°-工(/MBC+/NCB)=180°-(180°-ZABC+180°

22

-ZACB)=A(ZABC+ZACB)=1(180°-NA)=90°-—/i,,

222

VZBPC=1800-CZPBC+ZPCB)=180°-A(ZABC+ZACB)=180°-工(180°-NA)=90°

22

：.ZQ+ZBPC=180°；

(3)如图，延长2C至尸,

,：CQ为△ABC的外角NNCB的角平分线,

：.CE是AABC的外角ZACF的平分线，

ZACF=2ZECF,

：8E平分NABC,

NABC=2NEBC,

'：ZECF=ZEBC+ZE,

：.2ZECF=2ZEBC+2ZE,

即ZACF=ZABC+2ZE,

又ZACF=ZABC+ZA,

：.ZA^2ZE,即NE=』NA,

2

：.ZQ=2ZA,

•：ZQ=90°-AZA,

2

:.2ZA=9o°-AZA,

2

ZA=36°.

10.(2022秋•海丰县期末)综合与探究：

【情境引入】

(1)如图1,BD,CD分别是△ABC的内角NA8C,的平分线，说明/。=90°+工/4的理由.

2

【深入探究】

(2)①如图2,BD,C。分别是△A8C的两个外角/EBC,/FC8的平分线，/£>与/A之间的等量关

系是;

②如图3,BD,C。分别是△ABC的一个内角NABC和一个外角NACE的平分线，BD,CD交于点D,

探究/。与NA之间的等量关系，并说明理由.

图1图2图3

【分析】(1)根据角平分线的定义以及三角形内角和定理证明即可；

(2)①根据三角形外角的性质，角平分线的定义以及三角形内角和定理求解即可;

②根据三角形外角的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义求解即可.

【解答】(1)证明：CO分别是△ABC的内角/ABC,/ACB的平分线，

.,.Z1=-1ZABC,Z2=-^ZACB,

22

.,.Zl+Z2+Z£>=180°,ZA+ZABC+ZACB=180°,

.,.ZZ)=18O0-Z1-Z2

=180°--1(ZABC+ZACB)

2

=180°-A(180°-ZA)

2

=90°+AZA；

2

(2)解：①ND=90°-1ZA,理由如下：

2

:BD,CO分别是△ABC的两个外角/E8C,NbCB的平分线，

；./DBC=L/EBC=LCZA+ZACB},/DCB=L/FCB=LCZA+ZABC),

2222

VZZ)BC+ZDCB+ZD=180°,ZA+ZABC+ZACB=180°,

・•・ZD=180°-ZDBC-ZDCB

=180°-—(ZEBC+ZFCB)

2

=180。-1(1800+ZA)

=90°-AZA,

2

故答案为：NO=90°-1ZA；

2

②NO=2/A,理由如下：

2

,:BD,CD分别是△ABC的一个内角NABC和一个外角ZACE的平分线，

：.ZDBC=^-ZABC,ADCE=^ZACE,

22

VZACE=ZA+ZABC,ZDCE=ZD+ZDBC,

：.ZD+^ZABC=—(ZA+ZABC),

22

：.ZD=^ZA.

2

11.(2023春•南阳期末)如图，在△ABC中，BD,CO分别是NABC,NACB的平分线，BP,CP分别是

ZEBC,NPCB的平分线.

(1)若NA=30°,则/O=°,4P=°,/D+NP=°；

(2)当NA变化时，/O+NP的值是否变化？请说明理由.

【分析】(1)根据三角形的内角和定理用NA表示出/ABC+NACB,再根据角平分线的定义表示出N

DBC+ZDCB,然后在△BCD中利用三角形的内角和定理可得出的度数；根据三角形的内角和定理

及其推论以及角平分线的定义及三角形外角的性质即可得出/尸的度数；

(2)根据(1)中/。与NP的式子即可得出结论.

【解答】解：(1)-：ZA=30°,

：.ZABC+ZACB=180°—150°,

,:BD,C。分别是/ABC,NACB的平分线,

ZDBC=yZABC，ZDCB=yZACB，

ZDBC+ZDCB-^-(ZABC+ZACB)=75°，

.•.ZD=180o-75°=105°；

VZABC+ZACB=180°-ZA=150°,

.,.ZCB£+ZBCF=210°,

,:BP,CP分别是NEBC,NPCB的平分线，

ZCBP=yZCBE,ZBCP=yZBCF,

ZCBP+ZBCP=lj/CBE+yZBCF=y(ZCBE+ZBCF)=105°-

.,.ZP=180°-105°=75°；

.,.ZD+ZP=105°+75°=180°；

故答案为：105,75,180.

