直线与圆专题复习第9讲 圆的十种方程问题 训练题集【老师版】

高中数学精编资源2/2第9讲圆的十种方程问题一、单选题1．（2021·安徽·合肥一中高二期中）过点的圆与直线相切于点，则圆的方程为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】求得圆心和半径，由此求得圆的方程.【详解】设圆心为，半径为，则，解得，所以圆心为，半径.所以圆的方程为.故选：A2．（2021·天津市武清区杨村第一中学高二月考）已知直线与以点为圆心的圆相交于A，B两点，且，则圆C的方程为（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由题意，圆心到直线的距离，利用点到直线距离公式即可求解.【详解】解：由题意，为等腰直角三角形，所以圆心到直线的距离，即，解得，所以圆C的方程为，故选：C.3．（2021·山西·太原五中高二月考）直线与轴，轴分别交于点，，以线段为直径的圆的方程为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】由已知得，的坐标，进而得圆心坐标和半径，写出圆的标准方程，然后化为一般方程即可.【详解】由直线截距式方程知：，，所以中点坐标为，且，所以以为直径的圆的圆心为，半径为，所以以线段为直径的圆的方程为，化为一般方程为.故选：A.4．（2021·新疆·乌苏市第一中学高二月考）若圆C与圆关于直线对称，则圆C的方程是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】设，根据圆关于直线对称知在上且，即可求参数a、b，进而写出圆C的方程.【详解】设，而的圆心为，半径为1，∴由题设知：在上且，即，解得.∴圆C的方程.故选：A5．（2021·全国·高二课时练习）过点，，且圆心在直线上的圆的方程是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】先求得线段AB的中垂线的方程，再根据圆心又在直线上求得圆心，圆心到点A的距离为半径，可得圆的方程．【详解】因为过点与，所以线段AB的中点坐标为，，所以线段AB的中垂线的斜率为，所以线段AB的中垂线的方程为，又因为圆心在直线上，所以，解得，所以圆心为，所以圆的方程为.故选：A6．（2021·河北·唐山一中高二月考）过点作圆两条切线，切点分别为A、B，O为坐标原点，则的外接圆方程是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】由切线性质得O、A、B、P四点共圆，为直径，求得圆心坐标和半径可得圆方程即为所求．【详解】由题意知O、A、B、P四点共圆，从而的中点坐标为所求圆的圆心，为所求圆的半径，所以所求圆的方程为.故选：A.7．（2021·全国·高二课时练习）在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】化简可得直线过定点，圆心到直线的距离的最大值即为，即可求出所求圆的标准方程.【详解】直线方程可化为，可知直线过定点，当直线与已知直线垂直时圆的半径最大，为，因此圆的标准方程为.故选：B.8．（2021·陕西·榆林市第十中学高三月考（理））已知是半径为1的动圆上一点，为圆上一动点，过点作圆的切线，切点分别为，，则当取最大值时，△的外接圆的方程为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】由题设，确定的轨迹方程，结合已知可得，再根据切线的性质、勾股定理及面积法得到关于的关系式且△的外接圆以线段为直径，结合两圆的位置关系及其动点距离最值情况，写出外接圆的方程.【详解】由，则动圆心的轨迹方程为.为圆上的动点，又，∴，∵，，，∴，∴当最小时，最小，当最大时，最大.当时，取最大值，△的外接圆以线段为直径，而中点，即中点为，∴外接圆方程为，即.故选：A9．（2021·内蒙古·一模（文））已知的圆心是坐标原点，且被直线截得的弦长为，则的方程为（）A． B．C． D．【答案】D【分析】设圆的方程为，结合圆的弦长公式，列出方程，求得的值，即可求解.【详解】由题意，设圆的标准方程为，则圆心到直线的距离为，又由圆被直线截得的弦长为，可得，化简得，解得，即圆的方程为.故选：D.10．（2021·辽宁·沈阳市第二十八中学高二月考）若点在圆外，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出圆的标准方程，根据点在圆外以及方程为圆的方程列不等式组求解即可.【详解】，即因为点在圆外，，解得故选：D.11．（2021·福建·莆田二中高二月考）方程表示的曲线为（）A．两条线段 B．一条线段和一个圆C．一条线段和半个圆 D．一条射线和半个圆【答案】C【分析】由条件可得或，分别整理即可得答案.【详解】解：，则或，又其表示线段其表示半圆，故选：C.12．（2021·山西·大同市新世纪中学高二月考）若方程表示圆，则实数m的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据，解不等式即可求解.【详解】由方程表示圆，则，解得.所以实数m的取值范围为.

