2024-2025学年人教版初中数学九年级上册专项提升练习：圆的切线的判定与性质（30题）（解析版）

专题第01讲圆的切线的判定与性质

1.(2023•灌云县校级模拟)如图，点尸是O。外一点，B4与相切于A点，B,C是上的另外两点,

连接AC,BC,ZAPB+2ZACB=180°,

(1)求证：PB是O。的切线；

(2)若BC〃B4,。。的半径为5,BC=6,求的长.

【分析】(1)连接。4,。2,由圆周角定理和已知条件/4尸2+乙4。8=180°,得出/04尸+/02尸=180°,

求出NOBP=90°,即可得出结论；

(2)延长AO并延长交BC于。，连接OC,过尸作PQ_LBC于。，由垂径定理得出C£)=BD=3,由勾

股定理得出。。=2,AD=9在RtZ\PB。中，设B4=x,由勾股定理得出方程，解方程即可

【解答】(1)证明：连接OA,OB,如图1所示：

图1

VZAPB+2ZACB=180°,ZAOB=2ZACB,

：.ZAPB+ZAOB=180°,

：.ZOAP+ZOBP=1^0,

;以切0。于点A,

：.PA±OA,

：.ZOAP=9Q°,

：.ZOBP=9Q°,

：OB是半径，

是。。的切线；

(2)解：延长49并延长交8C于。，连接OC,过尸作PQLBC于。，如图2所示:

图2

U：PA±OA,BC//PA,

：.AD±BC,

CD=BD=yBC=3;四边形4。。°是矩形，

OD=7OC2-CD2=752-32=4，

AZ>=OA+OD=5+4=9,

VBA,PB是O。的切线，

：.PA=PB,

在Rt/XPBQ中，设PB=E4=x,贝i]8Q=x-3,

由勾股定理得：（尤-3）2+92=/,

解得：x=15,

即PA的长为15.

2.（2023•汉川市校级模拟）如图，AB,A。是。。的弦，A。平分NBAD过点8作。。的切线交AO的延

长线于点C,连接CD.8。延长80交。。于点E,交于点孔连接AE,DE.

（1）求证：CD是。。的切线；

（2）若AE=DE=10,求AF的长.

【分析】（1）欲证明C£>是。。的切线，只要证明/CJDO=/C8O=90°,由△COBq/XCO。即可解决

问题.

（2）先证明/A4O=NOAr>=/ZME=NABO=30,在RtZXAE/中利用30度性质以及勾股定理即可解

决问题.

【解答】（1）证明：如图，连接OD

,.,BC为圆。的切线

.\ZCBO=90°.

平分/BAO,

：.ZOAB^ZOAF.

"：OA=OB=OD,

：.ZOAB=ZABO=ZOAF=ZODA,

"：ZBOC^ZOAB+ZOBA,ZDOC=ZOAD+ZODA,

：.ZBOC=ZDOC,

在△COB和△COD中，

rco=co

•ZCOB=ZCOD>

OB=OD

/.BOC^ADOC,

：.ZCBO^ZCDO^90°,

.••CD是。。的切线；

(2)'JAE^DE,

/.AE=DE-

：.ZDAE^ZABO,

：.ZBAO=ZOAD=ZABO

：.ZBAO^ZOAD=ADAE,

；BE是直径,

Z.ZBA£=90°,

：.ZBAO=ZOAD=ZDAE=ZABO=30°,

ZAFE=90°,

在RtAAFE中，

VAE=10,ZDAE=3Q°,

/.EF=AAE=5,

2

AF=VAE2-EF2=V102-52=5«・

3.(2023•金东区一模)如图，AB为。。的直径，CD为弦,且CD_LAB于E,尸为54延长线上一点，CA

恰好平分/FCE.

(1)求证：BC与。。相切；

(2)连接0。，OD//AC,求处的值.

【分析】(1)连接。C,则NOCA=/OAC,由CO_LAB于E,得/AEC=90°,1^ZACF=ZACE,则

ZOCF=ZOCA+ZACF=ZOAC+ZACE=9Q°,即可证明FC与0O相切；

(2)由等腰三角形的“三线合一''得/C。尸=/。。尸，由OD//AC,^ZDOF=ZOAC,所以NCOF

=ZOAC=ZOCA=60°,则/尸=30°,所以OA=OC=2OF,贝U4尸=。4=工48,即可求得空=工.

22AB2

【解答】(1)证明：连接OC、则。C=OA,

：.ZOCA=ZOAC,

CDLAB于E,

：.ZAEC=90°,

'：CA平分/FCE,

：.ZACF=ZACE,

：.ZOCF=ZOCA+ZACF^ZOAC+NACE=90°,

•.•尸C经过。。的半径OC的外端，且FCLOC,

.,.尸C与O。相切.

