艺考生专题讲义22 单调性的分类讨论

考点22导数与函数的单调性知识梳理讨论函数f(x)单调性的步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)，并求方程f′(x)＝0的根；(3)利用f′(x)＝0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论f′(x)的正负，由符号确定f(x)在该区间上的单调性．注意：研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．精讲精练题型一定义域为R【例1-1】设函数.求函数的单调区间。【答案】(1)的减区间为，增区间为，【解析】的定义域为，∵，当时，，为减函数；当时，，为增函数，故的减区间为，增区间为，极小值为。【例1-2】已知函数，讨论函数的单调性；【答案】见解析【解析】因为，所以.令，解得或.若，当即或时，故函数的单调递增区间为；当即时，故函数的单调递减区间为.若，则，当且仅当时取等号，故函数在上是增函数.若，当即或时，故函数的单调递增区间为；当即时，故函数的单调递减区间为.综上，时，函数单调递增区间为，单调递减区间为；时，函数单调递增区间为；时，函数单调递增区间为，单调递减区间为.【举一反三】1.已知函数判断函数的单调性。【答案】见解析【解析】由题意可求，1.当时，在上为减函数，无极值；2.当时，令，解得,令，解得于是在为增函数，在为减函数；2．若定义在上的函数，，求函数的单调区间；【答案】见解析.【解析】函数，求导得到，当时，，函数在上单调递增；当时，由，得到，所以时，，单调递减，时，，单调递增，综上所述，当时，单调递增区间为；当时，单调递增区间为，单调递减区间为；3．已知函数，讨论的单调性；【答案】见解析【解析】，当时，，∴在上单调递减.当时，令，得；令，得.∴的单调递减区间为，单调递增区间为.当时，令，得；令，得.∴的单调递减区间为，单调递增区间为.4．已知函数，讨论的单调性；【答案】见解析【解析】因为，所以，即.由，得，.①当时，，当且仅当时，等号成立.故在为增函数.②当时，，由得或，由得；所以在，为增函数，在为减函数.③当时，，由得或，由得；所以在，为增函数，在为减函数.综上，当时，在为增函数；当时，在，为增函数，在为减函数；当时，在，为增函数，在为减函数.5．设函数，讨论的单调性；【答案】见解析【解析】(1)由题意得，当时，当；当时，；在单调递减，在单调递增，当时，令得，当时，；当时，；当时，；所以在单调递增，在单调递减；②当时，，所以在单调递增，③当时，；当时，；当时，；∴在单调递增，在单调递减；题型二定义域非R【例2-1】已知函数，，讨论的单调性；【答案】见解析【解析】由已知可知函数的定义域为，由,当时，所以在为增函数,当时，,所以的单调递增区间为,单调递减区间为.【例2-2】已知，求单调区间【答案】见解析【解析】该函数定义域为(第一步：对数真数大于0求定义域)令，解得(第二步，令导数等于0，解出两根)(1)当时，单调增，单调减(第三步，在不在进行分类，当其不存在得到；第四步数轴穿根或图像判断正负)(2)当时即单调增，(第五步，x1在区间时，进行比较大小，当得到第四步图像判断正负)①当时，即单调增，单调减(当得到；第四步图像判断正负)②当时，即单调增，单调减(得到；第四步图像判断正负)综上可知：，单调增，单调减；，单调增单调增，单调减，单调增，单调减【举一反三】【例3】已知函数.讨论函数的单调性；【答案】见解析【解析】由题意知，的定义域为，由，得.①当时，令，可得，，得，故函数的增区间为，减区间为；②当时，，令，可得，，得或，故的增区间为，减区间为、；③当时，，故函数的减区间为；④当时，，令，可得，，得，或，故的增区间为，减区间为，.综上所述：当时，在上为减函数，在上为增函数；当时，在，上为减函数，在上为增函数；当时，在为减函数；当时，在，上为减函数，在上为增函数.2.已知函数讨论的单调性.【答案】见解析【解