直线与圆专题复习第8讲 直线的综合应用 训练题集【老师版】

高中数学精编资源2/2第8讲直线的综合应用一、单选题1．（2021·江苏·高二专题练习）已知直线与轴，轴分别交于，两点，直线过点的中点，若直线，及轴围成的三角形面积为6，则直线的方程为（）A． B．C．或 D．或【答案】D【分析】求得的中点坐标为，设直线的方程为，且与轴交于点，结合三角形的面积公式，列出方程，求得或，进而求得直线的方程.【详解】由直线，可得与轴，轴分别交于，则的中点为，即中点坐标为，设直线的方程为，即，且与轴交于点，因为直线，及轴围成的三角形面积为6，可得，即，解得或，当时，即点，此时直线的方程为，即；当时，即点，此时，直线的方程为，综上可得直线的方程为或.故选：D.【点睛】本题主要考查了直线方程的求解，以及三角形面积公式的应用，其中解答中熟练直线的点斜式方程，以及结合三角形的面积公式列出方程求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.2．（2021·江苏·高二单元测试）已知点在直线上，点在直线上，线段的中点为，且满足，则的取值范围为A． B． C． D．【答案】A【分析】设出点的坐标和中点，用表示出坐标，将坐标代入对应直线方程即可得到的表达式，联立得到表达式代入求解即可.【详解】解：设，，则，的中点为，，分别在直线和，，，，即.，即，又，，即，所以，即，解得.故选：A.【点睛】平面解析几何问题中的设而不求方法注意事项：（1）凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的，都尽可能实施“设而不求”；（2）“设而不求”不可避免地要设参、消参，而设参的原则是宜少不宜多.3．（2021·全国·高二单元测试）数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线．已知的顶点，，若其欧拉线的方程为，则顶点的坐标为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，计算出重心坐标后代入欧拉方程，再求出外心坐标，根据外心的性质列出关于的方程，最后联立解方程即可.【详解】设，由重心坐标公式得，三角形的重心为，，代入欧拉线方程得：，整理得：①的中点为，，的中垂线方程为，即．联立，解得．的外心为．则，整理得：②联立①②得：，或，．当，时，重合，舍去．顶点的坐标是．故选：A．【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是求出外心，二是根据外心的性质列方程.4．（2021·吉林·白城一中高二月考）己知集合{直线其中是正常数}，下列结论中正确的是（）A．当时，中直线的斜率为B．中所有直线均经过同一个定点C．当时，中的两条平行线间的距离的最小值为D．中的所有直线可覆盖整个直角坐标平面【答案】C【分析】A中，当时，sinθ＝cosθ，S中直线的斜率为；B中，S中所有直线均经过一个定点，不正确；C中，当m>n时，S中的两条平行直线间的距离为，可得最小值为2n；D中，由（0，0）不满足方程，命题错误．【详解】当θ时，sinθ＝cosθ，S中直线的方程为，即，故其斜率为，故A不正确；根据y＝1，可知S中所有直线不可能经过一个定点，B不正确；当时，S中的两条平行直线间的距离为，而，则，故，即最小值为2n，C正确；易见，点（0，0）不满足方程，∴S中的所有直线不可覆盖整个平面，D不正确；故选：C.5．（2021·江苏·高二专题练习）若分别过，，，四个点各作一条直线，所得四条直线恰围成正方形，则该正方形的面积不可能为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意画出图形，由图形和同角三角函数的基本关系求出正方形面积．