(2)解：AOC=OD,OFLCD,

：.ZCOF=ZDOF,

'：OD//AC,

：.ZDOF=ZOAC,

：.ZCOF^ZOAC=ZOCA=60°,

/.ZF=30°,

：.OA=OC=^-OF,

2

AF—OA=­AB,

2

4.（2023秋•海淀区校级月考）如图，AB为。。的直径，OCJ_AB交。。于点C,D为OB上一点，延长

C。交。。于点E,延长08至尸，使DF=FE,连接EF.

(1)求证：EF为。。的切线；

(2)若。。=1且BD=BF,求。。的半径.

【分析】(1)连接OE,根据等边对等角结合对等角相等即可推出结论；

(2)设。0的半径EO=BO=r,贝I]BD=BF=r-1,FE=2BD=2(r-1),在Rt△尸EO中，由勾股定

理得得出方程求解即可.

'：OE^OC,

：.ZOEC=ZOCE,

"：DF=FE,

：.ZFED=ZFDE,

"：ZFDE=ZCDO,ZCDO+ZOCD=90°,

:.NFED+/OEC=9U°,

即/FEO=90°,

：.OE±FE,

；OE是半径，

为。。的切线；

(2)解：设。。的半径E0=80=r,则尸=”1,

：.FE=2BD=2(r-1),

在RtZXFE。中，由勾股定理得，

FE2+OEZ=OF2,

：.(2r-2)2+r=(2r-1)2,

解得r=3,或r=l（舍去），

二。。的半径为3.

5.（2023•昆明模拟）如图，在Rt^ABC中，/C=90°,点、D,E,P分别是边AB,BC,AC上的点，以

为直径的半圆。经过点E,F,且施亩.

（1）求证：BC是半圆。的切线；

（2）若/8=30°,AB=12,求CF的长.

【分析】（1）连接AE,OE,根据已知条件得到NC4E=ND4E,根据等腰三角形的性质得到N£AO=

AEO,根据平行线的性质得到NOEB=90°,根据切线的判定定理即可得到结论；（2）根据总体上进行

的性质得到AC=/AB=6，OB=2OE,求得OD=BE,于是得到结论.

【解答】（1）证明：连接AE,OE,

VDE=EF.

：.ZCAE=ZDAE,

'：OA=OE,

：.ZEAO=ZAEO,

：.ZCAE=ZAEO,

J.AC//OE,

VZC=90°,

：.ZOEB=90°,

•.,OE是0O的半径，

...BC是半圆。的切线；

（2）解：VZC=ZOEB=90°,NB=30°,AB=12,

，OB=2OE,

"：OE=OD,

：.OD=BE,

：.OA=OE=OD=4,

.•.AD=8,

AF=yAD=4'

：.CF^AC-AF^2.

c

E

6.(2023•长安区校级二模)如图，在四边形ABC。中，ZC=90°,连接8D,恰好是/AOC的平分线,

以AD为直径作O。，OO经过点B,C£)的延长线交。。于点E,连接AE.

(1)求证：8C是。。的切线；

(2)若BC=6,DE=8,求O。的半径.

【分析】(1)连接。2,利用同圆的半径相等，角平分线的定义，平行线的判定与性质的08LBC,再利

用圆的切线的判定定理解答即可；

(2)延长80,交AE于点尸，利用矩形的判定与性质定理得到ObLAE,EF=BC=6,利用垂径定理得

到AE的长，再利用勾股定理解答即可得出结论.

【解答】(1)证明：连接。8,如图，

•：OD=OB,

：.ZODB=ZOBD,

；£)2恰好是/ADC的平分线，

：.ZODB=ZCDB,

:.NCDB=N0BD,

J.OB//CD.

：.ZOBC+ZC=1SO°.

VZC=90°,

：.ZOBC^90°,

：.OBLBC,

是OO的半径，

.♦.BC是OO的切线；

（2）解:延长80,交AE于点R

,：AD为直径，

ZE=90°,

9：ZOBC=90°,ZC=90°,

・・・四边形石尸3。为矩形，

：.ZEFB=90°,EF=BC=6.

：.OFLAE,

.\AF=EF=6,

：.AE=12.

•'-AD=VAE2+DE2=V122+82=4，^13.

：.Q0的半径=±48=2/］百.

7.(2023•金寨县校级模拟)如图，是O。的直径，CD=CB,AC,2。相交于点E,过点C作CF〃&),

CF与的延长线相交于点R连接AD

(1)求证：B是。。的切线；

(2)若43=10,BC=6,求AO的长.

