河北省定州市2022-2023学年高二上学期数学期末试卷（含答案）

河北省定州市2022-2023学年高二上学期数学期末试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单选题1．抛物线y=4xA．(1，0) B．(−1，2．“a=±1”是“直线x+y=0和直线x−aA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件3．数列{an}满足an+1=1−A．2 B．1 C．12 4．圆(x+2)2+(y−12)A．(x+6)2+(y+4)C．(x−8)2+(y−2)5．2022北京冬奥会开幕式将我国二十四节气融入倒计时，尽显中国人之浪漫．倒计时依次为：大寒、小寒、冬至、大雪、小雪、立冬、霜降、寒露、秋分、白露、处暑、立秋、大暑、小暑、夏至、芒种、小满、立夏、谷雨、清明、春分、惊蛰、雨水、立春，已知从冬至到夏至的日影长等量减少，若冬至、立冬、秋分三个节气的日影长之和为31.5寸，问大雪、寒露的日影长之和为（）A．21寸 B．20.5寸 C．20寸 D．19.5寸6．在以下命题中：①三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面；②若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线；③对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若OP=2OA−2OB−2OC，则P，④若a，b是两个不共线的向量，且c=λa+μ⑤若{a，bA．0 B．1 C．2 D．37．足球起源于中国古代的蹴鞠游戏．“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，已知某“鞠”的表面上有四个点P，A，B，C，满足PA=2，PA⊥面ABC，A．423π B．823π8．如图，F1，F2分别是双曲线x2a2−y2bA．102 B．2 C．3 D．9．如果AB>0，BC>0，那么直线Ax+By+C=0经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限二、多选题10．等差数列{an}的前n项和为Sn，若A．若S4>S8，则S12<0 B．若C．若S5>S6，则S411．如图，正方体ABCD−AA．两条异面直线D1C和BB．直线BC与平面ABC1C．点D到面ACD1D．三棱柱AA112．1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章，人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律．卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a，2c，下列结论正确的（）A．卫星向径的取值范围是[a−cB．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间C．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小D．卫星向径的最小值与最大值的比值越小，椭圆轨道越圆三、填空题13．在三棱锥O−ABC中，OA，OB，OC两两垂直，OA=3，OB=4，OC=5，D是AB的中点，E为OC的中点，则DE与平面14．数列{an}中，若a1=1，15．已知椭圆C：x225+y29=1的左焦点为F，A16．已知函数f(x)=1−(x−2)2+2的图象上有且仅有两个不同的点关于直线y=1的对称点在四、解答题17．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S8=100，a2（1）求数列{an}（2）设cn=anbn，数列18．已知△ABC的顶点B(3，2)，AB边上的高所在的直线方程为（1）求直线AB的方程；（2）在两个条件中任选一个，补充在下面问题中．①角A的平分线所在直线方程为x+2y−13=0②BC边上的中线所在的直线方程为2x−y−12=0_____，求直线AC的方程．19．已知圆C1：（1）求证：圆C1与圆C（2）求两圆公共弦所在直线的方程；（3）求经过两圆交点，且圆心在直线x+y−6=0上的圆的方程．20．已知数列{an}的前n项和为Sn，（1）求数列{an}的通项公式an和前（2）设bk=1(S2k+2)S21．如图，直三棱柱ABC−A1B1C1的体积为4，点D，E分别为AC，（1）求点A到平面EBC的距离；（2）AA1=2AB，平面EBC⊥平面ABB122．在一张纸上有一圆C：(x+3)2+y（1）求证：||TC|−|TM||为定值，并求出点T的轨迹C'（2）已知点A(2，1)，直线l交C'于P，Q两点，直线AP、AQ的斜率之和为0．若tan

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】由y=4x2，得所以抛物线的焦点在y轴的正半轴上，且2p=1所以p=18，所以焦点坐标为(0故答案为：D

【分析】利用已知条件结合抛物线的标准方程得出p的值，再结合抛物线的焦点坐标求解方法得出抛物线的焦点坐标。2．【答案】C【解析】【解答】当a=±1时，两条直线的方程为x+y=0和x−y=0，斜率分别为−1，1，则当直线x+y=0和直线x−a2y=0垂直时，−1×所以“a=±1”是“直线x+y=0和直线x−a故答案为：C.

【分析】利用已知条件结合充分条件和必要条件的判断方法，进而判断出“a=±1”是“直线x+y=0和直线x−a3．【答案】D【解析】【解答】由题意，数列{an}满足a可得a2可得数列{an}所以a2022故答案为：D.