【详解】如果过点，，，作四条直线构成一个正方形，过点的必须和过，，的其中一条直线平行和另外两条垂直，假设过点和点的直线相互平行时，如图，设直线与轴正方向的夹角为，再过作它的平行线，过、作它们的垂线、，过点作轴的平行线分别角、于点、，则，，因为，所以，则，所以正方形的面积，同理可求，当直线和过的直线平行时正方形的面积为，当直线和过点的直线平行时正方形的面积为，故选C.【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系与解析几何直线方程的交会，考查坐标法思想的应用，考查基本运算求解能力．6．（2021·江苏·高二专题练习）在平面直角坐标系中，如果一个多边形的顶点全是格点（横纵坐标都是整数），那么称该多边形为格点多边形，若△ABC是格点三角形，其中A（0，0），B（4，0），且面积为8，则该三角形边界上的格点个数不可能为（）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】C【分析】画出图像，根据不同的位置得到答案.【详解】如图所示：当顶点处于位置时，格点数为；当顶点处于位置时，格点数为；当顶点处于位置时，格点数为；无论顶点处于什么位置都不能是格点数为；故选：【点睛】本题考查了三角形的边界整数点问题，画出图像是解题的关键.7．（2021·江苏·高二专题练习）在直角坐标系中，全集，集合，已知集合A的补集所对应区域的对称中心为M，点P是线段（，）上的动点，点Q是x轴上的动点，则周长的最小值为（）A．24 B． C．14 D．【答案】B【分析】根据集合可判断出集合表示圆,再画图,根据做对称点的方法转换的周长,再求最小值即可.【详解】∵点到直线的距离,∴直线始终与圆相切,∴集合A表示除圆以外所有的点组成的集合,∴集合表示圆,其对称中心如图所示：设是点关于直线线段（）的对称点,设,则由求得,可得.设关于x轴的对称点为,易得,则直线,和线段的交点为P,则此时,的周长为,为最小值.故选：B【点睛】本题主要考查了点到直线距离公式的应用以及“将军饮马”问题的应用,需要根据题意作出对称点,再转换所求求最值即可.属于难题.8．（2021·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，给定两点，，点在轴的正半轴上移动，当取最大值时，点的横坐标为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由平面几何知识可知，当过、两点的圆与轴相切时，切点即为所求点，再由切割线定理可求得点的横坐标.【详解】当过、两点的圆与轴相切时，切点即为所求点.易得过、两点的直线方程为，其与轴交点为，易得，，由切割线定理得，所以，进而可得，点的横坐标为3.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是确定点的位置.二、多选题9．（2021·全国·高二课时练习）下列说法中正确的是A．若两条直线互相平行，那么它们的斜率相等B．方程能表示平面内的任何直线C．圆的圆心为，半径为D．若直线不经过第二象限，则t的取值范围是【答案】BD【分析】由两直线平行于轴排除；根据直线平行或不平行于坐标轴，可确定方程均可以表示出来，知正确；整理得到圆的标准方程，进而确定圆心和半径，排除；由直线不过第二象限可构造不等式组求得结果，知正确.【详解】对于，若两条直线均平行于轴，则两条直线斜率都不存在，错误；对于，若直线不平行于坐标轴，则原方程可化为，为直线两点式方程；当直线平行于轴，则原方程可化为；当直线平行于轴，则原方程可化为；综上所述：方程能表示平面内的任何直线，正确；对于，圆的方程可整理为，则圆心为，错误；对于，若直线不经过第二象限，则，解得：，正确.