【19题结构】 第一学期高二数学期末模拟试卷

试卷第=page11页，共=sectionpages33页第一学期高二数学期末模拟试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、单选题1．在平面直角坐标系Oxy中，直线的倾斜角等于（

）A． B． C． D．2．如图，在空间直角坐标系中，点的坐标为（

）A． B． C． D．3．已知抛物线的焦点为F，P是C第一象限上一点，以P为圆心的圆过点F且与直线相切，若圆P的面积为，则圆P的方程为（

）A． B．C． D．4．正四棱台在古代被称为“方亭”，在中国古代建筑中有着广泛的应用．例如，古代园林中的台榭建筑常常采用这种结构，台上建有屋宇，称为“榭”，这种结构不仅美观，还具有广瞻四方的功能，常用于观赏和娱乐．在正四棱台中，，，，则（

）A．2 B． C． D．35．在平面直角坐标系xOy中，设直线y＝－x＋2与圆x2＋y2＝r2(r＞0)交于A，B两点，O为坐标原点，若圆上一点C满足，则r＝()A． B． C． D．6．已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，A，B是双曲线上关于原点对称的两点，并且，则的面积等于（

）A．6 B．7 C．8 D．97．在平面直角坐标系xOy中，圆O：与圆M：相交于A，B两点，若对于直线AB上的任意一点P，均有成立，则半径r的取值范围是（

）A． B．C． D．8．已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的中垂线经过.记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知直线：，则下列说法正确的是（

）A．直线在轴上的截距为1 B．直线与直线：平行C．直线的一个方向向量为 D．直线与直线：垂直10．在正方体中，分别为线段上的动点，为的中点，则（

）A．存在两点，使得B．C．与所成的最大角为D．直线与平面所成角为的最大值为11．已知椭圆，，分别为它的左右焦点，点分别为它的左右顶点，已知定点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（

）A．存在4个点，使得B．直线与直线斜率乘积为定值C．有最小值D．的取值范围为第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明三、填空题12．若直线是圆的一条对称轴，则.13．已知四棱锥中，底面ABCD，四边形ABCD是正方形，.点在棱上运动，当平面平面时，异面直线与所成角的正弦值为.

14．已知为双曲线：（，）的右焦点，为坐标原点，点是以为直径的圆与双曲线的一个公共点.若点关于点的对称点也在双曲线上，则双曲线的渐近线的斜率为.四、解答题15．已知的三个顶点，，.(1)求边AB上的中线所在直线的一般式方程；(2)求边AB上的高所在直线的斜截式方程.16．如图，在四棱锥中，侧棱底面，分别在棱上，平面.(1)若是的中点，求与平面所成角的余弦值；(2)若，求平面与平面的夹角的余弦值.17．记的内角的对边分别为，已知，外接圆的半径为R．(1)求外接圆的面积；(2)圆经过，且与圆关于直线对称，圆被直线截得弦长为8，求直线的方程．18．如图所示的几何体中，PD垂直于梯形ABCD所在的平面，为PA的中点，，四边形PDCE为矩形，线段PC交DE于点.

