2024-2025学年湖北省高一数学上学期期中联考试试卷及答案解析

2024-2025学年度上学期高一期中考试

高一数学试卷

命题学校：应城一中命题教师：谢青年华瑛肖润秀

审题学校：大悟一中

考试时间：2024年11月18日下午15：00-17：00

试卷满分：150分

注意事项

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答

题卡上的指定位置.

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试

卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和

答题卡上的非答题区域均无效.

一、单选题本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.下列关系中，正确的个数为（）

①应eR；②3^；③°=网；④OeN；⑤兀eQ；@-leZ.

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【解析】

【分析】根据元素和集合的关系进行判断，得到答案.

【详解】、历eR，①正确；|eQ,②正确；

0为元素，网为集合，两者不能用等号连接，应0e{0},③错误；

OeN,④错误；TTWQ,⑤错误；—leZ,⑥正确.

故选：A

2.已知集合4={（x,y）|2x—y=0},>={（14）|3%+宇=0卜则/心5为（）

A.x=0,y=0B.（0,0）

c.{0,0}D.｛（0,0））

【答案】D

【解析】

2x-y=0

【分析】解方程组.■八，由集合交集的定义可得集合

3x+y=0

【详解】因为集合幺=｛（%/）2%—y=0｝,8=｛（xj）3x+y=0｝,

解方程组:“一,’—，，得x=y=0,因此，Zc8=｛（0,0）｝.

3x+y=0八J

故选：D.

3.下列含有量词的命题中为真命题的是（）

A.任意实数的平方都大于0

B.3meN,Vm2+1eN

C.存在整数x,y,使得2x+4y=3

D.VaeR,一元二次方程/—⑪十1=o有实根

【答案】B

【解析】

【分析】AB选项可举出反例；C选项，x/均为整数，则x+2y为整数，故不存在整数x，V,使得

2x+4y=3,C错误；D选项，由根的判别式进行判断.

【详解】A选项，。的平方等于0,A错误；

B选项，当机=0时，Im2+1=1eN，满足要求，B正确；

3

C选项，2x+4y=30x+2y=万，

x/均为整数，则x+2y为整数，故不存在整数x,y,使得2x+4y=3,C错误；

D选项，当一2＜。＜2时，A=一4=a?-4＜0,

此时一元二次方程》2—以+1=0无实根，D错误.

故选：B

4.已知a、b、ceR,则下列结论中正确的有（）

A.若。>6且一>—，则ab>0

ab

db

B.若c>Q>b>0,贝(J------>------

c-ac-b

7八…QQ+c

C.右Q>Z>>C>0,则一<----

bb+c

D.若。>6,贝!Jac2>be2

【答案】B

【解析】

【分析】利用作差法可判断ABC选项；利用特殊值法可判断D选项.

【详解】对于A选项，若且1〉,，则!―工=里心<0,可得ab<0,A错;

abbaab

对于B选项，因为。>Q>6>0,则Q—b>0,c-a>0,c-b>0,

abq(c-b)-b(c-q)c(a—b)dh

即——>——，B对;

c-ac-b(c-a)(c-b)c-ac-b

对于C选项，因为Q>b>c>0,则Q—b>0,

aQ+cQ(b+c)-“a+c)c(a-b)口raa+c

则-------->0,即一>----,c错;

bb+cb(b+c)b(b+c)bb+c

对于D选项，因为。>b,当c=0时，ac2=be2-D错.

故选：B.

5.已知函数/(x)是定义域在R上的偶函数，且在区间(-吗0)上单调递减，/(1)=0,则不等式

4'(丁)〉0的解集为()

A.(-1,0)B.(1,+⑹

C.(-1,1)D.(-l,0)U(l,+«)

【答案】D

【解析】

【分析】根据函数的奇偶性，得到/(x)在区间(0,+动上单调递增，/(-1)=0,得到

xe(-00,-1)o(1,+GO),/(x)>0,当时，/(x)<0,分x>0和x<0两种情况，求出不

等式解集.

