2024-2025学年安徽省高一年级上册期中检测数学试卷（含答案）

2024-2025学年安徽省高一上学期期中检测数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知集合M={x|/—1=。},贝)

A.1CMC.{-1,1}CMD.{-1,1}eM

2.已知函数/(x)=产a+声菱-3,其定义域为()

A.(—3,3)B.[-3,+oo)C.[-3,3]D.(—8,3]

3."％=1”是"％2=无，，的()

A.充分必要条件B,充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

4.下列说法中，正确的是（）

A,若a>b且c>d,则ac>bd

1

B.若a<0,贝Ua+£的最小值为一2

C.对任意的实数a和b,总有^>M，当且仅当a=6时等号成立

D.对任意的实数a和b,总有a2+b222ab,当且仅当a=6时等号成立

5.设％GR,定义符号函数sgzi%=101%=0,则函数/（x）=IMsgnx的图象大致是（）

【-11x<0

A.\1/B.AL

6.若对任意实数居R+；+i3a恒成立则实数a的取值范围是（）

A(8局+C.（-oo,0]D.[0,+oo）

7.已知a>ZJ>0,c<d<0,e<0,则下列不等关系成立的是（）

11ee

A'a>bC.ad<beD.y[ce<y[de

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8.已知函数fo)满足/'(久)=/(2-x),且/'(x+1)关于(-1,0)对称，任意乂1,尤2e[0,1](%1丰X2)-XifOl)+

到人冷)>久1/(>2)+X2/O1)恒成立，设a=/(1),b=—/(-c=/(-1),则a,6,c的大小关系为

()

A.c<b<aB.b<c<aC.c<a<bD.a<b<c

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知集合4=[x\y=爰J#=。1丫=必+1),贝弘)

A.AUB=RB.Ar\B=[1,2)

C.Ar\B=0D.(CRB)\JA=(—8,2)

10.下列说法正确的是()

A./(%)=学与或久)={,篌二°0是同一个函数

B.有理数集可以表示为Q=k比=*,p,qGN,p力o}

-1

C.函数y=%+(的图象与y=%的图象存在关于原点对称的交点

D.“所有能被3整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个能被3整除的整数不是奇数”

11.设函数f(x)的定义域为4若对于4内任意两个值勺、比2,都有/(红产""支1)/"2),则称

具有T性质.下列函数中具有T性质的是()

-1

A.f(x)=1—3%B./(x)=-C./(x)=-x2D./(x)=\x+1|

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知幕函数y=》a的图像过点(2,"),函数的解析式为.

13.已知定义域为R的偶函数f(x)满足：/(口)=%+4口，则函数f(x)的解析式为.

14.已知0<6<a+1,(a2—l)/+26x—62<。的解集中的整数恰有4个，则实数a的取值范围为.

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题12分)

已知集合A={x|-3<x<5},集合8={x\m+1<%<3m-l].

(1)当zn=2时，求集合4CB,HUB；

(2)若BU4求实数爪的取值范围.

16.(本小题12分)

已知正实数a、b满足a+2b=4.

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(1)求［+■!的最小值；

(2)求+4炉+5a6的最大值.

17.(本小题12分)

若函数/(%)=a/+6尤+c(aK0)的图象过原点且关于直线x=1对称，/(%)最小值为-1.

(1)求函数的/■(%)的解析式；

(2)若存在xG［3,4］，使得/(X)>2x+m+1成立，求实数m的取值范围.

18.(本小题12分)

我们知道，函数y=/(乃的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=/(%)为奇函数，有同

学发现可以将其推广为：函数y=/(久)的图象关于点P(a,6)成中心对称图形的充要条件是函数y=f

(x+a)-6为奇函数.已知函数/(x)=(x-1)3+3x-2.

(1)证明：函数g(x)=f(久+1)-1是奇函数，并写出函数/'(%)的对称中心;

(2)判断(1)中函数g(x)的单调性(不用证明)，解关于x的不等式+/(5-2幻>2.

19.(本小题12分)

当两个三角形有一个公共顶点且相似时，这样的两个三角形称为“挛生”三角形，它是平面几何中的常见

图形,如图，矩形ABCD中，AB=4km,BC=2km,。为对角线4C的中点，点P、Q分别从2和B两点同时

出发，在边48和BC上运动，连接PO、QO并延长分别与CD、交于点M、N形成“挛生”三角形，如图

阴影部分所示.

D

匕pA

(1)当P、Q两点匀速运动，并且同时到达终点8、C时，在整个运动过程中，请猜想图中“挛生”三角形面

积的大小变化情况.(从“①一直增大、②一直减小、③先增大后减小、④先减小后增大”中

选一个作答，不要求证明)；

(2)当P、Q两点以相同速度u=匀速运动时，并且Q点到达C点后，立即从C点向B点折返运动，直至

与P点第一次相遇.设运动时间为t小时，求出阴影部分面积S关于t的函数解析式.

(3)在函数y=/(%)中,如果存在n个互不相等的值%i，x2,■■■,%"满足/Qi)=/(%2)=…=/'(久n)，则称

%1，x2,―,久n是函数y=/(久)的几重等值根.试判断(2)中函数是否存在3重等值根ti，a，t3，如果存在，

求出々+t2+上的取值范围.