(2)结论：/Z)+/P的值不变.理由如下：

在△ABC中，ZABC+ZACB=180°-NA,

,:BD,CD分别是NA2C,NAC2的平分线，

ZDBC=yZABC，ZDCB=yZACB，

ZDBC+ZDCB=y(ZABC+ZACB)=y(180°-ZA)=90°-yZA-

在△SCO中，ZZ)=180°-QDBC+/DCB)=180°-(90°-yZA)=900+yZA>

,:BP,CP分别是/E2C,/BCB的平分线，

ZCBP=yZCBE,ZBCP=yZBCF,

ZCBP+ZBCP=yZCBE+^-ZBCF=y(ZCBE+ZBCF)

(ZA+ZACB+ZA+ZABC)(180°+/A)，

在△BCP中，ZP=180°-(NCBP+NBCP)

=180°-y(180°+ZA)=90°-yZA-

•'-ZP+ZD=(90°-yZA)+(90°+yZA)=180°-

12.（2023春•洪洞县期末）在△ABC中，AO_LBC于点D

B

DE

图1备用图

特例研究：

(1)如图1,若N54C的平分线AE能交BC于点E,ZB=35°,/EAD=5°,求NC的度数;

操作发现:

如图2,点N分别在线段AB,AC,将△ABC折叠，点2落在点尸处，点C落在点G处，折痕分别

为DM和DN,点G,尸都在射线ZM上;

(2)若NB+NC=60°,试猜想/AM尸与NANG之间的数量关系，并说明理由;

(3)将绕点。逆时针旋转，旋转角记为a(0°<a<360°).记旋转中的△QMF为△DMiFi,

在旋转过程中，点M,尸的对应点分别为Ml,Fi,直线MLFI,与直线BC交于点。，与直线AB交于点

P.若/8=35°,ZPQB=90°,请直接写出旋转角a的度数.

【分析】(1)利用三角形的内角和定理和角平分线的定义即可解决问题;

(2)结论：ZAMF+ZANG=6O°.由翻折可知ZC=ZG,由/B+/C=60°得出/BAC

=120°,再根据三角形外角的性质可得出NBAC=N4WF+NANG+N2+NC,从而得出结论;

(3)分两种情形分别求解即可解决问题.

【解答】解：(1)-：AD1BC,

；.乙4。8=90°.

又：NB=35°,

：.ZBAD=1SQ0-ZB-ZADB=55°.

'：ZEAD=5°,

：.ZBAE=55°+5°=60°.

：AE平分NBAC,

：.ZBAE=ZCAE=6Q°,

AZC=180°-90°-60°-5°=25°.

(2)结论：ZAMF+ZANG=60°.理由:

由折叠可知：ZB=ZAFM,NC=NG,

VZB+ZC=60",

：.ZBAC=nO°,

ZBAC=ZBAD+ZDAC=ZAMF+ZAFM+ZANG+ZG,

：.ZBAC=ZAMF+ZANG+ZB+ZC,

即120°=NAMRNANG+60°,

AZAMF+ZANG=60°.

(3)旋转角的度数为35°或215°.

①当0°VaW900时，

・.・/尸。3=90°,

：.ZF\QD=180°-90°=90°,

•・,将AABC折叠，点5落在点尸处，折痕为将△DM/绕点。逆时针旋转一个角度a,

ZDF\Mi=ZDFM=ZB=35°,

：.ZF1DQ=1SO°-ZFiQD-ZDFiMi=180°-90°-35°=55°,

；・/FDFi=NADB-NFiDQ=90°-55°=35°,

②当90°<a^360°时，

9：ZPQB=90°,

：.ZFiQD=180°-90°=90°,

・・,将△ABC折叠，点5落在点尸处，折痕为DM,将△DM/绕点。逆时针旋转一个角度a,

AZDF\Mi=ZDFM=ZB=35°,

：.ZFiDQ=180°-ZFiQD-ZDFiMi=180°-90°-35°=55°,

/.ZFDFi=ZADC-^ZFiDQ=900+55°=145°,

・・・a=360°-145°=215°；

AZDFiMi=ZDFM=ZB=35°,

：・/PQB=/BPQ-/B=90°-35°=55°,

ZPQB=NDFiMi+NFiDB,

：.ZFiDB=ZPQB-ZDFiMi=55°-35°=20°,

，NFDFi=NADB-/FiDB=90°-20°=70°,

.'.a=70°.