故选：D13．（2021·安徽·高二月考）若圆过坐标原点，则实数m的值为（）A．1 B．2 C．2或1 D．－2或－1【答案】A【分析】把坐标代入圆方程求解．注意检验，方程表示圆．【详解】将代入圆方程，得，解得或2，当时，，舍去，所以.故选：A．14．（2021·湖北·武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）高二月考）若直线与圆相交，则与圆的位置关系为（）A．在圆外 B．在圆上C．在圆内 D．以上都有可能【答案】A【分析】根据直线与圆的距离关系得出，再由点与圆的位置关系判断得选项.【详解】解：∵直线与圆相交，∴圆心到直线的距离，∴，则与圆心的距离，点P在圆外.故选：A.15．（2021·安徽·合肥一中高二期中）阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．已知圆C的圆心C在直线上，半径为1．点，若圆C上存在点M，使，则圆心C的横坐标a的取值范围（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意得到，带入数据化简得到，根据两圆有交点得到，解得答案.【详解】在中，，即，设，则，化简得到.圆心为，半径，圆C和圆要有交点，故，解得.故选：D.二、多选题16．（2021·福建·南安市第三中学高二月考）对于，直线恒过定点P，则（）A．以P为圆心，半径为的圆的一般方程是B．以P为圆心，半径为的圆的一般方程是C．点P的坐标为D．点P的坐标为【答案】BC【分析】直线方程可化为，令可得点，按照圆的标准方程的定义可得以P为圆心，半径为的圆的标准方程，展开即得一般方程【详解】直线可化为：，令，解得，所以直线过定点，即点，所以以P为圆心，半径为的圆的一般方程是，即，故选：BC17．（2021·重庆市两江育才中学校高二月考）已知圆的一般方程为，则下列说法正确的是（）A．圆的圆心为 B．圆的半径为5C．圆被轴截得的弦长为6 D．圆被轴截得的弦长为6【答案】BD【分析】首先得到圆的标准方程，从而得到圆心坐标和半径，即可判断A错误，B正确，再计算弦长即可判断C错误，D正确.【详解】因为，所以圆的圆心为，半径为，故A错误，B正确.对选项C，圆心到轴的距离为，所以圆被轴截得的弦长为，故C错误；对选项D，圆心到轴的距离为，所以圆被轴截得的弦长为，故D正确.故选：BD18．（2021·山西·大同一中高二月考）对任意的，方程所表示的曲线可能为（）A．双曲线 B．抛物线 C．椭圆 D．圆【答案】ACD【分析】分别讨论的范围求方程所表示的曲线，即可得正确选项.【详解】当时，，，方程可化为，此时为直线；当且时，，，且，此时原方程可化为，此时表示椭圆；当时，时，可化简为表示圆，当时，，，方程可化为，此时为直线；当时，，，此时原方程可化为，此时表示焦点在轴上的双曲线；当时，，原方程即，此时轨迹不存在；当时，，，此时方程表示的轨迹不存在；当时，，，原方程即，此时轨迹不存在；当时，，，此时原方程可化为，此时表示焦点在轴上的双曲线，综上所述：方程所表示的曲线可能为双曲线、椭圆、圆，故选：ACD.19．（2021·辽宁·沈阳市第二十八中学高二月考）已知点，，若圆上存在点满足，则整数的取值可以是（）A． B．0 C．2 D．5【答案】ABC【分析】由数量积求出M的轨迹为圆，由题意可得M的轨迹与所给圆有公共点，再由圆心距与半径的关系列不等式求解a的范围．【详解】解：设，则，

