《微分中值定理探究》4900字（论文）

[1]利用微分中值定理证明一些题时要构造辅助函数,构造的函数要满足微分中值定理的条件才能证明所需要的结论,而构造合适的辅助函数往往比较困难.在本文中,我通过结论的变形、利用微分方程求通解、利用不定积分等方法构造出辅助函数.罗尔中值定理的应用罗尔中值定理是微分中值定理中是最基础的定理,其他的微分中值定理都与它有着千丝万缕的关系.因此罗尔中值定理在微积分学中是一个重点,同时也是学习中需要突破的一个难点和重点.可以通过研究定理中的条件、结论和几何意义,从而来解决我们需要解决的问题.证明含有导数方程根的存在性及根的个数罗尔中值定理的出现可以更好的证明方程根的存在性.在证明的过程中,要注意函数是否满足罗尔中值定理的条件.例1若在内有二阶导数,并且,其中证明:在内至少有一点,使得.证明由于在与上都满足Rolle定理的条件,所以,,得,.由题意可得,在上连续,在内可导,所以对在上应用Rolle定理得,,使得．例2设在上连续,在内二阶可导,且,.证明:,使.证明由,得,且.又因为,所以有,使,即.在上应用Rolle定理,,使.又在上对应用Rolle定理,知,使.例3证明在区间上不可能有两个零点.证明反证法设在上有两个零点为和,不妨设,且为初等函数在R上连续,从而在上必连续,在内可导,且.由Rolle定理知,,使得,即,即,而,从而矛盾,即原命题成立.证明含有导数的等式成立例4设在上连续,在内可导,且有,证明:存在一点,使成立.证明要证明,即证,从而令,则.由题意可知,在上连续,在内可导,并且,应用Rolle定理可知,至少存在一点,使得即.例5设在上连续,在内可导,且有,.求证:,使.证明将等式中的换成,得,将等式变形得,将其两边同时积分得,即.因此令,则在上连续,在内可导,并且.由Rolle中值定理知,,使得,即.例6设在上连续,在内可导,且有.求证:在内至少存在一点,使.证明将题中的改为,得,所以对微分方程求通解得:,即.因此令,并且在上连续,在内可导,且有.由Rolle定理知,,使,即.罗尔定理在高中数学里的应用高中数学题中有关导数的题有时通过高中课本中的知识是无法解决,所以会应用到数学分析中的知识点,比如洛必达法则、微分中值定理等知识,将围绕罗尔中值定理来解决一些高中数学题.例7已知函数,求证:函数只有一个零点.证明先证明方程根的存在性,因为和所以由根的存在性定理得:至少存在一个实数,使得.然后证明解的唯一性:假设f(x)有两个零点为则,由Rolle定理得:至少存在一个,使得即,与相矛盾,故假设不成立.故函数只有一个零点.例8已知函数.求:（1）如果函数在上是单调函数,试求实数的取值范围;（2）已知函数,且,如果在上恰有3个零点,求实数的取值范围.解（1）,当在上是单调递增时,则,因此得当在上单调递减时,,因此得综上得,实数的取值范围是（2）由题得,由于可知在内恰好有一个零点,设该零点为,由Rolle中值定理可知,从而在上有不同的两个解,即在上有两个不同的零点.由（1）可知:当时,在区间上单调,与在内至多有一个零点相矛盾,所以的取值范围为.令,得,因此在上是单调递减,在区间上是单调递增,记的两个零点分别为和,且,,则有又因为,得,故又因,所以综上得,实数的取值范围为拉格朗日中值的应用在微分中值定理中,最突出的是拉格朗日中值定理,因为它对函数的要求低,所以它的应用相对罗尔中值定理而言更为广泛,它在证明命题时与罗尔中值定理证明的方法差不多,只是变化更丰富而已.证明双边不等式在证明双边不等式时,可以考虑拉格朗日中值定理来证明,在证明的过程中,对不等式要进行适当的变形来构造合适的辅助函数,然后寻找拉格朗日中值定理所需要的区间,最后利用区间上的一点,对该点处函数的一阶导数进行应用.例9证明不等式证明当时,有.当时,不妨设,令在闭区间上连续,在开区间内可导,所以Lagrange中值定理可得,,使得,化简的故.例10证明数值不等式证明由题可知,令,且在上连续,在内可导,由Lagrange中值定理可知,,使得,即,从而得,得.例11证明当时,.证明设,则是基本初等函数,从而在时连续,在必连续且可导,并且.从而由Lagrange中值定理得,至少使得,即.也即.而,从而又因为从而即证明恒等式通过,得从而使导数时,(C为某个常数),通过此原理来证明恒等式成立.例12在区间有意义,证明:证明问题等价于要证明函数事实上而故.因此但由可知,所以即成立.求函数极限利用洛必达法则求有难度的极限,其过程复杂并且容易出错，所以微分中值定理就可以解决这一问题，并且提供了简单而有效的方法.其方法是将极限的某些部分构造成辅助函数,然后使用拉格朗日中值定理,最后求出极限.例13求,其中.解设,应用Lagrange中值定理,,有.则例14求极限.解令,由题可知,在区间上满足Lagrange中值定理的条件,所以,使得,令,并且在满足Lagrange中值定理的条件,所以,.故研究函数在区间上的性质例15证明:区间是有限或无穷的,若在内的是有界的,则于中一致连续.证明由题可知,使得,,则当且时,在上连续,在内可导,根据Lagrange中值定理可得,,则在内一致连续.