【详解】因为/(x)是定义域在R上的偶函数，且在区间(-叫0)上单调递减，/(1)=0,

所以/(x)在区间(0,+力)上单调递增，/(-1)=0,

故当xe(-co,-l)u(l,+oo)时，/(x)>0,当时，/(x)<0,

xf(X)>0,当x>0时，/(X)>0,故X>1,

当x<0时，f(x)<0,-1<%<0,

故不等式>o的解集为(-1,0)51，+s)-

故选：D

6.古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论基

础，当天平平衡时，左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臂长与右盘物品质量的乘积，一家商店使用一架

两臂不等长的天平称黄金，其中左臂长和右臂长之比为4(4。1),一位顾客到店里购买20克黄金，售货员

先将10克祛码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡再将10克祛码放在天平右盘中，

然后取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将两次称得的黄金交给顾客，则顾客购得的黄金重量

()

A.大于20克

B.小于20克

C.等于20克

D.当彳>1时，大于20克；当Xe(0,1)时，小于20克

【答案】A

【解析】

【分析】设第一次取出的黄金质量为。克，第二次黄金质量为b克，根据题意得出b

关于2的关系式，利用基本不等式比较a+6与20的大小，即可得出结论.

【详解】设第一次取出的黄金质量为a克，第二次黄金质量为b克，

由题意可得a=104,26=10,可得6=3，

2

易知4>0且Xwl,

所以，tz+Z)=10A+y=10^2+^>10x2^7^=20,

当且仅当几=:(2〉0,271)时，等号成立，

事实上，2,等号不成立，贝！Ia+6>20.

因此，顾客购得的黄金重量大于20克.

故选：A.

7.函数/("=[可在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中[可表示不大于无的最大整数，如

[1.5]=1,[-2.3]=-3,[3]=3,/(x)与函数g(x)=,一1|的交点个数为()

A.0B.1C.2D.无数个

【答案】A

【解析】

【分析】画出两函数图象，数形结合得到交点个数.

【详解】画出/(x)与g(x)=|xT|的两函数图象，如下：

可以看出两函数图象无交点，故交点个数为0.

故选：A

8.已知集合U={xeN*|xV6},若/口U,且同时满足：①若xeN,则3%e/；②若xedZ,则

3%名小幺•则集合A的个数为()

A.4B.8C.16D.20

【答案】C

【解析】

【分析】分析可知，1、3不同在集合A或①/中，2、6不同在集合A或6幺中，而4、5无限制，列举

出满足条件的集合A,即可得解.

【详解】因为°=卜€1\*,46}={1,2,3,4,5,6},A匚U,

由题意可知，若leZ,则3eZ,若1662,则

若2eN,则6eN,若则6史华幺，4、5没有限制，

综上所述,满足条件的集合A可为：｛1,2｝、｛1,2,4｝、｛1,2,5｝、｛1,2,4,5｝、｛1,6｝、

｛1,6,4｝、｛1,6,5｝、｛1,6,4,5｝、｛2,3｝、｛2,3,4｝、｛2,3,5｝、｛2,3,4,5｝、｛3,6｝、

｛3,6,4｝、｛3,6,5｝、｛3,6,4,5｝,共16个，

故选：C

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于分析出元素与集合的关系，然后利用列举法求解.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列函数在定义域内对任意的多、%，都有七强)的函数是()

A.f(x)-ax+bB./(x)=x2+ax+b

C./(x)=VxD./(x)=x3,xe(0,+oo)

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据题设条件逐项验证即可.

【详解】对于A选项，函数6的定义域为R,

对任意的占、x2eR,493.』+6=空亚+经把")+小),

1'I2J2222

A选项中的函数满足条件；

对于B选项，函数/(》)=/+办+6的定义域为;?,

对任意的多、hR,/叫/㈤―"宥］

2

_%；+办1+b+x；+ax+ba

2xl+x2।

+-

222

x+x/⑷,B选项中的函数满足条件;

所以，/x2

22

对于C选项，函数/(x)=«的定义域为[0,+。)，则/

因为「j则/£±1]>〃0)+/⑴,c选项中的函数不满足条件;

22

对于D选项，对于函数/(x)=/,%e(0,+00),

；_X：+3X；%2+3x^2+只

x1+x2M+x2

任取为、x2e(0,+a?),则/

228

所以,'L/；x；；工器+

xx+x2X+%2i+3X%2+3x£+%2_3x-3X&2-33xj

2288

3xi(xj-x2)-3xf(%1-x2)_3(Xj-x2)(x；—x；)_3(苞(石+%)

20,

888

X+/

所以，fxD选项中的函数满足条件.

22

故选：ABD.