由，得，即，

∴M的轨迹是以原点为圆心，以3为半径的圆，

若圆上存在点M满足，

则圆O：和圆有公共点，

，

解得：−5≤a≤−2或−1≤a≤2，

结合选项可得，实数a可以是−3，0，2．

故选：ABC．20．（2021·重庆市长寿中学校高二月考）过定点的动直线：，和过定点B的动直线：，P点为两直线的交点，圆C：，则下列说法正确的有（）A．直线过定点 B．直线以与圆C相交且最短弦长为2C．动点P的轨迹与圆C相离 D．为定值【答案】ABD【分析】由过定点直线系结论判断A，由此求直线以与圆C相交的最短弦长判断B，由定义法求交点轨迹，判断C,D.【详解】解：对于A．因为直线：，即直线：．所以由得，因此直线过定点，所以A正确；对于B．因为点在圆内，而点到点的距离为，所以过点且被点平分的弦长为，因此B正确；对于C．直线：和过定点B的动直线：，，因此直线与直线垂直，而直线：过定点，直线过定点，所以直线与直线的交点P的轨迹是以A，B为直径两端点的圆D，而点在圆内，点在圆外，因此动点P的曲线与圆相交，所以C错误；对于D．由知：，因此D正确．故选:ABD．三、双空题21．（2021·辽宁·沈阳市第二十八中学高二月考）已知，为圆上两动点，且；点为线段AB的中点，则点的轨迹方程是___________，（为坐标原点）的取值范围为___________.【答案】【分析】由圆的弦长公式，可得，得到，即，即可求得点的轨迹方程为，再根据向量的运算可得，结合点与圆的位置关系，即可求解的取值范围，得到答案.【详解】由题意，圆的圆心坐标，半径，设圆心到直线的距离为，由圆的弦长公式，可得，即，整理得，即，所以点的轨迹表示以为圆心，以为半径的圆，所以点的轨迹方程为，根据向量的运算可得又由，所以，即，所以，即的取值范围为.故答案为：;.22．（2021·重庆·西南大学附中高二期中）从圆上的点向圆引切线，两个切点间的线段称为“切点弦”，则“切点弦”的中点的轨迹方程为__________，所有的“切点弦”所占据的面积为__________．【答案】【分析】根据题意得到，根据对称性得到，故，得到轨迹方程，再计算面积得到答案.【详解】如图所示：分别为两切点，易知，，且，故.根据对称性知，的交点为中点，故，即，故“切点弦”的中点的轨迹方程为..四、填空题23．（2021·全国·高三专题练习（理））已知三个点，，，则的外接圆的圆心坐标是___________.【答案】(1，3)【分析】设出圆的一般方程，代入三点坐标后可求解.【详解】设圆的方程为，则，解得，所以圆方程为，即，所以圆心坐标为.故答案为：.24．（2021·全国·高二课时练习）已知圆过，Q（3，1）两点，且在x轴上截得的弦长为6，则该圆的方程是_________．【答案】或.或.【分析】设圆的方程为，则有，求得，即可得出答案.【详解】解：设圆的方程为，则有，解得或，所以圆的方程为或.故答案为：或.25．（2021·四川·成都外国语学校高二月考（理））已知直线ax+by﹣1＝0（a＞0，b＞0）平分圆x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0的周长，则的最小值是_______．【答案】4【分析】由题意，圆心在直线上，即a+b＝1，转化，利用均值不等式即得解【详解】直线ax+by﹣1＝0（a＞0，b＞0）始终平分圆x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0的周长，且圆心坐标是（1，1），故a+b＝1，所以≥2+=4当且仅当，即a＝b＝时等号成立，则的最小值是4．故答案为：426．（2021·四川·仁寿一中高二月考）已知圆上一定点，为圆上的动点，则线段中点的轨迹方程为______________．【答案】【分析】设线段中点的坐标为，且点，结合中点公式求得，代入即可求解.【详解】设线段中点的坐标为，且点，又由，可得，解得，又由，可得，即.故答案为：.27．（2021·福建·南安市第三中学高二月考）一个圆过圆与直线的交点，且圆心在y轴上，则这个圆的方程为___________.