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文档简介

吉林省洮南市第十中学2025届高三3月份第一次模拟考试数学试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.由曲线围成的封闭图形的面积为()A. B. C. D.2.已知,则的值等于()A. B. C. D.3.若函数恰有3个零点,则实数的取值范围是()A. B. C. D.4.已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布,从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为()(附:若随机变量ξ服从正态分布,则,.)A.4.56% B.13.59% C.27.18% D.31.74%5.若双曲线:的一条渐近线方程为,则()A. B. C. D.6.将函数图象向右平移个单位长度后,得到函数的图象关于直线对称,则函数在上的值域是()A. B. C. D.7.在正方体中,球同时与以为公共顶点的三个面相切,球同时与以为公共顶点的三个面相切,且两球相切于点.若以为焦点,为准线的抛物线经过,设球的半径分别为,则()A. B. C. D.8.如图是计算值的一个程序框图,其中判断框内应填入的条件是()A.B.C.D.9.已知命题:是“直线和直线互相垂直”的充要条件;命题:函数的最小值为4.给出下列命题:①;②;③;④,其中真命题的个数为()A.1 B.2 C.3 D.410.设椭圆:的右顶点为A,右焦点为F,B、C为椭圆上关于原点对称的两点,直线BF交直线AC于M,且M为AC的中点,则椭圆E的离心率是()A. B. C. D.11.一个袋中放有大小、形状均相同的小球,其中红球1个、黑球2个,现随机等可能取出小球,当有放回依次取出两个小球时,记取出的红球数为;当无放回依次取出两个小球时,记取出的红球数为,则()A., B.,C., D.,12.已知向量,,若,则与夹角的余弦值为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若在上单调递减,则的取值范围是_______14.已知函数函数,其中,若函数恰有4个零点,则的取值范围是__________.15.已知变量x,y满足约束条件x-y≤0x+2y≤34x-y≥-6,则16.若满足约束条件,则的最小值是_________,最大值是_________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,为等腰直角三角形,,D为AC上一点,将沿BD折起,得到三棱锥,且使得在底面BCD的投影E在线段BC上,连接AE.(1)证明:;(2)若,求二面角的余弦值.18.(12分)数列的前项和为,且.数列满足,其前项和为.(1)求数列与的通项公式;(2)设,求数列的前项和.19.(12分)已知函数,.(1)当时,讨论函数的零点个数;(2)若在上单调递增,且求c的最大值.20.(12分)已知函数.(1)讨论的零点个数;(2)证明:当时,.21.(12分)如图,直三棱柱中,分别是的中点,.(1)证明:平面;(2)求二面角的余弦值.22.(10分)如图,四棱锥中,侧面为等腰直角三角形,平面.(1)求证:平面;(2)求直线与平面所成的角的正弦值.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

先计算出两个图像的交点分别为,再利用定积分算两个图形围成的面积.【详解】封闭图形的面积为.选A.【点睛】本题考察定积分的应用,属于基础题.解题时注意积分区间和被积函数的选取.2、A【解析】

由余弦公式的二倍角可得,,再由诱导公式有,所以【详解】∵∴由余弦公式的二倍角展开式有又∵∴故选:A【点睛】本题考查了学生对二倍角公式的应用,要求学生熟练掌握三角函数中的诱导公式,属于简单题3、B【解析】

求导函数,求出函数的极值,利用函数恰有三个零点,即可求实数的取值范围.【详解】函数的导数为,令,则或,上单调递减,上单调递增,所以0或是函数y的极值点,函数的极值为:,函数恰有三个零点,则实数的取值范围是:.故选B.【点睛】该题考查的是有关结合函数零点个数,来确定参数的取值范围的问题,在解题的过程中,注意应用导数研究函数图象的走向,利用数形结合思想,转化为函数图象间交点个数的问题,难度不大.4、B【解析】试题分析:由题意故选B.考点:正态分布5、A【解析】

根据双曲线的渐近线列方程,解方程求得的值.【详解】由题意知双曲线的渐近线方程为,可化为,则,解得.故选:A【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线,属于基础题.6、D【解析】

由题意利用函数的图象变换规律,三角函数的图象的对称性,余弦函数的值域,求得结果.【详解】解:把函数图象向右平移个单位长度后,可得的图象;再根据得到函数的图象关于直线对称,,,,函数.在上,,,故,即的值域是,故选:D.【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律,三角函数的图象的对称性,余弦函数的值域,属于中档题.7、D【解析】

