2024-2025学年九年级数学上学期期中模拟卷（广州专用人教版九年级上册第21~23章）（全解全析）

2024-2025学年九年级数学上学期期中模拟卷

（广州专用）

（考试时间：120分钟试卷满分：120分）

注意事项：

I.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写

在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：人教版第21章一元二次方程+第22章二次函数+第23章旋转。

5.难度系数：0.68o

第一部分（选择题共30分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合

题目要求的）

1.下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

【答案】B

【详解】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；

B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意.

故选：B.

2.已知二次函数y=（x+/）2-2的图像上有三点/（1，乂），5（2,%）,C（-2,%）,则弘，%，力的大小关

系为（）

A.%>%>%B.了2>%>%C.D.y3>y2>

【答案】B

【详解】解：•.・二次函数y=(x+/『-2,

/.tz=1>0,开口向上，对称轴为直线％=-1,

.,.当x<-1时，V随X的增大而减小，当%>-1时，V随X的增大而增大，

vl<2,

%>必，

・•・1-(-1)=2,-1-(-2)=1,2>1,

乂>外,

故选：B.

3.方程14)=0的根是()

A.x=0B.x=14C.Xj=0,x2=14D.玉=0,x2=-14

【答案】C

【详解】解：vx(x-14)=0,

一.x=0或％-14=0,

:.%,=0,x2—14

故选C.

4.如图，在三角形/BC中，ZC=90°,ZB=35°,将三角形N8C绕点A按顺时针方向旋转到三角形

的位置，使得点。、4月在一条直线上，那么旋转角等于()

【答案】B

【详解】解：•.•"=90。,4=35。,

Z5^C=180°-ZC-Z5=55°,

由旋转的性质可知，MACi=NBAC=55°,

ZCAC}=180°一/B/C]=125。.

故选：B.

5.根据下列表格的对应值：可确定方程/+12》-15=0的一个根x的范围是。

X11.11.21.3

/+12x—15-2-0.590.842.29

A.1<x<1.1B.1.1<x<1.2C.1,2<x<1,3D.x>1.3

【答案】B

【详解】解：当x=l.l时，X2+12X-15<0,

当x=L2时，%2+12x-15>0）

所以方程/+12%-15=0的一个根工的范围是1.1<x<1.2；

故选：B.

6.春节期间电影《热辣滚烫》上映的第一天票房约为3亿元，第二、三天单日票房持续增长，三天累计票

房9.63亿元，若第二、三天单日票房增长率相同，设平均每天票房的增长率为x,则根据题意，下列方程

正确的是（）

A.3（l+x）=9.63B.3（1+x）2=9,63

C.3（l+x）+3（l+无『=9.63D.3+3（l+x）+3（l+无『=9.63

【答案】D

【详解】解：设平均每天票房的增长率为x,则第二天的票房为3（1+力亿元，第三天的票房为3（l+x）2亿

元，

由题意得，3+3（l+x）+3（l+x）2=9.63,

故选：D.

7.对于二次函数>=5（x+3）2的图象，下列说法不正确的是（）

A,开口向上B.对称轴是直线x=-3

C.顶点坐标为（-3,0）D.当x<-3时，y随x的增大而增大

【答案】D

【详解】解：因为二次函数的表达式为y=5（x+3）2,

所以抛物线的开口向上，故A说法正确；

又抛物线的对称轴是直线》=-3,故B说法正确;

因为抛物线的顶点坐标为（-3,0）,故C说法正确；

因为抛物线对称轴为直线x=-3,且开口向上，

所以当x<-3时，了随x的增大而减小.故D说法不正确；

故选：D.

8.如图，在△4BC中，^BAC=11O°,将"BC绕点A逆时针旋转100。得到UDE,点5的对应点为点

D,若点3,C,。恰好在同一条直线上，则/£的度数为（）

A.25°B.33°C.30°D.40°

【答案】C

【详解】解：•.・将△4BC绕点A逆时针旋转100。得到△4DE,

Z.BAD=100°,AB=AD,NC=NE,

.-.ZB=ZADB=40°,

■■ZBAC=\\Q°,

.­.ZC=180°-110o-40o=30°,

ZC=ZE=30°,

故选：C.