故选：.【点睛】本题考查直线和圆部分相关命题的辨析，涉及到直线方程的应用、根据直线所过象限求解参数范围、由圆的方程确定圆心和半径等知识，属于基础知识的综合考查.10．（2021·山东省实验中学高二月考）下列说法正确的是（）A．直线x﹣y﹣2=0与两坐标轴围成的三角形的面积是2B．点(0，2)关于直线y=x+1的对称点为(1，1)C．过(x1，y1)，(x2，y2)两点的直线方程为D．经过点(1，1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y﹣2=0【答案】AB【分析】求出截距得到三角形的面积判断A的正误；利用对称知识判断B的正误；直线的两点式方程判断C的正误，利用截距相等判断D的正误.【详解】解：直线x﹣y﹣2=0在两坐标轴上的截距分别为：2，﹣2，与坐标轴围成的三角形的面积是：2=2，所以A正确；点(0，2)与(1，1)的中点坐标(，)满足直线方程y=x+1，并且两点的斜率为：﹣1，所以点(0，2)关于直线y=x+1的对称点为(1，1)，所以B正确；当x1≠x2，y1≠y2时，过(x1，y1)，(x2，y2)两点的直线方程为，所以C不正确；经过点(1，1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y﹣2=0或y=x，所以D不正确；故选：AB.【点睛】本题考查命题的真假的判断直线方程的求法､对称知识以及直线的截距的应用，是易错题.11．（2021·江苏·高二专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知，，动点P满足，且，则下列说法正确的是（）A．P的轨迹为圆B．P到原点最短距离为1C．P点轨迹是一个菱形D．点P的轨迹所围成的图形面积为6【答案】CD【分析】本题可先设P点坐标，根据条件求出P的轨迹方程，绘制出轨迹的图形，图形为菱形，即可逐一判断各选项正误．【详解】设P点坐标为，则由已知条件可得，整理得．又因为，所以P点坐标对应轨迹方程为．，且时，方程为；，且时，方程为；，且时，方程为；，且时，方程为．P点对应的轨迹如图所示：，且，所以P点的轨迹为菱形．A错误C正确；原点到AB：的距离为B错误；轨迹图形是平行四边形，面积为，D正确．故选CD．12．（2021·江苏·高二单元测试）如图，平面中两条直线和相交于点O，对于平面上任意一点M，若p，q分别是M到直线和的距离，则称有序非负实数对是点M的“距离坐标”.下列四个命题中正确命题为（）A．若，则“距离坐标”为的点有且仅有1个B．若，且，则“距离坐标”为的点有且仅有2个C．若，则“距离坐标”为的点有且仅有4个D．若，则点M在一条过点O的直线上【答案】ABC【分析】根据点M的“距离坐标”的定义逐一判断即可.【详解】A.若，则“距离坐标”为的点是两条直线的交点O，因此有且仅有1个，故正确.B.若，且，则“距离坐标”为或的点有且仅有2个，故正确.C.若，则“距离坐标”为的点有且仅有4个，如图，故正确.D.若，则点M在的轨迹是两条过O的直线，分别为交角的平分线所在直线，故不正确.故选：ABC.三、填空题13．（2021·上海市进才中学高三月考）已知，与x轴交点为A，若对于图像上任意一点P，在其图像上总存在另一点Q（P、Q异于A），满足，且，则________．【答案】【分析】本题根据题意对函数分析之后可画出大致图象，然后结合图象可不妨设点P在左边曲线上，点Q在右边曲线上．设直线AP的斜率为k，联立直线与曲线的方程可得P点坐标，同理可得Q点坐标．再分别算出|AP|、|AQ|，再根据|AP|＝|AQ|及k的任意性可解得a的值．【详解】解：由已知令，解得，所以点A的坐标为，则，所以大致图像如下：由题意，很明显P、Q两点分别在两个分段曲线上，