由题先画出立体图,再画出平面处的截面图,由抛物线第一定义可知,点到点的距离即半径,也即点到面的距离,点到直线的距离即点到面的距离因此球内切于正方体,设,两球球心和公切点都在体对角线上,通过几何关系可转化出,进而求解【详解】根据抛物线的定义,点到点的距离与到直线的距离相等,其中点到点的距离即半径,也即点到面的距离,点到直线的距离即点到面的距离,因此球内切于正方体,不妨设,两个球心和两球的切点均在体对角线上,两个球在平面处的截面如图所示,则,所以.又因为,因此,得,所以.故选:D【点睛】本题考查立体图与平面图的转化,抛物线几何性质的使用,内切球的性质,数形结合思想,转化思想,直观想象与数学运算的核心素养8、B【解析】

根据计算结果,可知该循环结构循环了5次;输出S前循环体的n的值为12,k的值为6,进而可得判断框内的不等式.【详解】因为该程序图是计算值的一个程序框圈所以共循环了5次所以输出S前循环体的n的值为12,k的值为6,即判断框内的不等式应为或所以选C【点睛】本题考查了程序框图的简单应用,根据结果填写判断框,属于基础题.9、A【解析】

先由两直线垂直的条件判断出命题p的真假,由基本不等式判断命题q的真假,从而得出p,q的非命题的真假,继而判断复合命题的真假,可得出选项.【详解】已知对于命题,由得,所以命题为假命题;关于命题,函数,当时,,当即时,取等号,当时,函数没有最小值,所以命题为假命题.所以和是真命题,所以为假命题,为假命题,为假命题,为真命题,所以真命题的个数为1个.故选:A.【点睛】本题考查直线的垂直的判定和基本不等式的应用,以及复合命题的真假的判断,注意运用基本不等式时,满足所需的条件,属于基础题.10、C【解析】

连接,为的中位线,从而,且,进而,由此能求出椭圆的离心率.【详解】如图,连接,椭圆:的右顶点为A,右焦点为F,B、C为椭圆上关于原点对称的两点,不妨设B在第二象限,直线BF交直线AC于M,且M为AC的中点为的中位线,,且,,解得椭圆的离心率.故选:C【点睛】本题考查了椭圆的几何性质,考查了运算求解能力,属于基础题.11、B【解析】

分别求出两个随机变量的分布列后求出它们的期望和方差可得它们的大小关系.【详解】可能的取值为;可能的取值为,,,,故,.,,故,,故,.故选B.【点睛】离散型随机变量的分布列的计算,应先确定随机变量所有可能的取值,再利用排列组合知识求出随机变量每一种取值情况的概率,然后利用公式计算期望和方差,注意在取球模型中摸出的球有放回与无放回的区别.12、B【解析】

直接利用向量的坐标运算得到向量的坐标,利用求得参数m,再用计算即可.【详解】依题意,,而,即,解得,则.故选:B.【点睛】本题考查向量的坐标运算、向量数量积的应用,考查运算求解能力以及化归与转化思想.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

由题意可得导数在恒成立,解出即可.【详解】解:由题意,,当时,显然,符合题意;当时,在恒成立,∴,∴,故答案为:.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性,属于中档题.14、【解析】∵,∴,∵函数y=f(x)−g(x)恰好有四个零点,∴方程f(x)−g(x)=0有四个解,即f(x)+f(2−x)−b=0有四个解,即函数y=f(x)+f(2−x)与y=b的图象有四个交点,,作函数y=f(x)+f(2−x)与y=b的图象如下,,结合图象可知,<b<2,故答案为.点睛:(1)求分段函数的函数值,要先确定要求值的自变量属于哪一段区间,然后代入该段的解析式求值,当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值.(2)当给出函数值求自变量的值时,先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上,然后求出相应自变量的值,切记要代入检验,看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.15、-5【解析】

画出x,y满足的可行域,当目标函数z=x-2y经过点A时,z最小,求解即可。【详解】画出x,y满足的可行域,由x+2y=34x-y=-6解得A-1,2,当目标函数z=x-2y经过点A【点睛】本题考查的是线性规划问题,解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化,即数形结合思想。需要注意的是:一,准确无误地作出可行域;二,画目标函数所对应的直线时,要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较,避免出错;三,一般情况下,目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得。16、06【解析】