【分析】(1)连接OO,连接OC交3。于M,由圆心角、弧、弦的关系推出NCOO=NCOB,由。。=

OB,得到OCJ_B。，XCF//BD,因此半径。C_LCF,即可证明C尸是。。的切线；

(2)设。"=羽由勾股定理得到6?-(5-x)2=52-%2,求出x=1.4,由三角形中位线定理，得到AZ)

=2OM=2x=2.8.

【解答】(1)证明：连接0。，连接OC交3。于

■;CD=CB,

・,・而=前，

：.ZCOD=ZCOB.

•：OD=OB,

：.OCLBD,DM=BM,

*：CF//BD,

，半径OCLCF,

是。。的切线；

（2）解：设OAf=x,

OC=』AB=5,

2

/.MC=5-x,

\,BM1=BC2-CAfi=OB2-OM2,

/.62-(5-x)2=52-x2,

・.・A0=05,DM=BM,

：.OM是△BAD的中位线，

.\AD=2OM=2x=2.S.

8.（2023•甘南县一模）如图，已知AB是O。的直径，点C在O。上，AOLOC于点。，AC平分

（1）求证：直线C。是。。的切线；

（2）若AB=4,ZDAB=60°,求A。的长.

【分析】（1）连接OC,先证出NOCA=NZMC,得OC〃A。，再由平行线的性质得CDLOC,即可得

出结论；

（2）连接BC,先由圆周角定理得/ACB=90°,由角平分线定义得ND4C=/BAC=30°,再由含30°

角的直角三角形的性质得BC=》B=2,AC=MBC=2M，进而得出答案.

【解答】（1）证明：连接OC,如图1所示：

'：OA=OC,

：.ZOAC=ZOCA,

平分/ZMB,

图1

：.ZDAC=ZOAC,

：.ZOCA=ZDAC,

：.OC//AD,

'JADLDC,

C.CDLOC,

又：0c是O。的半径，

...直线co是。。的切线；

(2)解：连接BC,如图2所示：

是O。的直径，

AZACB=90°,

•.,人(7平分/。48,ZDAB=60°,

：.ZDAC=ZBAC=30°,

：.BC=-^AB=2,AC=MBC=2M，

"：AD±DC,

：.ZADC=90°,

：.CD=^-AC=43,AD=MCD=3.

2

9.（2023•云梦县校级三模）如图，在中，ZC=90°,在AC上取一点。，以为直径作。。,

与A2相交于点E,作线段BE的垂直平分线MN交8C于点N,连接EN.

（1）求证：EN是。。的切线；

（2）若AC=3,BC=4,O。的半径为1,求线段EN的长.

【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质以及直角三角形的两锐角互余得出/

NEM+ZAEO=90°即可；

（2）利用线段中垂线的性质以及勾股定理列方程求解即可.

【解答】（1）证明：如图，连接。E,

'：OA=OE,

：.ZOAE=ZOEA,

YMN是AB的中垂线,

：.NE=NB,

：.NB=NNEB,

「△ABC是直角三角形，ZACB=90°,

AZB+ZA=90°,

；./NEB+/0EA=9Q°,

；.NOEN=180°-90°=90°,

即OELEN,

是半径，

是O。的切线；

(2)解：如图，连接ON,

,:MN是AB的中垂线，

：.NE=NB,

设EN=x=BN,

在RtZXCON中，oG=od+ca,

在RtZXOEN中，Oa=O殍+Ed,

：.OC2+C?/2=OE2+E?/2,

即(3-1)2+(4-x)2=12+/,

解得

8

即EN=—.

8

10.(2023•桑植县模拟)如图，AB是O。的直径，点C是劣弧3。中点，AC与8。相交于点E.连接BC,

/BCF=ZBAC,CF与AB的延长线相交于点F.

(1)求证：C?是O。的切线；

(2)求证：/ACD=NF；

(3)若AB=10,BC=6,求的长.

C

D

E

【分析】(1)连接OC,由圆周角定理得NACO+NOC3=90°,再由等腰三角形性质及切线的判定定理

可得结论；

(2)根据同圆中等弧对等角、等角对等弧可得答案；

(3)设。”为％,则为(5-x),根据勾股定理可得方程，求得0〃的长，再根据三角形中位线定理

可得答案.

AZACB=90°,

AZACO+ZOCB=90°,

*：OA=OC,

：.ZBAC=NACO,

■:/BCF=/BAC,

：.ZBCF+ZOCB=90°,

.,-ZOCF=90°,

・・・0cLeR

・・・C尸是OO的切线.

（2）・・,点。是前中点，

.e.CD=BC，

：.ZCAD=ZBAC,

•：NBCF=NBAC,

:・NCAD=NBCF,

VCD=3.

：.ZCAD=ZCBD,

：.ZBCF=ZCBD,

：.BD//CFf

・•・ZABD=ZF,

VAD=AD)

・•・ZACD=ZABD,

：.ZACD=ZF.

