新高考数学二轮复习讲义专题18 空间向量在立体几何中的应用（角和距离）（原卷版）

专题18空间向量在立体几何中的应用（角/距离）【考点专题】考点一：空间角的向量法解法角的分类向量求法范围两条异面直线所成的角设两异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cosθ＝|cos〈u，v〉|＝eq\f(|u·v|,|u||v|)eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))直线与平面所成的角设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sinθ＝|cos〈u，n〉|＝eq\f(|u·n|,|u||n|)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))两个平面的夹角设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))考点二：点P到直线l的距离已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量eq\o(AP,\s\up6(→))在直线l上的投影向量为eq\o(AQ,\s\up6(→))＝a，则点P到直线l的距离为eq\r(a2－a·u2)(如图)．考点三：点P到平面α的距离设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为eq\f(|\o(AP,\s\up6(→))·n|,|n|)(如图)．【核心题型】题型一：空间向量求线面角/面面角1．（2023·湖南邵阳·统考二模）如图所示，在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0（除端点外）上的动点，沿直线SKIPIF1<0将SKIPIF1<0翻折到SKIPIF1<0，则下列说法中正确的是（

）A．当点SKIPIF1<0固定在线段SKIPIF1<0的某位置时，点SKIPIF1<0的运动轨迹为球面B．存在点SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0C．点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0D．异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值的取值范围是SKIPIF1<02．（2023春·湖北·高二校联考阶段练习）如图，在三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是边长为SKIPIF1<0的等边三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点．(1)求证：SKIPIF1<0；(2)求直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值．3．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）如图，在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0上的动点.(1)证明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，且异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0成30°角，求平面SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0夹角的余弦值.题型二：空间向量求空间距离4．（2023·宁夏银川·校联考一模）如图，圆锥SO的侧面展开图是半径为2的半圆，AB，CD为底面圆的两条直径，P为SB的中点.(1)求证：SKIPIF1<0平面PCD；(2)当SKIPIF1<0体积最大时，求S到平面PCD的距离.5．（2023·全国·校联考模拟预测）如图，在三棱锥SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面ABC，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，D是棱PC的中点．(1)求证：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求直线BC与平面ADB所成角的正弦值．6．（2023秋·天津河北·高三统考期末）如图，SKIPIF1<0垂直于梯形SKIPIF1<0所在平面，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0为矩形.(1)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的夹角的大小；(3)求点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离.题型三：空间线段点存在问题7．（2023·河南焦作·统考模拟预测）如图1，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上一点，且SKIPIF1<0.现将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折到SKIPIF1<0，如图2.(1)证明：SKIPIF1<0.(2)已知二面角SKIPIF1<0为SKIPIF1<0，在棱SKIPIF1<0上是否存在点SKIPIF1<0，使得直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值为SKIPIF1<0？若存在，确定SKIPIF1<0的位置；若不存在，请说明理由.8．（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱SKIPIF1<0中，底面ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，侧面SKIPIF1<0为菱形，点SKIPIF1<0在底面上的投影为AC的中点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)求证：SKIPIF1<0；(2)求点SKIPIF1<0到侧面SKIPIF1<0的距离；(3)在线段SKIPIF1<0上是否存在点SKIPIF1<0，使得直线DE与侧面SKIPIF1<0所成角的正弦值为SKIPIF1<0？若存在，请求出SKIPIF1<0的长；若不存在，请说明理由．9．（2021·天津静海·静海一中校考二模）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0为直角梯形，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上（不包括端点），点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点.(1)若SKIPIF1<0，求证：直线SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的夹角的余弦值；(3)是否存在点SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值为SKIPIF1<0？若存在，求出SKIPIF1<0的值；若不存在，说明理由.【高考必刷】一、单选题10．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）在正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0上的点，且SKIPIF1<0，则（

）A．平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0 B．平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0四点共面 D．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为SKIPIF1<011．（2023·全国·模拟预测）如图，已知圆柱SKIPIF1<0的轴截面SKIPIF1<0为矩形，SKIPIF1<0，P，Q分别为圆柱上、下底面圆周上一点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则异面直线PQ与AB所成角的余弦值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<012．（2023·全国·模拟预测）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线AC1与平面A1B1C1所成角的正弦值为SKIPIF1<0，则异面直线BA1与B1C所成角的余弦值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<013．（2023·福建莆田·统考二模）在正方体SKIPIF1<0中，点M，N分别是SKIPIF1<0上的动点，当线段SKIPIF1<0的长最小时，直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<014．（2023·四川·校联考一模）在长方体SKIPIF1<0中，已知异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与AB所成角的大小分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0所成的角的余弦值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<015．（2023·山东菏泽·统考一模）如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且SKIPIF1<0四个顶点在同一平面内，下列结论：①SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；②平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，正确命题的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．416．（2023春·云南昆明·高三校考阶段练习）如图，在棱长为1的正方体SKIPIF1<0中，P为棱SKIPIF1<0的中点，Q为正方形SKIPIF1<0内一动点（含边界），则下列说法中不正确的是（）A．若SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则动点Q的轨迹是一条线段B．存在Q点，使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0C．当且仅当Q点落在棱SKIPIF1<0上某点处时，三棱锥SKIPIF1<0的体积最大D．若SKIPIF1<0，那么Q点的轨迹长度为SKIPIF1<017．（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，则下面说法中正确的有（

）A．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的余弦值为SKIPIF1<0D．点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<018．（2022·陕西安康·统考一模）如图，在多面体SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0为菱形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点M在棱SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，则下列说法错误的是（

）A．平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．点M到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0 D．多面体SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0二、多选题19．（2023春·全国·高三校联考阶段练习）在正方体SKIPIF1<0中，点P满足SKIPIF1<0，则（

）A．若SKIPIF1<0，则AP与BD所成角为SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<020．（2023·河北石家庄·统考一模）已知正方体SKIPIF1<0的棱长为2，M，N分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，则（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．平面SKIPIF1<0截此正方体所得截面的周长为SKIPIF1<0D．三棱锥SKIPIF1<0的体积为321．（2023·安徽·统考一模）在平行六面体SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（

）A．直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0B．线段SKIPIF1<0的长度为SKIPIF1<0C．直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0D．直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值为SKIPIF1<022．（2023春·四川遂宁·高三校考阶段练习）如图，在平行六面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0的中点，以SKIPIF1<0为顶点的三条棱长都是SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（

）A．SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0夹角的余弦值为SKIPIF1<0三、填空题23．（2022春·河南南阳·高三南阳中学校考阶段练习）如图，在四面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0､SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0､SKIPIF1<0的中点.若用一个与直线SKIPIF1<0垂直，且与四面体的每个面都相交的平面SKIPIF1<0去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则下面的说法中正确的有___________.①SKIPIF1<0，SKIPIF1<0②四面体外接球的表面积为SKIPIF1<0.③异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的正弦值为SKIPIF1<0④多边形截面面积的最大值为SKIPIF1<0.24．（2022·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点.（1）直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正切值为___________；（2）直线SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为___________；（3）已知点SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上，平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成二面角为60°则线段SKIPIF1<0的长为___________.25．（2022秋·湖南怀化·高三校考阶段练习）如图，多面体ABCDEF中，面ABCD为正方形，DE⊥平面ABCD，CF∥DE，且AB=DE=2，CF=1，G为棱BC的中点，H为棱DE上的动点，有下列结论：①当H为DE的中点时，GH∥平面ABE；②存在点H，使得GH⊥AE；③三棱锥B−GHF的体积为定值；④三棱锥E−BCF的外接球的表面积为SKIPIF1<0