作不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,即可求出结果.【详解】作出可行域,如图中的阴影部分:求的最值,即求直线在轴上的截距最小和最大时,当直线过点时,轴上截距最大,即z取最小值,.当直线过点时,轴上截距最小,即z取最大值,.故答案为:0;6.【点睛】本题主要考查了线性规划中的最值问题,利用数形结合是解决问题的基本方法,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析;(2)【解析】

(1)由折叠过程知与平面垂直,得,再取中点,可证与平面垂直,得,从而可得线面垂直,再得线线垂直;(2)由已知得为中点,以为原点,所在直线为轴,在平面内过作的垂线为轴建立空间直角坐标系,由已知求出线段长,得出各点坐标,用平面的法向量计算二面角的余弦.【详解】(1)易知与平面垂直,∴,连接,取中点,连接,由得,,∴平面,平面,∴,又,∴平面,∴;(2)由,知是中点,令,则,由,,∴,解得,故.以为原点,所在直线为轴,在平面内过作的垂线为轴建立空间直角坐标系,如图,则,,,设平面的法向量为,则,取,则.又易知平面的一个法向量为,.∴二面角的余弦值为.【点睛】本题考查证明线线垂直,考查用空间向量法求二面角.证线线垂直,一般先证线面垂直,而证线面垂直又要证线线垂直,注意线线垂直、线面垂直及面面垂直的转化.求空间角,常用方法就是建立空间直角坐标系,用空间向量法求空间角.18、(1),;(2).【解析】

(1)令可求得的值,令,由得出,两式相减可推导出数列为等比数列,确定该数列的公比,利用等比数列的通项公式可求得数列的通项公式,再利用对数的运算性质可得出数列的通项公式;(2)运用等差数列的求和公式,运用数列的分组求和和裂项相消求和,化简可得.【详解】(1)当时,,所以;当时,,得,即,所以,数列是首项为,公比为的等比数列,.;(2)由(1)知数列是首项为,公差为的等差数列,.,.所以.【点睛】本题考查数列的递推式的运用,注意结合等比数列的定义和通项公式,考查数列的求和方法:分组求和法和裂项相消求和,考查运算能力,属于中档题.19、(1)见解析(2)2【解析】

(1)将代入可得,令,则,设,则转化问题为与的交点问题,利用导函数判断的图象,即可求解;(2)由题可得在上恒成立,设,利用导函数可得,则,即,再设,利用导函数求得的最小值,则,进而求解.【详解】(1)当时,,定义域为,由可得,令,则,由,得;由,得,所以在上单调递增,在上单调递减,则的最大值为,且当时,;当时,,由此作出函数的大致图象,如图所示.由图可知,当时,直线和函数的图象有两个交点,即函数有两个零点;当或,即或时,直线和函数的图象有一个交点,即函数有一个零点;当即时,直线与函数的象没有交点,即函数无零点.(2)因为在上单调递增,即在上恒成立,设,则,①若,则,则在上单调递减,显然,在上不恒成立;②若,则,在上单调递减,当时,,故,单调递减,不符合题意;③若,当时,,单调递减,当时,,单调递增,所以,由,得,设,则,当时,,单调递减;当时,,单调递增,所以,所以,又,所以,即c的最大值为2.【点睛】本题考查利用导函数研究函数的零点问题,考查利用导函数求最值,考查运算能力与分类讨论思想.20、(1)见解析(2)见解析【解析】

(1)求出,分别以当,,时,结合函数的单调性和最值判断零点的个数.(2)令,结合导数求出;同理可求出满足,从而可得,进而证明.【详解】解析:(1),,当时,,单调递减,,,此时有1个零点;当时,无零点;当时,由得,由得,∴在单调递减,在单调递增,∴在处取得最小值,若,则,此时没有零点;若,则,此时有1个零点;若,则,,求导易得,此时在,上各有1个零点.综上可得时,没有零点,或时,有1个零点,时,有2个零点.(2)令,则,当时,;当时,,∴.令,则,当时,,当时,,∴,∴,,∴,即.【点睛】本题考查了导数判断函数零点问题,考查了运用导数证明不等式问题,考查了分类的数学思想.本题的难点在

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