[：；：；，设函数/3=(x+l)㊉(x+1)：则下列命题正确的有()

10.定义运算。㊉6=<

/(x)的定义域为R

B./(x)的值域为R

C./(X)的单调递减区间为-1]

D.不等式/(X)>1的解集为{x|x<—2或x>0}

【答案】ACD

【解析】

【分析】化简函数/(x)的解析式，作出该函数的图象，可判断ABC选项；分xW-l或xNO、-l<x<0

两种情况解不等式，可判断D选项.

【详解】由(x+lpNx+l得x(x+l)»0,解得或x»0,

由(x+l)2<x+l得x(x+l)<0,解得一l<x<0.

所以，/(x)=(x+l)㊉(x+l)2=<(x+1)6VT或作出函数/(x)的图象如下图所示:

x+1,-1<x<0

对于A选项，易知函数/(x)的定义域为R,A对；

对于B选项，由图可知，/(x)的值域为［0,+。)，B错；

对于C选项，由图可知，函数/(x)的单调递减区间为(-C对；

对于D选项，当xW-1或xNO时，由/(x)=(x+l『〉1,可得必+2%〉0，

解得x<-2或x>0,止匕时,x<-2或x>0,

当-l<x<0时，/(x)=(x+l)e(O,l),此时，不等式/(x)>l无解

综上所述，不等式/(x)>l的解集为{x|x<-2或x>0},D对.

故选：ACD.

11.已知/(X)=x|x|+3x,若正实数a、6满足/(2a)+/(6-1)=0,则()

A.ab的最大值为:B.4/+〃的最小值为工

42

C.a(a+6)的最大值为9D.工+^^的最小值为1

''46a3b+l

【答案】BD

【解析】

【分析】分析函数/(x)的单调性与奇偶性，结合已知条件求出2a+6=1,利用基本不等式逐项判断，可

得出合适的选项.

【详解】因为函数/(x)=x|x|+3x的定义域为R,

f(-x)=-x|-x|-3x=-x|x|-3x=-/(x),即函数/(x)为奇函数,

且/(x)=x|x|+3x=<:作出函数/(x)的图象如下图所示:

由图可知，函数/(X)在R上单调递增,

由〃2a)+/优-1)=0得/(2°)=-/伍—=—6),

所以，2a=l—b,即2。+6=1,且。、b都为正数,

对于A选项，由基本不等式可得1=2a+622J不，得8abWl,即。64三,

8

1

a=­

2a+b=141

当且仅当《,C时，即当《:时，等号成立，故ab的最大值为一，A错;

b=2ab=-8

2

1

a

2a+b=\41

当且仅当《7C时,即当V:时，等号成立，故4/+〃的最小值为一，B对;

b=2aj_2

b

2

a+a+b1

对于C选项，由基本不等式可得a(a+b)W

24

当且仅当。=。+6时，即当6=0时，等号成立,

但6为正数，故等号不成立，即a（a+b）<；,C错;

对于D选项，因为2。+6=1,则6a+36=3,即6a+（3b+l）=4,

16a3H1]

所以，—+

0（736+136+16a）

4+2点

6a_3b+1

3b+16a

即当。二=工时，等号成立,

当且仅当<2a+b=l时,6

3

a>0,6>0

故——H—;--的最小值为1,D对.

6a3b+1

故选：BD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

Q

12.已知xeN7—eN,则集合河的真子集的个数是____.

8-x

【答案】15

【解析】

【分析】利用列举法表示集合川，确定集合/的元素个数，即可得出集合川的真子集的个数.

Q

【详解】当xeN时，x>0,则8—xW8,若使得——eN,则（8—x）e{1,2,4,8},

8-x

所以川={0,4,6,7},即集合M的元素个数为4,

因此集合M的真子集个数为24-1=15.

故答案为：15.

13.学校举办运动会时，高一（1）班共有36名同学参加比赛，有26人参加游泳比赛，有15人参加田径比

赛，有13人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有6人，同时参加田径比赛和球类比赛的有4

人，没有人同时参加三项比赛.同时参加游泳和球类比赛的有人.

【答案】8

【解析】

【分析】设高一（1）班参加游泳、田径、球类比赛的学生分别构成集合A、B.C,设同时参加游泳和球

类比赛的学生人数为x人，作出韦恩图，根据题意可得出关于x的方程，解出x的值即可.