【分析】利用已知条件结合数列的递推公式和函数的周期性，进而得出数列{an}4．【答案】C【解析】【解答】设圆(x+2)2+关于直线x−y+4=0对称的点为(a则有b−12a+2=−1a−22−因为关于直线对称的两个圆半径相等，所以所求圆的半径为2，所以所求圆方程为(x−8)2故答案为：C.

【分析】利用圆(x+2)2+(y−12)2=45．【答案】A【解析】【解答】因为从冬至到夏至的日影长等量减少，所以日影长可构成等差数列{a因为冬至、立冬、秋分三个节气的日影长之和为31.5，所以a1+a4+所以大雪、寒露的日影长之和为a2故答案为：A

【分析】利用从冬至到夏至的日影长等量减少，再结合等差数列的定义判断出日影长可构成等差数列{an}，再利用冬至、立冬、秋分三个节气的日影长之和为31.5，所以a1+6．【答案】C【解析】【解答】空间任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底.①根据空间基底的定义，三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面；故命题①正确．②由空间基底的定义，若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线，若a，b不共线，则a，b共面，一定有向量与a，b不共面；故命题②正确．③对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，当OP=2OA−2OB−2OC时，若P，A，B，C四点共面，则AP=λAB+μAC，OP−OA=λ(OB−④若a，b是两个不共线的向量，且c=λa+μb(λ，μ∈R，λ，⑤b→+c→+2真命题有2个.故答案为：C

【分析】利用已知条件结合向量共面的判断方法、向量共线定理、基底的判断方法，进而找出真命题的个数。7．【答案】B【解析】【解答】因为PA=2，PA⊥面ABC，AC⊥BC，AB为三角形ABC所在小圆的直径，取AB中点O'，过O'作要想该“鞠”的体积最小，只需PB最小，由于PB=P故只需AB最小，其中AB=A故VP−ABC解得：AC⋅BC=2，由基本不等式得：AC2+B故AB最小值为2，此时直径最小值为PB=4+所以该“鞠”的体积最小值为43故答案为：B

【分析】利用PA=2，PA⊥面ABC，AC⊥BC，再利用AB为三角形ABC所在小圆的直径，取AB中点O'，过O'作O'O//AP，交BP于点O，则O即为球心，PB为球的直径，要想该“鞠”的体积最小，只需PB最小，再结合勾股定理得出PB=4+A8．【答案】D【解析】【解答】由题意知|F1F2|=2c，c=由双曲线的定义可得|PF点P是双曲线与圆x2可得PF1⊥PF2在Rt△F1P由F1P=12因为F1P=12在△F1F由余弦定理可得：|Q即(2a+2n)2结合n2=2b2−2an所以c2=所以双曲线的离心率为e，则e=c故答案为：；D

【分析】由题意结合焦距定义和双曲线中a，b，c三者的关系式知|F1F2|=2c，c=a2+b2，连接PF2，QF1，设∠PF1F2=θ，设|PF1|=n，由双曲线的定义可得|PF2|=2a+n，再利用点P是双曲线与圆x2+y2=a9．【答案】B【解析】【解答】AB>0，BC>0，若A>0，B>0，若A<0，B<0，综上：直线Ax+By+C=0一定经过第二象限.故答案为：B

【分析】利用已知条件结合直线的斜率和纵截距的正负，从而判断出直线经过的象限。10．【答案】A,B,D【解析】【解答】由S4>S所以a6则S12因为S4所以S8−S因为a1>0，所以a6>0，a7<0则则S6是S若S5>S6，则因为a1>0，d≠0，则d<0，故a5故S5=S因为S3>S因为a1>0，d≠0，所以d<0，则则S5故答案为：ABD

【分析】由S4>S8，再结合数列的和的定义和等差数列的性质得出a6+a再利用a1>0，d≠0结合等差数列的通项公式得出a6>0，a7<0，则d<0，从而结合减函数的定义判断出等差数列{an}为递减数列，再利用函数的单调性判断出S6是Sn中最大的项；再利用S5>S6，则S6−S5<0，再结合数列的和的定义得出a6<0，再结合a1>0，d≠011．【答案】A,B,D【解析】【解答】对于A项，如图1，连接AC、C因为AB∥C1D1且AB=C1所以异面直线D1C和BC1所成的角的大小即等于直线D1又AC=AD1=D1对于B项，如图2，连接B1C.在正方形BB因为AB⊥平面BB1C1C，B又AB∩BC1=B，AB⊂平面ABC1所以B1C⊥平面所以，直线BC与平面ABC1D对于C项，如图1，设点D到面ACD1的距离为h.因为△ACD1为正三角形，所以S△ACD1=12×AC×A对于D项，三棱柱AA1D则外接球的半径即为正方体ABCD−A1B故答案为：ABD．