(3)如图：

\9BD//CF,OCLCF,

：.OC上BD于点、H,

设。〃为x,则CH为(5-x),根据勾股定理,

62-(5-x)2=52-x2,

解得：

TOH是中位线,

14

•'-AD=20H=—•

b

11.(2023秋•台江区校级月考)如图，A8是。。的直径，加为。。的切线，弦ACLPO,垂足为连接

PC.

(1)求证：PC是。。的切线；

(2)若以=42,连接求证：BM=V2CM-

【分析】(1)证明△B4O出△POC(SSS),即可求解；

(2)证明电△ABC(44S),得到△BCM为等腰直角三角形，即可求解.

【解答】证明：(1)连接OC,

p

M

AB

0

9

\AC±PO9

则尸。是AC的中垂线，则B4=PC,

'：AO=OC,OP=OP,

.,.△B40^AP0C(SSS),

：.ZPCO=ZPAO=90°,

・・・尸。是。。的切线;

(2)连接3C,则NAC8=90°=APAB,

'COMLAC,BC1.AC,

贝!JOM//BC,

贝!JNPO4=NABC,

VZB4M+ZM4O=90°,ZMAO^-ZMAO=90°,

/.ZPAM=ZPOA=ZABC.

VB4=AB,

：./\PAM^/\ABC(AAS),

/.BC=AM=MC,

ABCM为等腰直角三角形，

则BM=V2CM.

12.(2022秋•嘉祥县校级期末)已知BC是。。的直径，点。是BC延长线上一点，AB=AD,AE是。。

的弦，ZA£C=30°.

(1)求证：直线是。。的切线；

(2)若AEL8C,垂足为M,。。的半径为10,求AE的长.

srOM\ACD

【分析】(1)连结。4,由圆周角定理可求得/■BUNAECMBO。，ZAOC=2ZAEC=6Q°,则

=90°,可证明直线AD是O。的切线；

(2)若AE_LBC于点根据垂径定理可证明AM=EM,在RtZXAOM中，ZAMO=90°,ZAOM

60°,则/O4M=30°,已知OO的半径OA=6,则OM=20A=3,根据勾股定理可以求出AM的长,

2

进而求出AE的长.

【解答】（1）证明：如图，连结。4,

VZAEC=30°,

.../2=NAEC=30°,NAOC=2/AEC=60°,

'：AB^AD,

.•./。=/2=30°,

：.ZOAD=1SO°-ZAOC-ZD=90°,

是（DO的半径，且AD_LOA,

直线AO是。。的切线.

（2）解：如图，:BC是。。的直径，且AE_LBC于点

：.AM=EM,

"：ZAMO=90°,ZAOM=60°,

.\ZOAM=30°,

：.OM=^-OA=^X10=5,

22

=22

AMVOA-OM=V102-52=5V3>

：.AE=2AM=2X573=1073.

13.(2023•南海区校级模拟)如图，AB为O。的直径，尸。切O。于点C,与胡的延长线交于点。，DE

_LP。交尸。延长线于点E,连接。C,PB,已知尸2=6,DB=8,/EDB=NEPB.

(1)求证：PB是。。的切线；

(2)求O。的半径.

(3)连接BE,求BE的长.

【分析】(1)由已知角相等及直角三角形的性质得到尸为直角，即可得证；

(2)在直角三角形PBD中，由PB与。8的长，利用勾股定理求出PD的长，由切线长定理得到PC=

PB=6,由PD-PC求出CD的长，在直角三角形OCD中，设OC=r,则有00=8-r,利用勾股定理

列出关于/■的方程，求出方程的解得到r的值，即为圆的半径.

(3)延长尸2、OE相交于点证明△2££>丝△PEP(ASA),由全等三角形的性质得出尸D=P尸=10,

DE=EF,求出的长，则可得出答案.

【解答】(1)证明：

；./DEO=90°,

ZEDB=ZEPB,ZB0E=ZEDB+ZDEO,ZB0E=ZEPB+ZOBP,

：.ZOBP^ZDEO^90°,

J.OBLPB,

•••PB为。。的切线；

(2)解：在RtZ\P2£)中，PB=6,DB=8,

根据勾股定理得：PD=V62+82=10,

,/PD与PB都为0。的切线，

：.PC=PB=6,

:.DC=PD-PC=10-6=4；

在RtZXCDO中，设。C=r,则有。£>=8-厂，

根据勾股定理得：(8-r)2=A42,

解得：r=3,

则圆的半径为3.