【详解】设高一（1）班参加游泳、田径、球类比赛的学生分别构成集合A、B,C,

设同时参加游泳和球类比赛的学生人数为无人，由题意作出如下韦恩图，

由题意可得26+5+4+9—x=44—x=36,解得x=8.

因此，同时参加游泳和球类比赛的有8人.

故答案为：8.

'2

14.已知函数，若关于8的不等式（a+2"（x）+2a<0恰有一个整数

解，则实数。的取值范围是.

【答案】［0」）U（3,8］

【解析】

【分析】作出函数/（X）的图象，求出方程/（X）的解，由已知可得出［/（x）——。］<0,对实

数a的取值进行分类讨论，确定满足不等式［/（》）-21［/（x）-a］<0的整数解，结合图象可得出实数a

的取值范围.

【详解】因为+2x，x-0,作出函数/（X）的图象如下图所示：

x-2x,x<0

当xNO时，f(x)=-x1+2x=+1<1,

当x<0时，由/(x)=》2—2x=2,即必―2x—2=0,解得x=l—G或x=l+G(舍)，

由"(切2—(。+2)/("+2。<0可得[/(》)一21[/(》)一4]<0,

若a>2,则有2</(x)<a,且—i<i—G<o，

若使得满足不等式2</(x)<。恰有一个整数解，则该整数解为x=-1,

则/(—1)<。</(一2),即3<a48；

若a=2,则"⑺-2丁<0,无解;

若a<2,则有a</(x)<2,由图可知，则满足不等式a</(x)<2的整数解为x=1,

所以，0Wa</(1),即0Wa<l.

综上所述，实数4的取值范围是

故答案为：[0/)u(3,8].

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.已知集合/={x|机一IWx〈机2+1},5={讨-2VxV5}.

(1)当加=3时，求ZU8，AcB；

(2)若“xe/”是“xe8”成立的充分不必要条件，求实数加的取值范围.

【答案】(1)AryB=［x\l<x<5\,^o5={x|-2<x<10}

(2)|m|-l<m<2^

【解析】

【分析】(1)当机=3时，写出集合A,利用并集和交集的定义可得出集合4U8,AcB；

(2)根据题意可知AD8,分析可知，A^0,根据集合的包含关系可得出关于切的不等式组，解出加

的取值范围，再对切的取值范围的端点值进行检验即可得解.

【小问1详解】

当〃2=3时，N={x|机一1Vx〈机2+1}={x|2VxV10},

又因为8={x|-2Wx<5},则N={刃2VxV5},A<JB=［x\-2<x<10^.

【小问2详解】

因为“xwN”是“xe8”成立的充分不必要条件，贝IA□8,

因为加2+1-(加-1)=机2—加+2=［加一；］+：〉0,则加2+1>加-1，则/W0,

tn—1>—2

由题意可得<2,=，解得一14加<2,

m~+1<5

检验：当机=—1时，^={x|-2<x<2}Qjg,合乎题意，

当加时，合乎题意.

=2^={X|1<X<5}QJB,

综上所述，实数切的取值范围是{加卜机《2}.

16.定义在R上的单调函数/(x)满足对任意x,?均有/(x+y)=/(x)+/(>),且/⑴=1.

(1)求/(0)的值，判断并证明了(x)的奇偶性；

(2)判断函数单调性，求/(x)在区间［-3,3］上的最小值.

【答案】(1)/(0)=0,/(X)为奇函数，理由见解析

(2)/(x)单调递增，理由见解析，最小值为-3.

【解析】

【分析】⑴令x=y=0得"0)=0,令歹=一》得+力=0,得到函数的奇偶性;

⑵根据/⑴>/(0)得到/(X)单调递增，/(X)的最小值为/(-3),赋值法得到答案.

【小问1详解】

/(x+y)=/(x)+/(y)中,令x=y=o得,/(o)=2/(o),

解得/(o)=o,

/(x+N)=/(x)+/(田中,令尸f得/(x)+/(-x)=/(O)=O,且/(x)的定义域为R,

故/(x)为奇函数；

【小问2详解】

/(l)=l>/(O),/(x)为单调函数，故/(X)只能单调递增，

/(x)在区间［—3,3］上的最小值为/(一3),

/(x+N)=/(x)+/(y)中，令x=lj=T得/⑴+/(-1)=/(0),

故/(-1)=/(。)-/⑴=0T=-1，

令x=y=—1得/(—2)=2〃一1)=一2,

令x=—l,y=—2得/(—3)=/(—+2)=-3,

故/(x)在区间［-3,3］上的最小值为-3.