G

综上所述，旋转角。的度数为35°或215。.

13.(2023春•东方校级期末)在△ABC中，/A8C与/ACB的平分线相交于点P.

图1图2图3

(1)如图1,如果/A=70°,ZABC=50°,ZACB=60°,求/BPC的度数；

(2)如图1,如果/A=a,用含a的代数式表示NBPC；

(3)探索：如图2,作△ABC外角NM8C、/NCB的平分线交于点°,试写出N。、/A之间的数量关

系；

(4)拓展：如图3,延长线段8尸、QC交于点E,△8QE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请

直接写出NA的度数.

【分析】(1)根据已知条件和角平分线的性质，求出/PBC和再利用三角形内角和定理进行计

算；

(2)根据已知条件和角平分线的性质，把/P8C和/BCP用NABC和/ACB表示出来，再利用NA表

示出来，最后利用三角形内角和定理进行代换即可；

(3)根据已知条件和角平分线的性质，求出/CB。和/8CQ,再利用三角形内角和定理进行计算；

(4)根据已知条件求出/项。的度数，然后由(3)求出的/。，利用三角形内角和求出NE,再分4

种情况讨论，求出NA的度数.

【解答】解：(1):BP,CP分别是NABC和NACB的角平分线，ZABC=50°,ZACB=60°,

ZPBC=—ZABC=25°,ZBCP=^-ZACB=3Q°,

22

ZPBC+ZBCP+ZBPC=180°,

AZBPC=1800-ZPBC-ZBCP=125°；

(2))-：BP,CP分别是/ABC和NAC2的角平分线，

：.ZPBC=^ZABC,ZBCP=^ZACB,

22

VZPBC+ZBCP+ZBPC=l^Q°,

ZBPC=180°-ZPBC-ZBCP

=180°-yZABC-yZACB

=180°-y(ZABC+ZACB)

=180°-y(180°-ZA)

=900弓/A；

(3)-：BQ,C。分别是NCBM,NBCN的角平分线，

.-.ZCBG=1ZCBM>NBCQ'NBCN,

ZCBM=ZA+ZACB,NBCN=ZA+ZABC,

.•.ZCB2=1ZA4AZACB,ZBCQ=1ZA+1ZABC,

'：ZCBQ+ZBCQ+Z2=1800,

卷(NACB+NABC)+N0=180。,

ZA-^(180°-ZA)+ZQ=180°，

六/。=90。-^/A；

(3)：2尸是/ABC的角平分线，2。是/CBM的角平分线，

：.ZPBC=^ZABC,NC8Q=//CBM，

VZABC+ZCBM=180°,

/.ZPBC+ZCBQ=j-(ZABC+ZCBQ)=90°，

ZQBE=ZPBC+ZCBQ=9O°,

由(3)知NQ=90°-//A'

Z£+Zg=90o,

•*-NE=/NA'

•.•在aBOE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，ZQBE=90°,

：.ZQ,/E都是锐角，

•••分四种情况讨论：

①NQ=3/E,

•，-90°-yZA=3XyZA>

2ZA=90°,

AZA=45°；

②NQBE=3NE,

•，•3XyZA=90°-

AZA=60°；

@ZBQE=3ZQ,

•••3(90。总NA)=90。，

270-1.5ZA=90°,

—120°,

@ZE=3ZQ,

■|ZA=3(90"-yZA)-

解之得：ZA=135°,

综上可知：NA的度数为45°或60°或120°或135°.

14.(2023春•商水县期末)【基本模型】

(1)如图1,在△ABC中，BP平分/ABC,CP平分外角NACO,试说明

2

【变式应用】

(2)如图2,NMON=90°,A,8分别是射线ON,OM上的两个动点，/ABO与NBAN的平分线的

交点为P,则点48的运动的过程中，/尸的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发

生变化，请说明理由.