例16设在上二阶可导,且当时,有.证明:方程在内至有一个实根.证明由可知,单调递减,即当时,因此函数单调递减,从而可知内至多有一个实根.又因为均为定值,所以且为定值,在上应用Lagrange中值定理可得:于是.因为,故在内,至少有一个实根.综上所述,方程在内至有一个实根.例17设在内可微,在内有界,证明:在内也有界.证明因为在内有界,所以,使得又由在内可微,所以在内连续,则当取时,为定值.不妨设,则是定值.且,则在上满足Lagrange中值定理的条件,恒有,.所以即所以在内也有界.例18讨论函数的在区间上的单调性.解因为,两边求导,得.通过Lagrange中值定理得：使得所以有,得又所以即在内单调递增.在高中数学里的应用例19已知函数.设,证明:.证明由题意可得,,由Lagrange中值定理得,使得例20已知函数,有导函数,对任意两个不相等的正数.求证:（1）当时,;（2）当时,.证明（1）不妨设,即证.由拉格朗日中值定理可知,存在,则且,,又.当时,,所以是一个单调递减函数,故,因此成立.（2）由题可得,令,则由Lagrange中值定理可得:,使得.下面只要证明:当时,,都有,即,即时,有.也就是证明的最小值大于4.由于当且仅当时,取的最小值.又,故时,.由Lagrange中值定理得:,使得.即.柯西中值定理的应用柯西中值定理可以说是拉格朗日中值定理的推广形式,它比其它定理更具有一般性.在各种教材中对它的应用提及较少,而柯西中值定理的应用也十分广泛.利用柯西中值定理证明命题时,需要借助两个辅助函数进行证明.证明不等式例21证明不等式.证明令则题中的不等式可以转化为,因为,对在区间有Cauchy中值定理可得从而转化成因为,而当时,.所以,得,相当于,即.证明等式在利用柯西中值定理证明等式,题目通常以存在某点使等式成立的形式出现,在于对结果进行整理与变形,找出符合柯西中值定理的两个辅助函数.例22设函数在上可微分,且.证明,其中证明设,由于,故在闭区间之外,从而和均在闭区间上可微,且有及.和满足Cauchy中值定理的条件,故,得,即化简整理,即得.例23设在上连续,在内可导,且,证明:,使证明将题目中的等式转化成分式结构设在上对函数应用Cauchy中值定理,得即.例24设在上连续,内可导证明:存在,使得证明将两边同时乘以可得,设应用Cauchy中值定理,得:使得即计算不定式的极限例25若函数在内可导,且,证明:证明由,从而,.显然,.由,知,,当时,有.对,在上应用Cauchy中值定理,得,使得,即.由于,所以时,有和于是,使即.例26设,函数在上可导.证明(1)存在使得.(2)设在处二阶可导,证明:.证明（1）设在上满足Lagrange中值定理条件,故,得.（2）由题可知函数在点二阶可导,在点的某领域内连续并有一阶导数,任取,令,,则满足Cauchy中值定理条件,故使而时,,且在处二阶可导,故证明函数有界例27设函数在内可微,,证明:在内,.证明引入辅助函数,在上应用Cauchy中值定理,得.因为且,所以,从而.证明函数的一致连续性例28设函数在区间内连续且可导,有,证明:在内一致连续.证明由函数极限的局部有界性可知,,设,当时那么对于,且由Cauchy中值定理,得,有,即.故,当,且时,由上面两式得到所以在上一致连续.又因为在内连续且可导,所以在上连续,从而在上一致连续,故在上一致连续.总结与展望由于时间紧迫,本文只涉及到了关于微分中值定理的一些易常用的应用,在应用时需注意验证定理的条件.本文探究了微分中值定理求极限、证明不等式、证明等式和证明根的存在性等,在高中数学里的应用,还需要进一步的研究.如何轻松的理解和掌握这一数学思想,期待在以后教育教学时间中加以探索，也希望本论文能够对大家学习微分中值定理有所帮助.本文对于积分中值定理及其应用还没有涉及到,其在应用的过程中,它可以直接得出结果,也可以简化较为复杂的被积函数.积分中值定理的应用也非常广泛，比如进行估值运算、抽象函数中出现的求极限、求函数在区间上的平均值、证明积分不等式等.希望在以后的学习中能够对其进行深层次的研究.

参考文献华东师范大学数学系.数学分析(上册)[M].第四版.北京:高等教育研究,2010.王艳萍.微分中值定理的推广及应用[J].洛阳师范学院学报,2019,38(2):15-16,26.魏建刚.微分中值定理及其应用[J].考试周刊,2017(56):2,60.魏建荣.微分中值定理的相关研究与分析[J].现代职业教育,2017(22):64.帅灿.从中学数学中发现微分中值定理的美[J].科学技术创新,2018(3):52-53.宋扬.微分中值定理及其应用[J].数字化用户,2018,24(15):253.陈平,万祥兰.微分中值定理及其应用举例[J].考试周刊,2016(A5):66.张阿妮.微分中值定理的应用[J].课程教育研究（新教师教学）,2016(26):2-3.梁静.基于微分中值定理的基本不等式证明方法[J].长春师范大学学报（自然科学版）,2020,39(6):10-15.董姗姗,齐雪.辅助函数构造法证明微分中值定理及其