【答案】【分析】根据题意求出直线与圆的交点，利用中垂线方程求所求圆的圆心，再得半径即可求解.【详解】由，解得或，所以交点为，因为AB的斜率为，AB的中点为，所以AB的垂直平分线为，即，又因为圆心在y轴，所以圆心为，半径为圆心到交点B的距离，则所求圆的方程为故答案为：28．（2021·全国·高一单元测试）过圆与的交点，且圆心在直线上的圆的方程是_______．【答案】【分析】根据过两圆交点的圆系方程设出所求圆的方程，并求出圆心坐标，把圆心坐标代入直线的方程，从而求出圆的方程.【详解】设圆的方程为，则，即，所以圆心坐标为，把圆心坐标代入，可得，所以所求圆的方程为．故答案为：.五、解答题29．（2021·全国·高二课时练习）已知关于，的二元二次方程．（1）当在什么范围内取值时，方程表示圆？（2）当为何值时，方程表示的圆的半径最大？求出半径最大时圆的方程．【答案】（1）；（2）时方程表示的圆的半径最大，半径最大的圆的方程为【分析】（1）根据方程表示圆的条件为列不等式即可求解；（2）将该方程整理为圆的标准方程，利用二次函数的性质求出半径的最大值以及此时的值，再将的值代入可得半径最大的圆的方程.【详解】（1）若方程表示圆，则整理可得：，解得：；（2）由可得：，设圆的半径为，则，所以当时，，所以，此时圆的方程为，即.综上所述：当时方程表示的圆的半径最大，半径最大的圆的方程为：.30．（2021·四川省南充市嘉陵第一中学高二月考）求与轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为的圆的方程．【答案】或【分析】设圆的一般方程是，得出圆心坐标和半径，利用直线与轴相切，令后的二次方程判别式等于0得的一一个等式，求出圆心到直线的距离，用勾股定理得弦长，得的第二个等式，再由圆心在已知直线上第的第三个等式，三式联立解得得圆方程．【详解】设所求的圆的方程是，则圆心为，半径为.令，得，由圆与轴相切，得，即①又圆心到直线的距离为.由已知，得，即②又圆心在直线上，则③联立①②③，解得或故所求圆的方程是或.31．（2021·全国·高三专题练习）判别方程（k为参数，）表示何种曲线?找出通过定点的坐标.【答案】圆心在，半径为的圆；定点的坐标为【分析】由题通过配方整理可得方程表示圆，将原方程整理为关于k的方程可得定点.【详解】将原方程整理得，即，方程表示圆心在，半径为的圆，将原方程整理为关于k的方程：，由解得即圆过定点.32．（2021·重庆·西南大学附中高二期中）已知圆过点和且圆心在直线上，圆．（1）求圆的方程并判断圆与圆的位置关系；（2）在直线上是否存在点，使得过分别作圆和圆的切线，切点分别为、，满足，若存在，求出点的坐标若不存在，请说明理由．【答案】（1）圆的方程为，圆与圆外离.（2）存在，且点的坐标为或.【分析】（1）分析可知圆的圆心在轴上，结合圆心在直线上可求得圆心的坐标，进而可求得圆的方程，利用几何法可判断出两圆的位置关系；（2）设点，勾股定理结合已知条件可求得点的轨迹方程，再与直线的方程联立，即可得出结论.（1）解：因为圆过点和，则圆的圆心在轴上，联立，解得，圆的半径为，故圆的方程为，圆的圆心为，半径为，，故圆与圆外离；（2）解：设点，则，，因为，即，整理可得，联立，解得或，故存在满足条件的点，且点的坐标为或，使得.33．（2021·辽宁·沈阳市第二十八中学高二月考）已知圆的圆心在直线上，与轴正半轴相切，且截直线所得的弦长为4.（1）求圆的方程；（2）设点在圆上运动，点，M为线段AB上一点且满足，记点的轨迹为曲线.①求曲线的方程，并说明曲线的形状；②在直线上是否存在异于原点的定点，使得对于上任意一点，为定值，若存在，求出所有满足条件的点的坐标，若不存在，说明理由.【答案】（1）（2）①，曲线是为圆心，为半径的圆.②不存在，理由见解析.【分析】（1）令且，结合题设得圆为，联立直线结合韦达定理及弦长公式列方程求参数m，进而写出圆的方程；（2）①设，，应用坐标表示，，再根据列方程组分别用表示、用表示，最后由点在圆上代入化简即可确定的方程，并说明曲线的形状即可.