【拓展应用】

(3)如图3,NMON=90°,作NMON的平分线。D,A是射线0。上的一定点，3是直线0M上的任

意一点(不与点。重合)，连接A3,设/A2。的平分线与NBA。的邻补角的平分线的交点为P,请直接

写出NP的度数.

图1图2图3

【分析】(1)根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和求出/P和NA,再根据角平分线的定

义NACn=2Nl,ZABC=2Z2,最后由NA=/AC。-/ABC进行等量代换即可；

(2)根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和求出/尸和NO,再根据角平分线的定义

=2/1,/ABO=2N2,最后由N0=NNA2-NAB。进行等量代换即可；

(3)根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和求出/尸和N40B,再根据角平分线的定义/

DAB^2Z1,/420=2/2,最后由NAOB=-/ABO进行等量代换即可；

【解答】解：(1)如图1所示：

平分/ACD,BP平分/ABC,

；./ACP=/NACD，/24/ABC,

*/ZACD=ZA+ZABC,

NACP=/NA+^NABC'

VZA+ZABC+ZACB^1SO°,

：.ZABC+ZACB=180°-ZA,

VZ2+ZP+ZACB+ZACP=180°,

•"-yZABC+ZP+ZACB4^-ZA-^ZABC=180°-

zABC+ZACB+ZP^ZA=180°，

180°-ZA+ZP+|ZA=180°，

•*-ZP=^ZA；

(2)/尸的大小不变，理由如下：

如图2所示：

VZ2+ZP=Z1,ZABO+ZO=ZNAB,

：.ZP=Z1-Z2,NAOB=NNAB-ZABO,

又平分/4BO,CA平分/7V/W,

：.ZNAB=2Z1,ZABO=2Z2,

：.ZAOB=ZNAB-ZABO^2(Z1-Z2)=2ZP,

ZP^-Z0=45°；

图2

(3)ZP=22.5°或67.5°,分两种情况：

①如图3所示：

VZ2+ZP=Z1,ZABO+ZAOB^ZDAB,

：.ZP=Z1-Z2,ZAOB=ZDAB-ZABO,

又平分/ABO,CA平分NDAB,

：.ZDAB=2Z1,ZABO=2Z2,

：.ZAOB=ZDAB-ZABO=2(Z1-Z2)=2NP,

ZP-j-ZA0B=22.5°；

②如图4所示：

VZ2+ZP=Z1,ZABO+ZAOB=ZDAB,

.\ZP=Z1-Z2,ZAOB=ZDAB-AABO,

又尸平分NAB。，AC平分NZMB,

：.ZDAB^2Z1,ZABO^2Z2,

：.ZAOB=ZDAB-ZABO=2(Z1-Z2)=2ZP,

ZP-|ZA0B=yX(90°+45°)=67.5°-

M

图4

15.(2023春•大荔县期末)我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”.例如，在图1中，△

AOB的内角/AO8与△C。。的内角/COO为对顶角，则△AOB与△C。。为“对顶三角形”，根据三角

形三个内角和是180°对顶三角形”有如下性质：ZA+ZB=ZC+ZZ).

性质理解：

(1)如图1,在“对顶三角形"zMOB与△CO。中，则NAOB=85°,则/C+NZ)=95°.

性质应用：

(2)如图2,在△ABC中，AD,BE分别平分NBAC和/ABC,若NC=60°,NADE比/BED大8°,

求/BED的度数.

拓展提高：

(3)如图3,BE、CD是△ABC的角平分线，且/8OC和/8EC的平分线。P和耳相交于点尸，设/

A=a,请尝试求出/尸的度数(用含a的式了表示/尸).

【分析】(1)由对顶三角形可得/A+NB=/C+/£>,再根据三角形内角和定理即可得到答案；

(2)由对顶三角形的性质以及三角形内角和定理得到NADE+NBEO=60°,再根据已知即可求解；

(3)利用三角形内角和定理求得NABE+NACD=90。-ya，再利用角平分线的定义求得/CEP=/(Z

ABE+ZA),ZCDP=y(ZACD+ZA)'最后根据对顶三角形的性质即可求解.

【解答】解：(1)由对顶三角形可得NA+/B=/C+/D,

在△AOB中，ZA+ZB=180°-ZAOB=180°-85°=95°,

：.ZC+ZD^95°.

故答案为：95；