9.如图，若二次函数>="2+云+°（。70）的图象的对称轴为直线x=l,与y轴交于点C,与x轴交于点

A,点可-1,0）,则下列结论：@abc>0；②二次函数的最大值为a+6+c；（3）a-b+c<0；

@b2-4ac<Q;⑤当N>。时，-l<x<3；⑥3a+c=0；其中正确的结论有（）

【答案】A

【详解】解：•••二次函数对称轴在y轴右侧，与y轴交在正半轴，

ab<0fc>0,abc<0.

•••故①不正确；

・•,二次函数了="2+区+f("0)图象的对称轴为直线》=1,

••・顶点坐标为(1，a+b+c),且开口向下，二次函数的最大值为a+6+c,

故②正确；

•••抛物线过8(T，0),

=时，y=0,即a-6+c=0,

故③不正确；

,•・抛物线与X轴有两个交点,

b2-4ac>0,

故④不正确；

・••对称轴为直线尤=1,

由图象可知，T<x<3时，y>0,

故⑤正确；

x-匕-1,即6=—2a,

2a

而x=-l时，歹=0,即Q-6+C=0,

：.a+2a+c=0,

•••c+3。=0.

故⑥正确.

故选：A.

10.如图，已知菱形0/3C的顶点0(0,0),2(2,2),若菱形绕点。逆时针旋转,每秒旋转45。，则第20秒时,

菱形的对角线交点。的坐标为()

A.(1,-1)B.(-1,-1)C.D.(0,-

【答案】B

【详解】解：••・菱形0/3C的顶点0(0,0)](2,2),

5。与x轴的夹角为45。，

••・菱形的对角线互相垂直平分，

，点。是线段的中点，

.••点。的坐标是(1,1),

•••菱形绕点。逆时针旋转，每秒旋转45。,360。+45。=8,

••・每旋转8秒，菱形的对角线交点就回到原来的位置(1,1),

•••20+8=2……4,

・•・第20秒时是把菱形绕点O逆时针旋转了2周回到原来位置后，又旋转了4秒，即又旋转了4x45。=180。,

.•.点。的对应点落在第三象限，且对应点与点。关于原点。成中心对称，

・•・第20秒时，菱形的对角线交点D的坐标为(-LT).

故选：B

第二部分(非选择题共90分)

二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，满分18分)

11.抛物线y=(x-ir+2的顶点坐标是.

【答案】(1,2)

【详解】解：因为y=(x-l)2+2是抛物线的顶点式，

根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为(1,2).

故答案为(1,2).

12•点(2,-3)关于原点成中心对称的点坐标是.

【答案】-2,3)

【详解】解：由题意得：点⑵-3)关于原点成中心对称的点坐标是(-2,3),

故答案为：(-2,3)

13.已知关于x的一元二次方程x2-3x-0=O两个根为再、当，则为+%=.

【答案】3

【详解】解：一元二次方程x2-3x-亚=0两个根为西、声，

b-3

贝ij：――=---=3.

a1

故答案为：3.

14.如图，在△力5。中，ZC=90°,^5=10cm,BC=8cm,点尸从点4沿/C向点。以lcm/s的速度运

动，同时点0从点C沿CB向点5以2cm/s的速度运到(点。运动到点8停止)，在运动过程中，四边形P45Q

的面积最小值为cm2.

【答案】15

【详解】解：在中，ZC=90°,^5=10cm,BC=8cmf

AC=^AB2-BC2=6cm，

设运动时间为右（0<^<4）,则PC=（6-/）cm,CQ=2tcm,

一S四边形尸48。-S^ABC-S&CPQ

=^AC-BC-^PC-CQ

=gx6x8-；（6-f）x27

t2-6t+24

=(Z-3)2+15

...当/=3时，四边形尸的面积取最小值，最小值为15cm2.

故答案为：15.

15.如图，在矩形48co中，对角线/C与9相交于点。，已知//C8=25。，则-408的大小是.

【答案】50°

【详解】解：由矩形ABCD中，对角线/C,即相交于点。，ZACB=25°,得48C=90。,

ZBAO=90°-ZACB=65°.