不妨设点P在左边曲线上，点Q在右边曲线上．

设直线AP的斜率为k，则．

联立方程：，

整理，得：．

，，

．

再将代入第一个方程，可得：．

∴点P的坐标为：．

．

∵AP⊥AQ，

∴直线AQ的斜率为，则．

同理类似求点P的坐标的过程，可得：

点Q的坐标为：．

∵|AP|＝|AQ|，及k的任意性，可知：，解得：．

故答案为：14．（2021·辽宁营口·高二期末）若､､是三个雷达观察哨，在的正东，两地相距，在的北偏东30°，两地相距，在某一时刻，观察哨发现某种信号，测得该信号的传播速度为，后､两个观察哨同时发现该信号，在如图所示的平面直角坐标系中，指出发出了这种信号的点的坐标___________.【答案】【分析】转化条件为点在线段的垂直平分线上，再结合双曲线的定义可得点在以､为焦点的双曲线的左支上，联立方程即可得解.【详解】由题意，点，，即，则线段的中点为，直线的斜率，所以线段的垂直平分线的斜率，所以线段的垂直平分线的方程为即，设，由可得点在线段的垂直平分线上，又，所以点在以､为焦点的双曲线的左支上，该双曲线的方程为，所以，解得.所以点的坐标为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是对条件的转化，转化条件为点P为线段的垂直平分线与双曲线左支的交点，运算即可得解.15．（2021·江苏·高二专题练习）若恰有三组不全为0的实数对满足关系式，则实数的所有可能的值为________【答案】，，【分析】化简得到，然后，根据情况，对进行分类讨论即可求解【详解】由已知得，明显地，，整理得，又由，看成有且仅有三条直线满足，和到直线（不过原点）的距离相等；由，（1）当，此时，易得符合题意的直线为线段的垂直平分线以及直线平行的两条直线和（2）当时，有4条直线会使得点和到它们的距离相等，注意到不过原点，所以，当其中一条直线过原点时，会作为增根被舍去；设点到的距离为，①作为增根被舍去的直线，过原点和的中点，其方程为，此时，，符合；②作为增根被舍去的直线，过原点且以为方向向量，其方程为，此时，，符合；综上，满足题意的实数为，，；故答案为：，，【点睛】关键点睛：本题的解题关键在于化简得到，将问题转化为，有且仅有三条直线满足，和到直线（不过原点）的距离相等，这是本题的解题关键，本题难度属于困难16．（2021·四川·威远中学校高三月考（理））设直线l1，l2分别是函数f(x)=图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则的面积的取值范围是___________【答案】(0，1)【分析】因为，可确定分别在分段函数的两段上，设，且，通过导数可求得切线斜率；根据相互垂直可得到；通过的方程可求得两点坐标，从而得到；联立求得点横坐标，从而将面积表示为，根据可求得面积的取值范围.【详解】由题意可知，，且明显地，分别在分段函数的两段上设，且，，，，即：方程为：；方程为：，，联立可得点横坐标为：且在上单调递减，，即的面积的取值范围为：故答案为：【点睛】关键点睛：解题的关键是能够熟练应用导数求解切线斜率，通过垂直关系得到斜率间的关系，进而能够进行化简消元，进而求解的问题；求解取值范围的常用方法是能够将所求三角形面积表示为某一变量的函数，从而利用变量的范围求得面积的取值范围；难度属于困难.四、解答题17．（2021·重庆十八中高二月考）在△ABC中，已知M（1，6）是BC边上一点，边AB，AC所在直线的方程分别为．（1）若，求直线BC的方程；（2）若，求直线BC的横截距．【答案】（1）；（2）【分析】（1）求出，根据垂直关系，利用点斜式求解方程；（2）建立方程求出，得出直线BC的方程即可得解.【详解】（1）由题边AB，AC所在直线的方程分别为．的交点就是，若，，所以直线BC的方程：即；（2）设，所以解得，所以所以直线的方程为，即，令得，直线BC的横截距.18．（2021·江苏·高三专题练习）为了绿化城市，准备在如图所示的区域内修建一个矩形的草坪，其中，点Q在上，且，，经测量，，，．（1）如图建立直角坐标系，求线段所在直线的方程；（2）在（1）的基础上，应如何设计才能使草坪的占地面积最大，确定此时点Q的坐标并求出此最大面积（精确到）【答案】（1）；（2）当时，，此时．【分析】（1）根据题意可得，根据直线的截距式方程即可求解.（2）设，可得，展开配方即可求解.