(3)延长尸8、OE相交于点足

VPZ)与PB都为。0的切线，

：・OP平分/CPB,

；・NDPE=/FPE,

：.ZPED=ZPEF=90°,

又・；PE=PE,

:•△PEDQdPEF(ASA),

：.PD=PF=10fDE=EF,

.\BF=PF-PB=10-6=4,

2222

在RtADBF中，DF=VDB+BF=VS+4=蛎，

BE-|"DF=2泥•

14.(2023•山丹县模拟)如图，在△ABC中，AB=AC,以4B为直径的。。与8C相交于点。，过点。作

DELAC,交AC于点E.

(1)求证：是。。的切线；

(2)若。。的直径为5,BC=8,求。E的长.

【分析】(1)连接OD,通过角的转换，可证明OD〃AC,进而得证；

(2)连接AD,可得8。=。。=4,根据勾股定理求得AD,在RtZ\AC£)中，根据面积法求得DE.

【解答】(1)证明：如图1,

B

图1

♦：OB=OD,

：.ZB=ZODB,

"：AB=AC,

:.NB=NC,

.".ZODB^ZC,

J.OD//AC,

:DELAC,

；.£>E_L半径OD,

.,.■DE是。。的切线;

图2

连接A。，

•.,AB是O。的直径，

/.ZADB=90°,

"：AB=AC,

.*.BD=CZ)='BC=4，

AAD=VAB2-BD2=3,

"：DE±AC,

.,.5AACD=-1-AC-DE=yAD-DC-

；.5・£)E=3X4,

.".£>£=12,

5

；.£)£1的长是」2.

5

15.（2023•华亭市校级模拟）如图，直线/切。。于点A,点P为直线/上一点，直线尸。交。。于点C、B,

点。在线段A尸上，连结且

（1）求证：为O。的切线；

【分析】（1）要证明为。。的切线，只要证明/。3。=90即可；

（2）根据已知及直角三角形的性质可以得到PD=23£>=2QA=2,再利用等角对等边可以得到AC=4P,

这样求得AP的值就得出了AC的长.

【解答】（1）证明：连接OD；

为O。切线，

：.ZOAD=90°,

在和△02。中，

：./\OAD^/\OBD(SSS),

：.ZOBD=ZOAD=9Q°,

半径

为。。的切线；

(2)解：在RtZXOA尸中，

•：PB=OB=OA,

：.OP=2OA,

；.NOE4=30°,

：.ZPOA=6Q°=2ZC,

，PD=28D=2ZM=4,

.,.Z<9M=ZC=30°,

：.AC=AP=AD+DP=6.

16.(2023秋•江阴市校级月考)如图，在Rt^ABC中，ZB=90°,AE平分N3AC交BC于点E,。为AC

上一点，经过点A、E的O。分别交43、AC于点。、F,连接。。交AE于点

(1)求证：BC是。。的切线；

(2)若CF=2,EC=4,求圆。的半径.

【分析】(1)连接。£,根据角平分线的性质及同弧所对的圆周角是圆心角的一半得出NOEC=90°即可;

(2)由勾股定理可得出答案.

【解答】(1)证明：连接OE,

'：AE平分NR4C交BC于点E,

：.ZBAC=2ZOAE,

■:NFOE=2NOAE,

：.ZFOE=ZBAC,

J.OE//AB,

VZB=90°,

：.OE±BC,

又是O。的半径，

...BC是O。的切线；

(2)解：设OE=O/=x,

'：ZOEC=9Q°,

：.OE2+CE2=OC2,

.'.X2+42=(X+2)2,

解得x=3,

：.OE=3,

即圆。的半径为3.

17.(2023春•蓬安县期中)如图，A8是。。的直径，CD是。O的弦，AB±CD,垂足是点H,过点C作

直线分别与A8,的延长线交于点E,F,且/CE4+NCA£)=90°.

(1)求证：b是O。的切线；

(2)如果48=10,CD=6,求BE的长.

【分析】(1)根据垂径定理、圆周角定理以及三角形内角和定理得出/OCE=90°即可;

(2)根据勾股定理求出OH,进而求出HB,利用勾股定理列方程求解即可.

【解答】(1)证明：如图，连接。C,

「AB是。。的直径，CDLAB,

：.ZCAB=ZDAB,

'：OA=OC,

：.ZOAC=ZOCA,

'：ZCOB=ZOAC+ZOCA=2ZOAC=ZCAD,

VZC£A+ZC4D=90°,

：.ZCEA+ZCOB=90°,

即NOCE=90°,

OCYCF,

OC是半径，

是。。的切线；

(2)是OO的直径，

:.CH=HD=、CD=3,

2

在RtZXCO“中，OC=』4B=5,CH=3,

2

•"-0//=VOC2-HC2=4,

：.HB=OB-OH=5-4=1,

设则HE=l+x,OE=5+x,

•:Hm+HC2=C©=0戌-OC2,即(1+无)2+32=(5+x)2-52,

即BE=—.

