2024-2025学年人教版八年级数学上册特训：全等三角形高频考点-半角模型原卷版

特训09全等三角形高频考点一一半角模型

【基本模型】

(1)条件：如图，正方形ABCD,AMAN=45°，

作法：在延长线上截取彳吏得DE=BM,连接ZE,

结论：①AABM'ADE；②AAMNAAEN；③BM+DN=MN.

(2)条件：如图，△NBC为等边三角形，△5QC是等腰三角形，BD=DC,ZBDC=120°,

NEDF=60°,

作法：在ZC延长线上截取CG,使得CG=8£,连接。G,

结论：①AEBDWGCD；②&FEDAFGD；③BE+CF=EF.

D

【特训过关】

1.如图，△ABC是边长为a的等边三角形，AADC是等腰三角形，且N5£）C=120。，以。为顶点做一

个60。角，使其两边分别交4B于点“，交AC于点、N,连接MN,则的周长是（）

A.aB.2aC.3aD.不能确定

2.如图，RtdBC中=AC,D、E为8c边上两点，且/CUE=45°,将△4DC绕点/顺时针旋转

90°后，得到"FB,连接EF.下列4个结论:①AADC-AFB；②AABE'ACD；③AAED'AEF；

④8£+£/=5C—AF.正确的有（）个.

3.如图，在AZBC中，AB=AC,ZBAC=90°,直角NEPE的顶点尸是BC的中点，两边尸£、

PF

分别交/3、/C于点E、F,连接ER交/。于点G,以下五个结论：®ZB=ZC=45°；②

AP=EF；

3

③N4FP和NZEP互补；④△£//是等腰直角三角形；⑤四边形的面积是△48C面积的一，其

中

正确的结论是（）

B

A.①②③B.①②④⑤C.①③④⑤D.①③④

4.如图，在四边形Z8CD中，AB=AD,N8+ND=180°,点E,尸分别是BC,CD上的点，且

EF=BE+FD,若NEAF=55°,求N84D的度数.

5.如图，在四边形48CD中，AB=AD,ZB+ZD=180°,E,尸分别是边8C,CD上的点，且

ZEAF=-ZBAD,求证：EF=BE+FD.

2

6.如图，在四边形Z5CD中，AB=AD,ZB=ZD=9Q°,E、尸分别是边5C、CD上的点，且

ZEAF=-ZBAD.求证：EF=BE+FD.

2

7.己知，如图，在四边形48CD中，ZB+ZD=180°,AB=AD,E,尸分别是线段5C,CD上的点,

且BE+FD=EF.求证：ZEAF=-ZBAD.

2

BEC

8.如图.在四边形48CD中，ZB+ZADC=130°,AB=AD,£、尸分别是边8C、CD延长线上的

点，且NEAF'/BAD,求证：EF=BE-FD.

2

9.如图，在四边形25。。中，Z5+ZC=180°,DB=DC,ZBDC=120°,以。为顶点作一个

60°

角，角的两边分别交AB、ZC于£、尸两点，连接£尸，探索线段BE、CF、E尸之间的数量关系，并

加以证明.

D

10.在四边形48CD中，AB=AD,ZB=ZD=90°,ZBCD=120°,现将一个30°角的顶点落在点

A处.

（1）如图①，当该角的两边分别与8C、CD边相交于E、尸时.求证：EF=BE+FD；

（2）现在将该角绕点/进行旋转，其两边分别与5C、CD边的延长线相交于点R那么（1）中的结论是

否仍然成立？若成立，说明理由；若不成立，试探究线段5£、跖与。尸之间的等量关系，并加以证

明.（利用图②进行探索）

11.如图1,在正方形48CD中，E、尸分别是3C,CD上的点，且2区4尸=45°.则有结论

EF=BE+FD

成立;

(1)如图2,在四边形N5CD中，AB=AD,ZB=ZADC=9Q°,E、尸分别是BC,CD上的点，且

NE4F是/24。的一半，那么结论斯=8E+ED是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请说明理

由.

(2)若将(1)中的条件改为：如图3,在四边形Z5CD中，AB=AD,N8+NZQC=180°,延长8c

到点E,延长CD到点尸，使得NE4/仍然是/氏4。的一半，则结论跖是否仍然成立？若成

立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系并证明.

E

12.通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整.

原题：如图1,点E、厂分别在正方形48CQ的边DC、8c上，ZEAF=45°,连接斯，试猜想跖、

BF、QE之间的数量关系.

把绕点/顺时针旋转90。至AZBG,可使ZQ与Z8重合，由NZ5G=ND=90°,得

ZFSG=180°,即点尸、B、G共线，易证AZPG等,故EE、BF、QE之间的数量关系

(2)类比引申

如图②，在四边形N5CQ中，AB=AD,ZABC=ZADC=90°.E、尸分别是。C、5c上的点.且

ZEAF=-ZBAD.猜想图中线段AF\EF、之间的数量关系.

2

(3)拓展提高

如图③，若在四边形Z5CD中，AB=AD,Z5+ZD=180°.E、尸分别是5C、CD上的点，且

ZEAF=-ZBAD,探究上述结论是否仍然成立？说明理由.

2

13.同学们，在初一学习正多边形和圆这节课时，我们就学习过四边形的内角和等于360°.下面我们就在

四边形中来研究几个问题：

（1）问题背景：

如图1：在四边形48co中，AB=AD,ZBAD=120°,ZB=ZADC=90°,£、尸分别是8C、CD

上的点，且NE4F=60°,探究图中线段8£、EF、ED之间的数量关系.