【详解】（1）由题意得，所以线段所在直线的方程为，即；（2）设，则草坪的占地面积故当时，，此时．19．（2021·浙江·高二单元测试）已知直线和点（1）直线l上是否存在点C，使得为直角三角形，若存在，请求出C点的坐标；若不存在，请说明理由；（2）在直线l上找一点P，使得最大，求出P点的坐标.【答案】(1)存在，；(2)P.【分析】(1)先计算线段长，再设点，对斜边分类讨论计算a值即可；(2)先根据题意，过A，B的圆与直线l相切于P时，最大，再利用圆的性质计算即可.【详解】解：(1)点，故，若直线l上存在点C，使得为直角三角形，设，则讨论以下三种情况：①若AB是斜边，则，即，，则，方程无解；②若AC是斜边，则，即，，符合题意，此时；③若BC是斜边，则，即，；综上，若直线l上存在点，使得为直角三角形，AC是斜边；(2)根据题意，过A，B的圆与直线l相切于P时，最大.因为，，所以延长线与直线l相交于点,根据圆的性质，而，故切点P的坐标为，此时最大，为.【点睛】本题考查了直线的综合应用，以及与圆的性质的综合，属于中档题.20．（2021·江苏·高二单元测试）如图，在道路边安装路灯，路面OD宽12m，灯柱OB高14m，灯杆AB与地面所成角为30°．路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线AC与灯杆AB垂直，轴线AC，灯杆AB都在灯柱OB和路面宽线OD确定的平面内．（1）当灯杆AB长度为多少时，灯罩轴线AC正好通过路面OD的中线？（2）如果灯罩轴线AC正好通过路面OD的中线，此时有一高2.5m的警示牌直立在C处，求警示牌在该路灯灯光下的影子长度．【答案】（1）当灯杆AB长度为2m时，灯罩轴线AC正好通过路面OD的中线；（2）m.【分析】（1）分别以图中OD、OB所在直线为x、y轴，建立平面直角坐标系，求出直线和方程后可得点坐标，从而得；（2）设警示牌为CM，由的大小得点坐标，从而可得直线方程，求得它与轴交点的坐标，得影子长．【详解】解：（1）分别以图中OD、OB所在直线为x、y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，灯杆AB与地面所成角为30°，B（0，14），AB方程为：y＝x+14，…①因为灯罩线AC与灯杆AB垂直，可设的斜率为，则＝，又C（6，0），所以直线AC的方程为：y＝（x﹣6），…②由①②组成方程组，求得点A（，15）；所以|AB|＝＝2，即当灯杆AB长度为2m时，灯罩轴线AC正好通过路面OD的中线；（2）设警示牌为CM，且CM⊥OD，则M（6，），A（，15），所以直线AM的方程为：y﹣15＝（x﹣），令yN＝0，解得xN＝7，所以CN＝7﹣6＝.所以警示牌在该路灯灯光下的影子长度为m．【点睛】本题考查直线方程的应用，解题关键是建立平面直角坐标系，求出直线方程，由直线方程得交点坐标，得线段长．21．（2021·全国·高二课时练习）一河流同侧有两个村庄A，B，两村庄计划在河上共建一水电站供两村使用，已知A，B两村到河边的垂直距离分别为300m和700m，且两村相距500m，问：水电站建于何处送电到两村的电线用料最省？【答案】水电站建在P(90，0)处电线用料最省．【分析】如图，以河流所在直线为x轴、y轴通过点A，建立平面直角坐标系，再求出点B的坐标，利用对称性求解.【详解】解：如图，以河流所在直线为x轴、y轴通过点A，建立平面直角坐标系，则点A(0，300)，B(x，700)．设点B在y轴上的射影为H，则x＝|BH|＝＝300，故点B(300，700)．设点A关于x轴的对称点A′(0，－300)，则直线A′B的斜率k＝，直线A′B的方程为y＝x－300.令y＝0，得x＝90，得点P(90，0)，故水电站建在P(90，0)处电线用料最省．【点睛】关键点睛：解答本题有两个关键，其一是：想到利用解析法来求解；其二是，能够利用数形结合利用对称性找到满足题意的位置.22．（2021·上海·复旦附中青浦分校高二月考）如图，一个湖的边界是圆心为0的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径），规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA，规划要求∶线段PB、QA.上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位∶百米）.