②设且，，不妨假设为定值，根据两点距离公式、在上化简并整理可得，则多项式方程中的系数及常数项均为0求参数，即可判断存在性.（1）令且，易知圆的半径为，∴圆的方程为，联立，整理可得，若与圆交点横坐标分别为、，则，，∴，解得，又，即，∴圆的方程为.（2）①设，，则，，而，∴，则，又在圆上，∴曲线的方程为，故曲线是为圆心，为半径的圆.②设且，，∴要使为定值，即为定值即可，则，∴，又，则，∴，∴，可得，又异于原点，∴不存在，使上任意一点有为定值.【点睛】关键点点睛：第二问，利用两个动点的数量关系，将一个未知曲线上的动点坐标表示已知圆上的动点坐标，根据点在圆上代入方程整理得曲线的方程即可；设动点，根据比值为定值列方程并整理为含所设参数的整式方程形式，要使比值不受动点的影响只需保证相关项的系数为0，列方程组求参数判断存在性.34．（2021·安徽·高二月考）已知圆C经过，两点，且截直线所得弦长为.（1）求圆C的方程；（2）设点A在圆C上运动，点，且点M满足，求点M的轨迹方程.【答案】（1）（2）【分析】（1）设圆C的方程为，结合题意得到关于的方程组，解方程组即可求出结果；（2）利用相关点法求轨迹方程的方法即可求出结果.（1）设圆C的方程为，由圆C过点，两点知，∴，，∵圆心C到直线的距离，又，∴，即，∴，，，圆C的方程为.（2）设，则，，∵，∴∴∵点A在圆C上运动，∴，即，∴，所以点M的轨迹方程为，是以为圆心，以1为半径的圆.35．（2021·全国·高三专题练习）在平面直角坐标中曲线与坐标轴的交点都在圆上，若直线与圆交于、两点，求、的中点的轨迹方程.【答案】【分析】分别求出曲线与轴和轴的交点，设圆的方程，联立方程组求出，，，从而得出圆的标准方程，当的斜率存在时，设的中点为，由，再根据两点坐标求斜率的公式，即可求出、的中点的轨迹方程.【详解】解：因为曲线与坐标轴有交点，令时，得，则曲线与轴的交点为令时，则，解得：，，则曲线与轴的交点为，，设圆的方程为：，而点，，都在圆上，则，解得：，，，，即圆的标准方程为：，圆心为，半径为，由于直线，即，可知直线过定点，当的斜率存在时，设的中点为，，又中点和定点在直线上，则，，而，则：，即；当斜率不存在时，则直线的方程为，此时，，则的中点也满足，综上得：的中点的轨迹方程为.36．（2021·全国·高三专题练习）在平面直角坐标中曲线与坐标轴的交点都在圆上，若点是圆上的一动点，若动点满足，求动点的轨迹方程.【答案】【分析】先求出曲线与坐标轴的交点，根据题意求出圆心坐标和半径，即可写出圆的方程，设动点，动点，结合再根据转移法求出动点的轨迹方程.【详解】曲线与轴的交点为，令，解得，即曲线与轴的交点为，故可设圆的圆心为，则有解得，则圆C的圆心为，半径为，所以圆的方程为.设圆C上动点，动点，则，由可得，即，代入圆C的方程，可得.即动点的轨迹方程为37．（2021·全国·高三专题练习）在平面直角坐标中曲线与坐标轴的交点都在圆上，若点是圆上的一动点，求的中点的轨迹方程.【答案】【分析】先求解曲线与坐标轴的三个交点，继而得到圆的方程为：，连接，分别取的中点，连接，可得在以为圆心，的圆上运动，即得解【详解】由题意，曲线与轴的交点为令，解得故曲线与轴的交点为故圆心在直线的垂直平分线上，故可以设圆心且，故，解得圆的半径所以圆的方程为：连接，分别取的中点，连接故，且，故在以为圆心，的圆上运动故的中点的轨迹方程为：38．（2021·江苏·苏州中学高二）已知动点M与两个定点的距离的比为2，记动点M的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）若动点N在曲线C上运动，求线段的中点P的轨迹方程，并说明它是什么图形．【答案】（1）；（2）P的轨迹方程为：，是以为圆心，以为半径的圆.【分析】（1）设点，由比值列出关系式，化简可得曲线的方程；（2）设动点，，相关点法列出关系式，代入曲线的方程化简，即可得到P的轨迹方程为以为圆心，以为半径的圆.【详解】解：（1）设点，则，即，化简可