小王同学探究此问题的方法是，延长ED到点G,使。G=5£.连接/G,先证明△48E等AZDG,再

证明△ZEE咨AZGP,可得出结论，他的结论应是；

G

图1图2图3

（2）探索延伸：

如图2,若在四边形4BC。中，AB=AD,ZB+ZD=180°,E、/分别是3C、CO上的点，且

ZEAF=-ZBAD,上述结论是否仍成立，并说明理由；

2

（3）实际应用：

如图3,在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（点。处）北偏西30°的/处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°

的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等.接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以45海里/时的速度前进,

同时，舰艇乙沿北偏东50°的方向以60海里/时的速度前进，2小时后，指挥中心观察到甲、乙两舰艇分别

到达E、F处,且两舰艇之间的夹角为70°,试求此时两舰艇之间的距离.

14.【感知】如图①，点〃是正方形48CD的边5c上一点，点N是CD延长线上一点，且建4LZN,

易证AABM'ADN,进而证得次彼=QN(不要求证明)

【应用】如图②，在正方形4BCD中，点E、尸分别在边8C、CD上，且NE1F=45°.求证：

BE+DF=EF.

【拓展】如图③，在四边形/BCD中，AB=AD,ZBAD=90°,N/8C+NZQC=180°,点£、尸

分别在边8C、C。上，且NE4F=45°,若50=3,所=1.7,则四边形8EED的周长为.

15.(1)阅读理解：

如图①，在AZBC中，若48=5,AC=3,求8c边上的中线ZD的取值范围.

解决此问题可以用如下方法：

延长到点E使。E=2。，再连接BE,这样就把N5,AC,2ND集中在ANBE中，利用三角形三

边的关系可判断线段NE的取值范围是；则中线的取值范围是；

(2)问题解决：

如图②，在4幺台。中，。是5c边的中点，DELDF于点、D,DE交AB于点、E,DF交AC于点、F,

连接跖，此时：BE+CFEF(填或“="或“<”)；

(3)问题拓展：

如图③，在四边形Z5CD中，Z5+ZD=180°,CB=CD,NBC。=140°,以C为顶点作

ZECF=70°,边CE,CE分别交48,4D于E,尸两点，连接斯，此时：BE+DFEF

(填“>”或“=”或“<")；

(4)若在图③的四边形Z5CD中，ZECF=a(0°<a<90°),Z5+ZD=180°,CB=CD,且

(3)

中的结论仍然成立，则N8CQ=(用含a的代数式表示).

16.【问题情境】神奇的半角模型

在几何图形中，共顶点处的两个角，其中较小的角是较大的角的一半时，我们称之为半角模型.截长补短

法是解决这类问题常用的方法.

如图1,在正方形48CD中，以/为顶点的N£XF=45°,AE.AF与BC、CD分别交于£、厂两点,

为了探究£尸、BE、依之间的数量关系，小明的思路如下：

如图2,延长C8到点“，使BH=FD,连接NX,先证明△ZD尸注，再证明△N8E咨AZEE.从

而得到斯、BE、ED之间的数量关系.

(1)提出问题：EF、BE、之间的数量关系为.

(2)知识应用：如图3,AB=AD,NB=ND=90°,以/为顶点的NB4D=120°,ZEAF=60°,

AE、AF与BC、C。分别交于K、尸两点，你认为(1)中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程;

若不成立，请说明理由.

(3)知识拓展：如图4,在四边形45co中，AB=AD=a,BC=b,CD=c.N45。与ND互补,

AE、AF与BC、CD分别交于£、尸两点，且NEAF=L/B4D,请直接写出△£/(的周长

2

17.已知，在四边形48CD中，AB=AD,ZB+ZADC=,£、尸分别是边BC、CD上的点，且

ZEAF=-ZBAD.

2

(1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1,当/B=NZQC=90°时.

小王同学探究此问题的方法是：延长到点G,使。G=8£,连接ZG.

请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路.

小明的解题思路：先证明ANBE也；再证明了AZE尸m,即可得出BE,EF,FD

之间的数量关系为.

(2)请你借鉴小王的方法探究图2,当N8+NZDC=180。时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证

明你的结论，如果不成立，请说明理由.

(3)如图3,若E、尸分别是边8C、C。延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段EF、BE、FD

之间的数量关系为.(不用证明)

图

图12

18.已知四边形Z5CQ中，ABLAD,BCVCD,AB=BC,ZABC=120°,ZMBN=60°,

NMBN

绕2点旋转，它的两边分别交Z。，DC(或它们的延长线)于E、F.

(1)当NMBN绕3点旋转到ZEwCR时，求证：AE+CF=EF.

(2)当NMBN绕2点旋转到NEWCP时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段

AE,CF,EE又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.

19.(1)如图1,四边形Z8C。是边长为5c加的正方形，E,尸分别在ZD,CD边上，AEBF=45°.为

了求出△。所的周长.小南同学的探究方法是：

如图2,延长EZ到X,使AH=CF,连接初，先证—BH'CBF,再证AEBHAEBF,得

EF=EH,从而得到&DEF的周长=cm；

图1图2

(2)如图3,在四边形/BCD中，AB=AD,ZBAD=100°,ZB=ZADC=90°.E,尸分别是线段

BC,CD上的点.且NE4尸=50°.探究图中线段EE,BE,ED之间的数量关系；

(