(1)求证：平面DEF；(2)求二面角的余弦值；(3)在线段EF上是否存在一点，使得BQ与平面BCP所成角的大小为？若存在，求出FQ的长；若不存在，请说明理由.19．已知椭圆，过点作圆的切线，切点分别为．直线恰好经过的右顶点和上顶点．(1)求椭圆的方程；(2)如图，过椭圆的右焦点作两条互相垂直的弦，．①设中点分别为，证明：直线必过定点，并求此定点坐标；②若直线，的斜率均存在时，求由四点构成的四边形面积的取值范围．参考答案：题号12345678910答案AACBBBBBBDABD题号11答案AD1．A【分析】直线方程化为斜截式，得出直线的斜率，利用斜率与倾斜角的关系求解.【解析】直线化为斜截式，设其倾斜角为，则直线的斜率为，因为，所以，故选：A.2．A【分析】按照空间直角坐标系得点坐标即可.【解析】解：由空间直角坐标系的性质可知点为，故选：A．3．C【分析】由抛物线的定义可知，直线为抛物线的准线，进而得出抛物线的方程，由圆的面积求出圆的半径，进而求出圆心坐标，即可求圆的方程.【解析】曲线的焦点为F，P是C第一象限上一点，以P为圆心的圆过点F且与直线相切，由抛物线的定义得：直线为抛物线的准线，则，所以，所以抛物线方程为：，因为圆P的面积为，所以圆的半径为5，设，因为圆与直线相切，所以，解得，则.又，所以，所以圆P的方程为.故选：C.【小结】本题考查了抛物线的定义、圆的方程等基本知识，考查了数学运算能力和逻辑推理能力，转化的数学思想，属于中档题目.4．B【分析】设，根据正四棱台的性质及结合空间向量的线性运算可得，进而结合空间向量的数量积运算律求解即可．【解析】在正四棱台中，，，，在侧面中，得，由，所以，设，则，所以，则.故选：B．5．B【解析】已知＝＋，两边平方化简得·＝－r2，所以cos∠AOB＝－，所以cos＝，又圆心O(0,0)到直线的距离为＝，所以＝，解得r＝.选B.6．B【分析】连接，，，，由条件证明四边形为矩形，利用勾股定理和双曲线定义式联立求出的值，代入三角形面积公式即得.【解析】由双曲线的对称性可知，A，B，O三点共线，连接，，，，由可得,因，故四边形为矩形，则，，由双曲线C：可得，，则，于是，则①，又②，由，解得，故．故选：B．7．B【分析】根据题意可知与直线AB位置关系，利用圆与圆的位置关系即可得出r的范围．【解析】圆O的圆心为，半径为r，圆M的圆心为半径为2．∴，∵圆O与圆M相交，∴．∵对于直线AB上任意一点P，均有成立，又，当直线AB过点M时，．∴．故答案为：．8．B【分析】由题意可得，结合椭圆和双曲线的定义得到的关系式，根据取值范围分析函数单调性得到结果.【解析】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，它们的公共焦距为，不妨设点在第一象限.∵在的中垂线上，∴，由椭圆、双曲线的定义得：，∴，整理得，∴，即，∴，∴，令，由定义法可证在为增函数，且，∵，∴.故选：B.9．BD【分析】求出直线的横截距及方向向量判断AC；由方程判断两直线的位置关系判断BD.【解析】对于A，直线在轴上的截距为，A错误；对于B，直线与直线的斜率均为，它们的横截距分别为，则，B正确；对于C，直线的一个方向向量为，C错误；对于D，由，得，D正确.故选：BD10．ABD【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量结合线线角、线面角的向量求法逐项判断即得.【解析】在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，令，则，，由在线段上，得，则，，由在线段上，得，则，，对于A，当时，，即，而，则，A正确；对于B，，，，则，B正确；对于C，，，当时，，此时与所成的角为，C错误；对于D，，因为轴垂直平面，所以可取平面的法向量为n=0,1,0则，当且仅当时取等号，所以直线与平面所成角为的最大值为，D正确.故选：ABD.【小结】方法小结：计算线面角，一般有如下几种方法：（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角；（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为.11．AD【分析】设为椭圆的上顶点，利用椭圆的性质可求得，可判断A；设Mx,y，计算可得的值可判断B；由题意可得，利用基本不等式中1的代换可求得的最小值判断C；利用数形结合可求得的最值，进而可求得的取值范围判断D.【解析】对于A中，由椭圆，可得，，，设为椭圆的上顶点，且，可得，所以，故在第一象限有点，使得，根据对称性四个象限各有一个点符合题意，故存在4个点，使得，所以A正确；对于B中，设Mx,y，则，且，可得，则为定值，所以B错误．对于C中，由椭圆的定义，可得，则，当且仅当时，即时等号成立，所以C错误．对于D中，由点在椭圆外，设直线，与椭圆相交于，，如图所示，则，因为，且，可得，即，所以，所以，所以D正确．故选：AD．【小结】关键点小结：对于C，关键利用椭圆的定义得，进而利用基本不等式1的代换求得最小值，对于D，求圆锥曲线中两线段和的最值，常常利用数形结合求得最值，其中常用到圆锥曲线的定义.12．【分析】根据圆心在直线上建立关于a的方程，解之即可求解.【解析】圆的圆心为，因为直线是圆的一条对称轴，所以圆心在直线上，所以，解得.故答案为：.13．【分析】首先建立空间直角坐标系，分别求平面和平面的法向量，利用法向量垂直求点的位置，并利用向量法求异面直线所成角的余弦值，即可求解正弦值.【解析】如图，以点为原点，以向量为轴的正方向，建立空间直角坐标系，设，，，，，设,，，，设平面的法向量为，，令，则，则平面的法向量为，设平面的法向量为，则，令，所以平面的法向量为，因为平面平面，所以，解得：所以，，设异面直线与所成角为，,所以异面直线与所成角的正弦值.