17.如图，某学校为庆祝70周年校庆，准备建造一个八边形的中心广场，广场的主要造型是由两个相同的

矩形N8C。和EFG”构成的面积为lOOn?的十字形地域.计划在正方形M7VP0上建一座花坛，造价为2900

元/n?；在四个相同的矩形(图中阴影部分)卜.铺花岗岩地面，造价为350元/n?；再在四个空角(图中

四个三角形)上铺草坪，造价为80元/n?.设总造价为沙(单位：元)，4D长为无(单位：m).

(1)当x=4m时，求草坪面积；

(2)当X为何值时，底最小?并求出这个最小值.

441

【答案】(1)——m2

8

(2)故x=』in时，沙最小，最小值为65000元.

2

【解析】

21

【分析】(1)求出等腰直角三角形的直角边长为二m,得到草坪面积；

4

(2)表达出印=2560。+10°*°+33000,利用基本不等式求出最小值及x=

x22

【小问1详解】

四个直角三角形均为等腰直角三角形，直角边长为10°一"一，

4x

止100-x221田井.石加%“1（21?4412

当龙=4时，-------=—m,故早坪面积为4x—x|—=-----m2；

4x42I4J8

【小问2详解】

花坛的造价为2900x2元，四个相同的矩形总造价为350(100-Y)元,

四个直角三角形为等腰直角三角形，直角边长为10°—”

4%

故草坪的总造价为80x4X，100-^100000-2000x2+lOx4一

214x

2

故少:2900/+350（100-X）+10°°0°—20，丫一+10X4

X

2100000+33000>2,2560/.122222

=2560%+——2-+33000=65000元,

x

当且仅当2560x2=10°°0°,即％=*时，等号成立,

%22

故x=*时，用最小，最小值为65000元.

2

18.已知函数/(%)=2丘2+日+2,keR.

(1)若左=1,当x>l时，求2=‘⑴一6"的最小值;

x-1

(2)关于光的不等式/(x)>0对一切实数x恒成立，求左的取值范围；

(3)当左<0时，已知N={x|—5={x|/(x)>0},若AjB,求上的取值范围.

【答案】(1)3(2)0〈左<16

2

(3)——<k<0

3

【解析】

【分析】(1)换元后得到z=27+2—1,X>1,由基本不等式得到最小值；

t

(2)2kx2+kx+2>0,分左=0和左W0两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出04左<16；

(3)/(x)=2依日+2开口向下，要想数形结合得到不等式，求出答案.

【小问1详解】

._1_2x~+x+2—6x+32x~—5x+5

左=11时，z=-----------------------=---------------X>I,

x—\X-I

令=则x=，+l,

2（，+球-5（，+1）+52『—+22

乙———Z/tI17

由基本不等式得z=27+

当且仅当2f=2,即/=l时，等号成立.

【小问2详解】

/（x）>0,即2kX2+依+2〉0,

当左=0时,2>0,满足要求,

2人〉0

当上w0时,需满足<左<0'解得

故左的取值范围是04左<16；

【小问3详解】

k<Q,/(%)=2日2+丘+2开口向下,

/={乂-1Vx<l},要想/78,

需满足八，结合左＜0,解得—；＜左＜0,

U(-1)＞03

上的取值范围是一2(左＜o.

3

19.教材87页第13题有以下阅读材料：我们知道，函数y=/(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的

充要条件是函数y=/(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y=/(x)的图象关于点尸成

中心对称图形的充要条件是函数y=/(x+a)—6为奇函数.已知/(x)=/一3f+3x.

(1)利用上述材料，求函数/(x)图象的对称中心；

(2)利用函数单调性的定义，证明函数g(X)=V在区间(-00,+00)上是增函数.类比推理/(x)的单调性

(不需要证明)；附立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2y

(3)也有同学发现可以将其推广为：若函数y=/(x)的图象关于点尸成中心对称，贝I

f(2a-x)+f(x)=2b,请根据该结论求不等式/(X2)+/(X)＞2的解集.

【答案】(1)(1,1)

(2)证明见解析，/(x)在(-co,+co)上是增函数

(3)(-oo,-l)u(0,+oo)

【解析】

【分析】(1)