（1）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（2）在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位∶百米），求当d最小时，P、Q两点间的距离.【答案】（1）不能，理由见解析；（2）.【分析】设BD与圆O交于M，连接AM，AB为圆O的直径，可得AM⊥BM，以C为坐标原点，l为x轴，建立直角坐标系，（1）当QA⊥AB时，QA上的所有点到原点O的距离不小于圆的半径，求得点Q的坐标，从而可得出结论；（2）设P（a，0），Q（b，0），则，，求出b的范围，从而可得出答案.【详解】解：设BD与圆O交于M，连接AM，AB为圆O的直径，可得AM⊥BM，即有DM=AC=6，BM=6，AM=8，以C为坐标原点，l为x轴，建立直角坐标系，则A（0，-6），B（-8，-12），D（-8，0），设点，，则，即，解得，所以.（1）当QA⊥AB时，QA上的所有点到原点O的距离不小于圆的半径，设此时Q（x2，0），则，即，解得，，由，在此范围内，不能满足PB，QA.上所有点到O的距离不小于圆的半径，所以P，Q中不能有点选在D点；（2）设P（a，0），Q（b，0），则，，，，则，当d最小时，.23．（2021·江苏·高二专题练习）已知一条动直线3(m+1)x+(m-1)y-6m-2=0，（1）求证：直线恒过定点，并求出定点P的坐标；（2）若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在直线满足下列条件：①△AOB的周长为12；②△AOB的面积为6，若存在，求出方程；若不存在，请说明理由.（3）若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，当取最小值时，求直线的方程.【答案】（1）证明见解析；（2）存在；直线方程为3x＋4y－12＝0（3）3x＋3y－10＝0【分析】（1）将题目所给直线方程重新整理，由此证得直线恒过定点，并求得定点坐标.（2）设出直线方程截距式，根据题目所给条件，求出直线方程.（3）设出直线的倾斜角，求得的表达式并结合三角函数的知识求得最小值，以及此时的直线方程.【详解】（1）依题意直线方程为，即，即，所以由，解得，故直线过定点.（2）依题意设直线方程为，将代入得①.则，则，解得或.其中不满足①，满足①.所以存在直线，即满足条件.（3）由（1）知直线过定点，而若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，所以直线的倾斜角，所以，所以②，令，由于，所以，所以，所以.则②可化为，由于在上为减函数，所以在上为增函数，故当，即时，取得最小值为.此时直线方程为，即，也即.【点睛】本小题主要考查直线方程，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.24．（2021·江苏·高二专题练习）如图，的直角边OA在x轴上，顶点B的坐标为，直线CD交AB于点，交x轴于点.(1)求直线CD的方程；(2)动点P在x轴上从点出发，以每秒1个单位的速度向x轴正方向运动，过点P作直线l垂直于x轴，设运动时间为t.①点P在运动过程中，是否存在某个位置，使得?若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；②请探索当t为何值时，在直线l上存在点M，在直线CD上存在点Q，使得以OB为一边，O，B，M，Q为顶点的四边形为菱形，并求出此时t的值.【答案】(1)；(2)①满足条件的点P坐标为或，②满足条件的t的值为或.【分析】（1）利用两点式求出直线方程，再化为一般方程；

（2）①根据题意作DP∥OB，利用相似三角形求出点P的坐标，根据对称性求得P′的坐标；

②分情况讨论，OP＝OB＝10时，作PQ∥OB交CD于Q，求得点M与点P重合，t＝0；

OQ＝OB时，求出点Q的横坐标，计算M的横坐标，求得t的值；Q点与C点重合时，求得M点的横坐标，得出t的值.【详解】解：（1）直线CD过点C（12，0），D（6，3），直线方程为＝，化为一般形式是x+2y﹣12＝0；（2）①如图1中，作DP∥OB，则∠PDA＝∠B，由DP∥OB得，＝，即＝，∴PA＝；∴OP＝6﹣＝，∴点P（，0）；根据对称性知，当AP＝AP′时，P′（，0），∴满足条件的点P坐标为（，