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参考答案

1.C

2.C

3.5

4.D

5.C

6.B

7.B

8.A

9.4BD

IQ.ACD

11.AC

12.y=@

13/(%)-1%2_牝久<o

14.(1,2)

15.解：(1)当租=2时，B={x\3<x<5},

所以/AB={%|3<%<5],AU8={x|—3<x<5]；

(2)若Bex,

当B=。时，m+1>3m—1,解得TH<1；

当BK0时，]那母/]1，解得—4WZUW2,

综上，m<2,

即实数zn的取值范围为(一8,2].

16.解:(1)由a>0,b>0,a+2b=4,得;(a+2b)=1,

所%+-/a+2b)e+令=*5+与+当4(5+2哥”)号

当且仅当乎=迎即a=b=：时，等号成立，

ba3

所以;+前最小值为日.

CLu4,

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(2)a2+4b2+5ab=(a+2b)2+ab=16+1a-2b<16+=18,

当且仅当a=2卿糖：；时，等号成立,

所以层+4按+5ab的最大值为18.

17.解:(1)因为函数/(%)=a/+取+c(aH0)的图象关于直线久=1对称，/(%)最小值为-1.

则。>0,根据二次函数的顶点式可知，/(x)=a(x-l)2-l,

因为函数/(%)的图象过原点，则/(0)=。-1=0,解得。=1,

所以，/(%)=(%—I)2—1=x2—2x.

(2)由题意知，存在久C[3,4],使得/(%)>2%+zn+1,即汽2-2%>2%+TH+1,

即zn<X2—4x—1,

令g(%)=%2-4%-1,其中工£[3,4],则函数g(%)在[3,4]上为增函数，

所以，g(%)max=16-16-1=-1,所以，m<5(x)max=-l.

因此，实数机的取值范围是(一8,-1).

18.解:(1)因为/(%)=(%—I)3+3%—2,则g(%)=f(x+1)—1=x3+3(%+1)—2—1=x3+3%,

函数9(%)的定义域为R,g(-x)=(-x)3+3-(-%)=-x3-3x=一g(X),

所以，函数g(%)=/(%+1)-1为奇函数，

根据题定义，函数y=/(%)的对称中心为(L1).

(2)函数g(%)在R上为增函数，证明如下：

任取第1、％2£R，且％1>%2，则％1-％2>。，

则g(%l)—g(%2)=U1+%1)-(%2+%2)=(%1-%2)+(%1-%2)

2

=(%1-%2)(/+%1%2+岔+1)=(X1-X2)[(^1+y)+苧+1]>0,即0(%1)>9(第2)，

所以，函数g(%)在R上为增函数，

由g(%)=+1)-1可得/(%+1)=g(x)+1，则/(%)=-1)+1，

由/(一％2)+/(5—2%)>2可得g(一%2—1)+g(4—2%)+2>2,

即g(—%2—1)+g(4—2%)>0,即g(4—2%)>—g^—x2—1)=g{x2+1),

因为函数g(%)在R上为增函数，则%2+1<4-2%,即％2+2%-3<0,解得一3V%V1,

因此，不等式/(一％2)+f(5-2x)>2的解集为(一3,1).

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19.解：(1)由题可知，设从4到B的速度为2也则从8到C的速度为，

设2P=2vt,贝!|BQ=vt,BP=4—2vt,CQ=2—vt,

故P4・CQ=BP.BQ,

设BP=a,BQ=b,0<a<4,0<b<2,

则CQ=2-b,AP=4—a,

所以有(4—a)(2—b)=ab=a+2b=4,

由题可知，三角形PQ。的面积

a+2b—ab

Si=SAABC—S4PAO-SAPBQ—S4CQ0=4"-(2—6)=2

因为Q+2b=4,

得Si=b2—2b+2,

显然当b=1时，Si=b2-2b+2最小为1,

22

故当be(0,1)时，Si=b-2b+2变小,be(l,2)时，Sr=b-2b+2变大，，

所以当P、Q两点匀速运动，并且同时到达终点8、C时，在整个运动过程中，

猜想图中“李生”三角形面积的大小变化情况是先减小后增大.

故填④.

(2)显然当t=l时，Q点到达C,此时P为48中点，

当t=2时，Q点第一次回到B,点P第一次到达点B,

我们分段来讨论阴影部分面积S关于t的函数解析式，

当OWtW1时，此时BP=4-2t,BQ=2t,CQ=2-2t,AP=2t,

2

此时，S=^ABQ—S^pAQ—S^pgQ—S—2(4—t—1(4—2t)—(2—2t))=4t—6t+4,

当l<tV2时,BP=4-2t,BQ=4-2t,CQ=2t-2,AP=2t,

22

S=2(^S&ABC—S^PA0—SAPBQ-S—2(4—t—2(2—t)—(2t—2))=-4t+10t—4,

诉Me_[4t2-6t+4,0<t<1

叫以,一(—4步+iot—4,l<t<2)

⑶设(2)