由。/=。3,得是等腰三角形,

ZAOB=180°-65°-65°=50°,

故答案为：50°.

16.在平面直角坐标系xQy中，开口向下的抛物线yuaf+Zw+c的一部分图象如图所示，它与x轴交于/

••・抛物线与x轴交于/(1,0),与y轴交于点3(0,3),

a+b+c=0

c=3

-,-a+b=-3,

,：b<0,

-3<tz<0.

故答案为：-3<aV0.

三、解答题(本大题共9小题，满分86分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本题4分)解方程：X2-6X=-8

【详解】解：•・•/-6X=-8

.-.X2-6X+8=0,……（1分）

—4）=0,......（2分）

%=2,X2=4..........（4分）

分别按下列要求画图:

(2)绕点。顺时针旋转90。；

并与x轴交于点A(2,0).

（2）设抛物线的顶点为B,求AOAB的面积S.

【详解】解：（1）,抛物线y=-x2+bx+c经过坐标原点和点A（2,0）,

fc=0

A[0=-4+2/>+c，……°分）

抛物线的解析式为：y=-x2+2x；……（3分）

（2）•■•y=-x2+2x,

••.y=-（x-1）2+l.

.•.B（1,1）..........（4分）

1,■SAAOB—~X2X1—1.........（5分）

答：△OAB的面积为1.........（6分）

20.（本题6分）已知关于x的一元二次方程/-（左+l）x+2"2=0.

⑴求证：此方程总有两个实数根；

（2）若此方程有一个根大于0且小于1,求人的取值范围.

【详解】（1）证明：由题意得，△=[-（左+1）7一4（2左一2）……（1分）

=於+2%+1—8）+8

=k2-6k+9

=（"3『，

•••（*-3）2>0,……（2分）

A>0,

此方程总有两个实数根；……（3分）

（2）（左+l）x+2左一2=。，

（x—左+1）（%—2）=0,（4分）

解得x=2或％=左一1,

•••此方程有一个根大于0且小于1,

0<A:-1<1,.....（5分）

:.\<k<2..........（6分）

21.（本题8分）如图，矩形4BC。绕3点旋转，使C点落到40上的£处，AB=AE,连接AG.

F

（1）求证：AF=AG；

（2）求/G/尸的度数.

【详解】（1）证明：=,

ZABE=ZAEB,......（1分）

•.•矩形4BCD绕5点旋转，

ZGBE=ZFEB=90°,BG=EF,……（2分）

ZABG=NAEF,

AABG=AAEF（SAS）,……（3分）

AG=AF-……（4分）

（2）解：；AB=AE,ZBAE=90°,

ZABE=ZAEF=45°,

ZABG=ZAEF=45°,……（5分）

矩形48co绕3点旋转，

AB=BG,AE=EF,……（6分）

/.BAG=AEAF=1（180°-45°）=67.5°,……（7分）

ZGAF=360°-ZBAE-ZBAG-ZEAF=360°-90°-67.5°-67.5°=135°.........（8分）

22.（本题10分）如图，在RtZ\48C中，ZS=9O°,4B=6cm,2C=10cm,点P从点/开始沿/g边向点

2移动，速度为lcm/s；点。从点8开始沿8C边向点C移动，速度为2cm/s,点尸、0分别从点48同时

⑴几秒时，尸。的长度为4后cm?

⑵几秒时，APBQ的面积为8cm2?

⑶当《0<，<5）为何值时，四边形NP0C的面积最小？并求这个最小值.

【详解】（1）解：设运动时间为f秒时，P。的长度为4缶m，

依题意得：AP=tcm,BQ=2fcm,0</<5,……（1分）

PB=（6-/）cm,

NB=90°,

:.PB2+BQ2=PQ2,

.•.（6-丫+（202H.........（2分）

2

解得：f=2或歹

2

.•.2秒或二秒时，尸。的长度为4亚m;……（3分）

（2）解：设运动时间为f秒时，APB。的面积为8cm2,

依题意得：AP=fem,BQ=Item,0<t<5,

P5=（6-r）cm,……（4分）

•・•△尸5。的面积为8cm2,

—x（6—Z）x2?=8..........（6分）

解得：f=2或4.