18.（2023•鄂州）如图，4B为。。的直径，E为O。上一点，点C为血的中点，过点C作CDLAE,交

AE的延长线于点D,延长DC交AB的延长线于点F.

（1）求证：CD是。。的切线；

（2）若DE=LDC=2,求。。的半径长.

【分析】（1）连接OC,由等弧所对的圆周角相等得出/EAC=N54C,根据同圆的半径相等得出/BAC

=ZOCA,于是有/EAC=/OCA,可得出AE〃OC,再根据CO_LAE,即可得出。C_L。尸，从而问题得

证；

（2）连接CE,BC,先根据切割线定理求出的长，然后由勾股定理求出AC、CE的长，再根据等弧

所对的弦相等得出BC=CE,在RtAACB中根据勾股定理求出AB的长，即可求出。。的半径.

【解答】（1）证明：连接。C,

:点C为面的中点,

・・・EC=BG

：.ZEAC=ZBAC,

'：OA=OCf

：.ZBAC=ZOCAf

：.ZEAC=ZOCA9

：.AE//OC,

：.ZADC=ZOCFf

VCDXAE,

AZAZ)C=90°,

：.ZOCF=90°,

即OCLDF,

又0。为。0的半径，

・・・CO是。。的切线；

(2)解：连接“，BC,

由（1）知CD是。0的切线,

:.CE^DEFD,

VDE=1,DC=2,

・・・AZ)=4,

在RtAAPC中,由勾股定理得AC=hl)?+CJ)2=^42+2^=2^5f

在RtADCE中,由勾股定理得CE=VCD2+DE2=V22+12=V5'

•・•点C是就的中点，

AEC=BC，

:・EC=BC=娓,

TAB为。。的直径，

AZACB=90°,

由勾股定理得AB=7AC2+BC2=7(2V5)2+(A/5)2=5，

・・・。0的半径长是2.5.

19.(2023•清原县模拟)如图，以线段AB为直径作。O,交射线AC于点C,平分/C4B交。。于点。,

过点。作直线。ELAC于点E,交的延长线于点F,连接8。并延长交AC于点

(1)求证：直线。E是。。的切线；

(2)求证：AB—AM-,

【分析】(1)连接OD,根据等腰三角形的性质得到/。。4=/。4八，根据角平分线的定义得到

=ZDAC,证明0O〃AC,根据平行线的性质得到DE，。。，根据切线的判定定理证明即可；

(2)根据题意求出NM£>E=30°,根据含30。角的直角三角形的性质计算，得到答案.

【解答】证明：(1)连接。。，

.'.ZODA^ZOAD,

平分NC4B,

：.ZOAD^ZDAC,

：.ZODA=ZDAC,

：.OD//AC,

'JDELAC,

：.DE±OD,

是(DO的半径，

直线DE是O。的切线；

(2)♦.•线段AB是O。的直径，

ZADB=90°,

ZADM=1800-ZADB=90°,

ZM+ZDAM=90°,

ZABM+ZDAB=90°,

ZDAM=ZDAB.

：.ZM=ZABM,

：.AB=AM.

20.(2022秋•安徽期末)如图，四边形ABC。内接于。0,BC=CD，点E在AB的延长线上，ZECB=Z

DAC.

(1)求证：EC是OO的切线；

(2)若AD=5,NE=30°,求。0的半径.

【分析】(1)如答图，连接CO并延长交OO于点/，连接利用圆周角定理以及等量代换可得N

ECB=ZCMB,依据CM是。。的直径，结合“直径说对的圆周角是直角”进行等量代换可求得NEC3+

ZBCM=90°,即可证明；

(2)如答图，连接。。并延长交。0于点N,连接AN；根据邻补角和四边形内对角互补得NAOC=N

C5E,根据三角形内角和得NOC4=NE=30°；DN是。。的直径，结合“直径说对的圆周角是直角”

在RtZXDAN中，解三角形即可.

【解答】(1)证明：如图，连接CO并延长交。。于点连接“5.

;BC=CD，

：.ZCAD=ZCABf

•：/CAB=NCMB,/ECB=/CAD,

：.ZECB=ZCMB,

〈CM是。。的直径，

：.ZCBM=9Q°,

；・/CMB+/BCM=90°,

：.ZECB+ZBCM=90°,

・•・OCLCE,

，EC是OO的切线；

（2）解：如图，连接OO并延长交0O于点N,连接AN.

'：ZECB=ZCAD,ZAZ)C+ZABC=180°,NABC+NCBE=180°,

：.ZADC=ZCBE,

：.180°-ZCAD-ZADC=180°-ZCBE-ZECB,

：.ZDCA=ZE=30°,

是O。的直径，

AZDAN=90°,

在Rt/\DAN中，

VZ£>CA=ZDA^=30°,

：.DN=2AD^10,

•••O。的半径为5.