【分析】利用已知条件结合正方体的结构特征，再结合异面直线求角的方法、线面角的求解方法、点到平面的距离公式、三棱锥与外接球的位置关系，进而找出真命题的个数。12．【答案】A,B,C【解析】【解答】A选项：根据椭圆的定义可得卫星的向径是椭圆上的点到右焦点的距离，所以最小值为a−c，最大值为a+c，所以A符合题意；B选项：因为运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，所以卫星运行速度在近地点时向径越小，在远地点时向径越大，卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间，内扫过的面积相等，则向径越大，速度越小，卫星在左半椭圆弧运动时向径大于在右半椭圆弧运动时的向径，所以卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间，B符合题意；C选项︰因为卫星运行速度是变化的，所以卫星运行速度在近地点时向径越小，在远地点时向径越大，卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等，根据面积守恒规律，卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，C符合题意；D选项：设e为椭圆得离心率，卫星向径的最小值与最大值的比值越小，即a−ca+c故答案为：ABC．

【分析】根据椭圆的定义可得卫星的向径是椭圆上的点到右焦点的距离，再结合几何法得出此距离的最值；利用运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，所以卫星运行速度在近地点时向径越小，在远地点时向径越大，卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间，内扫过的面积相等，则向径越大，速度越小，卫星在左半椭圆弧运动时向径大于在右半椭圆弧运动时的向径，所以卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间；利用卫星运行速度是变化的，所以卫星运行速度在近地点时向径越小，在远地点时向径越大，卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等，根据面积守恒规律，卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小；设e为椭圆得离心率，卫星向径的最小值与最大值的比值越小，即a−ca+c13．【答案】1【解析】【解答】因为OA，OB，OC两两垂直，所以以OA，所以ODE=(−32所以OC=(0，0设DE与平面OAB所成的角为θ，所以sinθ=|因为θ∈[0，π2]，所以故答案为：1.

【分析】利用OA，OB，OC两两垂直，所以以OA，OB，OC为x，y，z轴建系，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再结合OC⊥平面OAB，所以OC=(0，014．【答案】1【解析】【解答】由an+1=n所以a2所以an因为a1=1，所以an故答案为：155

【分析】利用已知条件结合数列递推公式变形得出an+115．【答案】18【解析】【解答】由题意C：x225+如图示，设椭圆右焦点为F'，连接A由于A，B是C上关于原点对称的两点，则因为∠AFB=90°，O为AB的中点，故|AB而|AF故三角形ABF的周长为|AF故答案为：18

【分析】由题意C：x225+y29=1得出半长轴a=5，再结合椭圆中a，b，c三者的关系式得出半焦距长，设椭圆右焦点为F'，连接AF'，由于A，16．【答案】[1【解析】【解答】y=1−(x−2)2故y=1−(x−2)2则y=1−(x−2)2+2关于直线y=1的对称图象也是一个半圆，圆心为N(2，如图所示：直线y=−kx+1恒过点A(0，设直线y=−kx+1与半圆N相切时，切点为C，故当直线斜率−k位于直线AB与直线AC之间（含kAB，不含kAC）时，满足函数f(x)=1−(x−2)2其中kAB=1−00−1=−1解得：m=−4故−k∈(−43，实数k的取值范围是k∈[1，故答案为：[1

