新高考数学二轮复习讲义专题10 导数在函数中的应用 （原卷版）

专题10讲：导数在函数中的应用【考点解密】1．导数的概念(1)如果当Δx→0时，平均变化率eq\f(Δy,Δx)无限趋近于一个确定的值，即eq\f(Δy,Δx)有极根，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称瞬时变化率)，记作f′(x0)或SKIPIF1<0，即f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).(2)当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)，记为f′(x)(或y′)，即f′(x)＝y′＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx).2．导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．3．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q，α≠0)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝ax(a>0且a≠1)f′(x)＝axlnaf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(a>0且a≠1)f′(x)＝eq\f(1,xlna)f(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)4．导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,gx)))′＝eq\f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0)；[cf(x)]′＝cf′(x)．5．复合函数的定义及其导数(1)一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．(2)复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．6．函数的单调性与导数的关系条件恒有结论函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导f′(x)>0f(x)在(a，b)上单调递增f′(x)<0f(x)在(a，b)上单调递减f′(x)＝0f(x)在(a，b)上是常数函数7．利用导数判断函数单调性的步骤第1步，确定函数的定义域；第2步，求出导数f′(x)的零点；第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．8．函数的极值(1)函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0.则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0.则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．9．函数的最大(小)值(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．【方法技巧】1．(1)处理与切线有关的参数问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．(2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P处的切线”：在“点P处的切线”，说明点P为切点，点P既在曲线上，又在切线上；“过点P处的切线”，说明点P不一定是切点，点P一定在切线上，不一定在曲线上．2．根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．(2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且在(a，b)内的任一非空子区间上，f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解．(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题．3．函数极值的两类热点问题(1)求函数f(x)极值的一般解题步骤①确定函数的定义域．②求导数f′(x)．③解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根．④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号．(2)根据函数极值情况求参数的两个要领①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．②验证：求解后验证根的合理性．【核心题型】题型一：由函数的单调区间求参数1．（2022·黑龙江佳木斯·佳木斯一中校考三模）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，a的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2020·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）已知SKIPIF1<0，若对于SKIPIF1<0且SKIPIF1<0都SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2019·四川达州·统考一模）若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的减函数，则实数SKIPIF1<0的取值范围是A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0题型二：由函数在区间上单调性求参数4．（2022·宁夏吴忠·吴忠中学校考三模）若函数SKIPIF1<0，在定义域内任取两个不相等的实数SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0恒成立，则实数a的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2022·安徽·南陵中学校联考模拟预测）已知函数SKIPIF1<0，若当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则实数a的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．（2022·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）设函数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的单调函数，则实数a的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0题型三：含参数的分类讨论问题7．（2023·全国·高三专题练习）若SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的极大值点，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．（2023秋·四川宜宾·高三四川省宜宾市第四中学校校考期末）已知函数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0有四个不同的零点，则a的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<09．（2020·全国·高三专题练习）已知不等式ex﹣x﹣1＞m[x﹣ln（x+1）]对一切正数x都成立，则实数m的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．（﹣∞，1] D．（﹣∞，e]题型四：根据极值（点）求参数问题10．（2021秋·四川泸州·高三四川省泸县第二中学校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0与函数SKIPIF1<0的图像上恰有两对关于x轴对称的点，则实数a的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<011．（2022·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考模拟预测）已知函数SKIPIF1<0存在极大值点和极小值点，则实数SKIPIF1<0可以取的一个值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<012．（2022·陕西西安·西安中学校考二模）已知函数SKIPIF1<0有两个极值点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0的不同实根个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．5题型五：由导数求函数的最值问题13．（2022·安徽·巢湖市第一中学校联考模拟预测）已知不等式SKIPIF1<0对SKIPIF1<0恒成立，则实数a的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．114．（2022秋·湖南郴州·高三校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0若方程SKIPIF1<0恰有3个不同的实根，则实数a的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<015．（2021秋·河南驻马店·高三校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0，对任意SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0恒成立，则SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0题型六：由函数最值求参数问题16．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，若SKIPIF1<0恒成立，则SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<017．（2022·辽宁丹东·统考一模）设SKIPIF1<0，若函数SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<018．（2022秋·河南洛阳·高三校联考阶段练习）设函数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，则a的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0题型七：函数的单调性极值和最值问题综合19．（2023·全国·模拟预测）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求函数SKIPIF1<0的最值；(2)若关于x的不等式SKIPIF1<0恒成立，求实数k的取值范围．20．（2023·陕西·西安市西光中学校联考一模）已知函数SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0为常数，SKIPIF1<0为自然对数的底数.(1)当SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0的单调区间；(2)若SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的最大值为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值.21．（2023·广东广州·统考二模）已知定义在SKIPIF1<0上的函数SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，讨论SKIPIF1<0的单调性；(2)若SKIPIF1<0，且当SKIPIF1<0时，不等式SKIPIF1<0恒成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围.【高考必刷】一、单选题22．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）函数SKIPIF1<0，则满足不等式SKIPIF1<0的实数x的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<023．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知函数f（x）为定义在R上的偶函数，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则不等式SKIPIF1<0的解集为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<024．（2023·甘肃兰州·校考一模）已知函数SKIPIF1<0的极值点为SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<025．（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）已知函数SKIPIF1<0存在唯一的极值点，则实数a的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<026．（2023·全国·模拟预测）函数SKIPIF1<0恰有3个零点，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<027．（2023·吉林·长春十一高校联考模拟预测）已知函数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）在区间SKIPIF1<0上总存在零点，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<028．（2022秋·新疆·高三校联考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0对SKIPIF1<0均满足SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的导数，则下列不等式恒成立的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<029．（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0有四个不同的零点，从小到大依次为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多选题30．（2023·全国·唐山市第十一中学校考模拟预测）已知SKIPIF1<0存在两个极小值点,则SKIPIF1<0的取值可以是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<031．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处有极值，且极值为8，则（

）A．SKIPIF1<0有三个零点B．SKIPIF1<0C．曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0D．函数SKIPIF1<0为奇函数32．（2023·湖北·宜昌市一中校联考模拟预测）已知SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<033．（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0，则下列结论正确的是（

）A．当m＞0时，函数SKIPIF1<0的图象在点SKIPIF1<0处的切线的斜率为SKIPIF1<0B．当m＝l时，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减C．当m＝l时，函数SKIPIF1<0的最小值为1D．若SKIPIF1<0对SKIPIF1<0恒成立，则SKIPIF1<034．（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（

）A．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是增函数B．SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0恒成立，则正实数SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0有两个零点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0三、填空题35．（2023·全国·模拟预测）已知SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最小值为2，则实数SKIPIF1<0__________.36．（2023·辽宁·校联考模拟预测）已知SKIPIF1<0和SKIPIF1