21.(2023•大连模拟)如图，已知(DO是△ABC的外接圆，48是。。的直径，。是4B延长线的一点，AE

_LCD交。C的延长线于E,CF±ABF,MCE=CF.

(1)求证：OE是。。的切线；

(2)若42=10,BD=3,求AE的长.

【分析】（1）要证。E是。。的切线，只要连接OC,再证NZ）CO=90°即可；

（2）由切线的性质及勾股定理可得C。的长，再根据三角形面积公式及勾股定理可得的长，最后由

全等三角形的判定与性质可得答案.

【解答】（D证明：（1）连接OC；

\'AE±CD,CFLAB,又CE=CF,

/.Z1=Z2.

；OA=OC,

.\Z2=Z3,Z1=Z3.

・•・OC//AE.

：.OCLCD.

・・・OE是OO的切线.

(2)解：9：OC.LED,AB=10,BD=3,

：.OB=OC=5.

CD=VOD2-OC2=,^39,

7

SA0CD比C・CD亭D.CF，

即会5乂亚蒋(5+3)6

•Qp—5^39

8

*'-0F=VoC2-FC2=-y'

尸=OA+OB=5+空

88

在RtZ\AEC和RtZvlBC中，CE=CF,AC^AC,

：.RtAAEC^RtAAFC(HL),

：.AE=AF=-^-.

8

22.(2023•长安区模拟)如图，。。为四边形ABC。的外接圆，若CBCD,延长A。至点R

连接尸C并延长至点£,恰好使得/2。石+/尸=90°.

(1)证明：EF为。。的切线；

(2)连接8。，若。。的半径为4,CF=6,求8。的长.

ECF

【分析】（1）连接AC,利用圆的有关性质可得AC为直径，利用全等三角形的判定与性质得到NACB=

ZACD,利用同角的余角相等的性质和平角的定义可得NAb=90°,利用圆的切线的判定定理解答即

可得出结论；

（2）利用圆周角定理，勾股定理求得AE,利用三角形的面积公式求得C。，利用同样的方法解答即可求

得DH,利用垂径定理即可得到BD=2DH.

【解答】（1）证明：连接AC,如图，

"：AB=AD,CB=CD,

•*.AB=AD）a=而，

息+征为半圆，

；.AC为。。的直径，

；./8=/。=90°.

在△ABC和△ADC中，

，AB=AD

<BC=DC>

AC=AC

AAABC^AADCCSSS),

：.ZACB=ZACD,

'：ZBCE+ZF^9Q°,ZDCF+ZF^90°,

：.ZBCE=ZDCF,

VZBCE+ZACB+ZACD+ZDCF=180°,

AZACD+ZDCF=9O°,

：.ZACF=9Q°,

即OCA-EF,

：OC为0O的半径，

所为O。的切线；

(2)解：设2。交AC于点如图，

则BH=DH=—BD.

2

OO的半径为4,

；.AC=8,

'JACLEF,

AF=VAC2+FC2=VS2+62=。

7

SAACF=yAC'CF=yAF<D>

・・・8X6=10CD,

・・・CO=4.8,

AAD=22=2

VAC-CDV8-4.82=6.4,

7

SAACD=|AD-CD=yAC-DH-

6.4X4.8=80”,

：.BD=2DH=^-^.

25

23.（2023春•江岸区校级月考）如图，AB为O。的直径，过圆上一点。作。。的切线CD交A4的延长线

于点C,过点。作。石〃A。，OE交CD于点E,连接8E.

（1）求证：直线BE与。。相切；

（2）若CA=2,CD=4,求OE的长.

【分析】（1）连接。。，由切线的性质可得/0£>E=90°,然后利用平行线和等腰三角形的性质可得0E

平分NOO8,从而可得/OOE=/EO8,进而可证△QOE=^BOE,最后利用全等三角形的性质即可解答；

（2）设。。的半径为r,先在RtZ\ODC中，利用勾股定理求出r的长，再利用（1）的结论可得。E=

BE,最后在RtZ\2C£中，利用勾股定理进行计算即可解答.

【解答】（1）证明：连接0。，

与OO相切于点

：.Z0DE=90°,

'：AD//OE,

：.ZADO=ZDOE,ZDAO=ZEOB,

"：OD=OA,

，/AOO=ZDAO,

：.ZDOE=/EOB,

'：OD=OB,OE=OE,

.'.△DOEqABOE(SAS),

：.ZOBE=ZODE=90°,

：02是O。的半径，

直线BE与。。相切；

(2)解：设。。的半径为r,

在RtZ\0DC中，OZ)2+DC2=OC2,

^+42=(r+2)2,

/.r=3,

：.AB=2r=6,

・・・3C=AC+A5=2+6=8,

由(1)得：/\DOE=/\BOE,

：.DE=BE,

在RtZ^BCE中，BC1+BE1=CE1,

：.S2+BE2=(4+D£)2,

.*.64+DE2=(4+DE)2,

：.DE=6,

的长为6.