【分析】利用y=1−(x−2)2+2≥2，变形得到(x−2)2+(y−2)2=1，再利用圆的定义判断出y=1−(x−2)2+2表示的图象为以M(2，2)为圆心，1为半径的上半圆，则y=1−(x−2)2+2关于直线y=1的对称图象也是一个半圆，进而得出圆心坐标和半径长，且该圆与x轴交于B(1，0)，Q(3，0)两点，再利用直线y=−kx+1恒过点A(017．【答案】（1）解：设等差数列{an}由已知可得S8=8a所以an由Pn=2n+1−2当n≥2时，Pn=2显然b1所以bn（2）解：由（1）知cnTn2T两式作差得：−T所以，Tn【解析】【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，由已知条件结合等差数列前n项和公式和等差数列的通项公式得出首项和公差的值，再结合等差数列的通项公式得出数列{an}的通项公式，再结合Pn=2n+1−2，令n=1得b1的值，当n≥2时，Pn=2n+1−218．【答案】（1）解：因为AB边上的高所在的直线方程为x−2y−5=0，所以直线AB的斜率为k=−2，又因为△ABC的顶点B(3，所以直线AB的方程为：y−2=−2(x−3)，即2x+y−8=0；（2）解：若选①，角A的平分线所在直线方程为x+2y−13=0，由2x+y−8=0x+2y−13=0，解得x=1y=6，所以点A坐标为设点B关于x+2y−13=0的对称点为B'则y0−2x即B'坐标为(又点B'(275，所以直线AC的方程为y−6=211(若选②：BC边上的中线所在的直线方程为2x−y−12=0，由2x−y−12=02x+y−8=0，解得x=5y=−2，所以点设点C(x1，y1所以2×x即2x1−y又点C在直线x−2y−5=0上，联立2x−y−20=0x−2y−5=0解得x=353y=所以kAC=103+2即直线AC的方程为4x−5y−30=0.【解析】【分析】（1）利用AB边上的高所在的直线方程为x−2y−5=0，再结合两直线垂直斜率之积等于-1，进而得出直线AB的斜率，再利用三角形△ABC的顶点B(3，2)，从而结合点斜式得出直线AB的方程，再转化为直线的一般式方程。

（2）若选①，角A的平分线所在直线方程为x+2y−13=0，由2x+y−8=0x+2y−13=0得出交点A的坐标，设点B关于x+2y−13=0的对称点为B'(x0，y若选②：利用BC边上的中线所在的直线方程为2x−y−12=0，由2x−y−12=02x+y−8=0得出交点A的坐标，设点C(x1，y1)，则BC的中点在直线2x−y−12=0上，再结合代入法得出2x1

19．【答案】（1）证明：圆C1：x2+圆C2：x2+y2圆心距|C1C2|=12（2）解：两圆方程相减，得2x+2y+3=0，所以两圆公共弦所在直线的方程为2x+2y+3=0.（3）解：设所求圆的方程为x2+y2+2x+2y−7+λ(x2+y2−10)=0(λ≠−1)，即【解析】【分析】（1）利用圆C1：x2+y2=10得出圆心坐标和半径长，再利用圆C2：x2+y2+2x+2y−7=0化成标准方程为(x+1)2+20．【答案】（1）解：由Sn−n=1两式相减可得Sn+1−(因为a1=4，则数列{an}即an=4当n为偶数时，Sn当n为奇数时，Sn故Sn（2）证明：由bk得bn所以Tn【解析】【分析】(1)由Sn−n=12(an+1)，得Sn+1−(n+1)=12(an+1+1)，(n∈N*)，两式相减可得an+1+a21．【答案】（1）解：在直三棱柱ABC−A1B点E为AA1的中点，所以而直三棱柱ABC−A所以三棱锥E−ABC的体积为VE−ABC又△ECB的面积为22故三棱锥A−EBC的体积VA−EBC解得h=22，所以点A到平面EBC的距离为（2）解：取EB的中点F，连接AF，如图，由题意知AA1=2AB，故AE=AB又平面EBC⊥平面ABB1A1，平面且AF⊂平面ABB1A1，所以由BC⊂平面EBC，故AF⊥BC，在直三棱柱ABC−A1B1CBC⊂平面ABC，可得BB又AF，BB1⊂否则若AF∥BB1，则F点在落在AA1上，AA所以BC⊥平面ABB1A1，故BC⊥BA，所以BC，BA，BB建立如图空间直角坐标系，由于AF⊥平面EBC，故点A到平面EBC的距离即为AF，由（1）知AF=2故BE=2因为BC⊥平面ABB1A1，BE⊂平面由△ECB的面积为22，则1则B(则BD=设平面BDE的法向量为n=(x即2x+12y=0y+z=0，令x=1，则BC1=(4则m⋅BE=0令a=1，则c=−2，b=2，可得故cos〈由原图可知平面DBE与平面BEC故平面DBE与平面BEC1所成角的余弦值为【解析】【分析】（1）在直三棱柱ABC−A1B1C1中，设点A到平面EBC的距离为h，点E为A