.•・2秒或4秒时，△尸8。的面积为8cm2；……（6分）

（3）解：四边形ZP0C的面积=S4ABe-S^PBQ，……（7分）

^ABBC-^BQPB……（8分）

=1x6xlO-1（6-Z）-2z

=r-6；+30

=（-3）2+21,……（9分）

.•・当才=3时，四边形/尸。。的面积最小，最小值为21....（10分）

23.（本题10分）深圳某企业研制出一种新型科技产品，每件产品的成本为2400元.在该产品的试销期间,

为促销，企业决定：商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次购买该种产

品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元;

且商家一次性购买该产品不能超过60件.

⑴商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元？

（2）设商家一次购买这种产品x件，该企业所获的利润为y元.在企业规定范围内，商家购买多少件时，企

业可获得最大利润？最大利润是多少？

【详解】（1）设商家一次购买该产品x件时，销售单价恰好为2600元....（1分）

3000-10（x-10）=2600,……（3分）

解得：x=50；……（4分）

（2）当0<x（10时，y=（3000-2400）x=600%,（5分）

此时，当x=10时，3大=600x10=6000（元）....（6分）

当10<xW50时，

j；=[3000-10（x-10）-2400]x=-1Ox2+700x=-10（x-35）2+12250,……（7分）

此时，当x=35时，>最大=12250（元）....（8分）

当50<xW60时，y=（2600-2400）x=200x,……（9分）

止匕时，当x=60时，y最大=20x60=12000（元）.

综上所述，当商家购买35件时，企业可获得最大利润，最大利润是12250元……（10分）

24.（本题12分）已知：是等腰直角三角形，动点P在斜边所在的直线上，以PC为直角边作等

腰直角三角形尸C。，其中NPCO=90。，探究并解决下列问题：

①线段，PB=；

②猜想：尸斤,尸长，尸02三者之间的数量关系为.（提示：连接8。）

⑵如图②，若点P在奶的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你给出证明过程；

⑶若动点P在线段48上，满足R4:尸3=1:3,求PC:/C的值.

【详解】（1）解：①•三角形ABC是等腰直角三角形，/C=3,

AB=yjAC2+BC2=V32+32=3A/2>……（1分）

PA=6,

■-PB=AB-PA=342-42=242.........（2分）

（2）PA2+PB2=PQ2,

证明：如图1,过C作于点。，则△/DC是等腰直角三角形，△/C2为等腰直角三角形,

•••PA2=(AD-PD)2=(CD-PD)2=CD2-2CDPD+PD2,

PB1=(BD+PD)2=(CD+PD)2=CD2+2CD-PD+PD2,

PA2+PB2=2CD2+2PD2=2[CD2+PD2),

在RtAPCD中，由勾股定理可得%2=。2+尸加，

■■PA2+PB2=2PC2,

•・・△CP。为等腰直角三角形，且/尸CQ=90。,

2PC2=PQ2,

：.PA2+PB2=PQ2■,……（4分）

(2)证明：如图2,过C作CDLA8于点。,

CD=AD=DB,......（5分）

PA2=（AD+PD）2=（CD+PD）2=CD2+2CD-PD+PD~,

PB2=（PD-BD）2=（PD-CD）2=CD2-2CD-PD+PD2,

2222

PA+PB=2CD+2PD=2（CZ>2+p〃2）,……（6分）

在RtAPCD中，由勾股定理可得PC2=C£>2+尸〃2,

■-PA2+PB2=2PC2,……（7分）

“。尸。为等腰直角三角形，且〃C0=9O。，

2PC2=PQ2,

■.PA2+PB2=PQ2-,……（8分）

（3）过点。作CDL48于点。，如图3,当点尸在线段上时,

图3

尸/_1

,砺一3'

：.PA=-AB=-CD=-AD=PD,……（9分）

422

在Rt^CPA中，由勾股定理可得尸C==Jcz>2+（gcz）j=.CD,

在RUACD中，由勾股定理可得/C=y/AD2+CD2=y]CD2+CD2=册CD……（10分）

—CDI-

PC_2；……（11