24.(2022秋•清原县期末)如图，在△ABC中，/ACB=90°,点。是A8边的中点，点。在AC边上,

QO经过点C且与AB边相切于点E,ZFAC=-^-ZBDC-

(1)求证：AF是。。的切线；

(2)若BC=6,AB=10,求。。的半径长.

【分析】(1)作OH_L以，垂足为点H,连接OE,证明AC是/朋B的平分线，进而根据。”=OE,OE

LAB,可得是。。的切线；

(2)勾股定理得出AC,设。。的半径为r,则OC=OE=r,进而根据切线的性质，在RtZ\OEA中，勾

股定理即可求解.

【解答】(1)证明：如图，作物，垂足为点H,连接0E,

Z7

•■•CD=AD=yAB-

：.ZCAD=ZACD,

"?ZBDC=ZCAD+ZACD=2ZCAD,

又：NFAC卷NBDC，

：.ZFAC=ZCAD,

即AC是/阳B的平分线，

•..点。在AC上，O。与AB相切于点E,

J.OELAB,且OE是。。的半径，

：.OH=OE,。*是O。的半径，

是。。的切线；

(2)解：如图，在△ABC中，ZACB=90°,BC=6,AB^IO,

•••AC=7AB2-BC2=A/102-62=8'

,:BE,8C是。。的切线，

：.BC=BE=6,

"£=10-6=4

设。。的半径为r,则OC=OE=r,

在RtZ^OEA中，由勾股定理得：。炉+人炉=。/^

.,.16+/=(8-r)2,

r=3.

；.O。的半径长为3.

25.(2022秋•华容区期末)如图1,A8为。O直径，C8与。。相切于点8,。为。。上一点，连接A。、

OC,若AZ)〃OC.

(1)求证：CD为。O的切线；

(2)如图2,过点A作A从LAB交CD延长线于点E,连接8。交。C于点人若A8=3AE=12,求BF

的长.

图1

【分析】(1)连接0D,由切线的性质得出OBLBC,证明△DOC四△BOC(SAS),由全等三角形的性

质得出/OOC=NO8C=90°,则可得出结论;

(2)设8C=x,过点E作EMLLBC于则EM=12,CM=x-4,由勾股定理求出BC=9,求出OC

的长，则可得出答案.

图1

•..CB与O。相切于点2,

J.OBLBC,

"AD//OC,

：.ZA=ZCOB,/ADO=NDOC,

"：OA=OD,

：.ZA=ZADO=ZCOB=ZDOC,

:.△DOSABOC(SAS),

，/ODC=NOBC=90°,

：.ODLDC,

又。。为0。半径，

为O。的切线；

(2)解：设C2=x,

'：AE±EB,

为。。的切线，

,/CD.CB为。。的切线，

：.ED=AE=4,CD=CB=x,ZDOC=ZBCO,

：.BDLOC,

过点E作EM_LBC于M,则£70=12,CM=x-4,

解得x=9,

：.CB=9,

”=VOB2+BC2=VS2+92=3V13，

SA0BC由B・BC=1oC・BF，

18^

ABF=OBJBC=

26.(2022秋•建昌县期末)如图，四边形ABC。内接于圆。，是圆。的直径，AD,BC的延长线交于

点E,延长C8交A尸于点尸，ZBAF+ZDCE=90°.

(1)求证：AF是圆。的切线；

(2)点G在CE上，且3C=CO=CG,连接。G,DG=2,AB=5,求的长.

【分析】(1)根据四边形ABC。内接于圆。和/QCE+/Ba>=180°得出NBAZ)=NQCE,再根据/BA尸+

ZZ)CE=90°得出/初。=90°即可证明；

(2)连接OB,OC,BD,记OC与BD相交于点N,根据BC=CD用垂径定理得出BN=DN,再根据

BC=CG,OA=。。运用三角形中位线得出CN,ON即可解答；

【解答】(1)证明：•••四边形ABC。内接于圆O,

：.ZBAD+ZBCD=180°,

VZDCE+ZBCD=180°,

:・/BAD=/DCE,

9：ZBAF+ZDCE=90°,

：.ZBAF+ZBAD=90°,即NMO=90°,

又・・・AO是圆。的直径，

・・・A尸是圆。的切线，

：.ZBOC=ZCOD,又OB=OD,

:,BN=DN,

•：BC=CG,

CN-yDG=yX2=l>

又

ON蒋研号乂5=2.