故答案为：14．【分析】由题设探求出与都是以B为直角顶点的直角三角形，令，并表示相关量，再借助勾股定理建立方程组，求出a，b的关系即可.【解析】因点是以为直径的圆与双曲线的一个公共点，则，设点关于点的对称点为，双曲线的左焦点为，则，有，如图，令，则，，，又，在中，，即，在中，，即于是得，解得，即，所以双曲线的渐近线的斜率为.故答案为：15．(1)(2)【分析】（1）先求出边AB的中点，再由点斜式方程求直线方程即得；（2）利用两直线的垂直求得边AB上的高线的斜率写出直线方程，化成斜截式方程即得.【解析】（1）设是边AB的中点，则即得，边AB上的中线CD的斜率为故其方程为,即得，故边AB上的中线所在直线的一般式方程为；（2），，，边AB上的高所在直线的斜率，边AB上的高所在直线的方程为,其斜截式方程.16．(1).(2).【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量坐标公式计算即可；（2）分别求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量坐标公式计算即可.【解析】（1）由题意：底面是正方形；连接交于点，连接；因为平面，平面平面平面，所以；又是中点，故是中点；以为原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系；不妨设，则.由题意，是的中点，则；故；设平面的法向量为，则；令，得；记与平面所成角为，则，故；故与平面所成角的余弦值为.（2），故，故；又平面，平面，故平面；故平面的法向量；平面的法向量；记平面与平面的夹角为，则，故平面与平面的夹角的余弦值为.17．(1)(2)或【分析】（1）根据正弦定理可得，进而结合辅助角公式求解可得，进而结合正弦定理可得，进而求解；（2）设，根据对称性质列出方程组求得，可得圆的方程，进而分直线的斜率存在和不存在讨论求解即可.【解析】（1）由，根据正弦定理，得，因为，所以，则，即，即，又，则，所以，即，则，即，所以外接圆的面积为.（2）由圆，圆心为，半径为，设，由题意得，解得，即，则圆的方程为，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，，则，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，到直线距离为，由，得，解得，则直线的方程为，即.综上所述，直线的方程为或.18．(1)证明见解析(2)(3)存在，【分析】（1）由题意结合线面平行的判定定理即可证得题中的结论；（2）建立空间直角坐标系，利用两个半平面的法向量可得二面角的余弦值；（3）假设点Q存在，利用直线的方向向量和平面的法向量计算可得点Q的存在性和位置.【解析】（1）因为四边形PDCE为矩形，所以N为PC的中点，连接FN，

在中，F、N分别为PA、PC的中点，所以，因为平面DEF，平面DEF，所以平面DEF；（2）因为PD垂直于梯形ABCD所在的平面，又AD、DC在平面ABCD内，所以，又，所以，如图以D为原点，分别以DA、DC、DP所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，

则，所以，设平面PBC的法向量为m=则，即，解得，令，则，所以平面PBC的一个法向量为，设平面ABP的法向量为，，令，则，所以平面ABP的一个法向量为，，因为二面角的平面角是钝角，所以二面角的平面角余弦值为，（3）设存在点Q满足条件，由，设，则，因为BQ与平面BCP所成角的大小为，所以，解得，又，所以，即Q点E与重合，故在线段EF上存在一点Q，且.19．(1)；(2)①证明见解析；②.【分析】（1）首先根据与圆相切的两条直线求得点的坐标，然后求得直线的方程，由此可求得椭圆的方程；（2）①直线斜率均存在，设出直线、的方程，然后分别联立椭圆方程，结合韦达定理求得点的坐标，再结合中点求得斜率，从而求得定点；②将①中直线的方程代入椭圆方程中，然后将的长度表示出来，再结合基本不等式即可求出范围．【解析】（1）过作圆的切线，一条切线为直线，切点.设另一条切线为，即.因为直线与圆相