2024北京八一学校高一（上）期中数学（教师版）

第1页/共1页2024北京八一学校高一（上）期中数学制卷人:高鹤审卷人:王明辉一、选择题.共10小题，每小题3分，共30分.在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.设集合，，则（）A. B. C. D.2.下列函数中，是0,+∞上单调减函数的是（A. B.C. D.3.下列命题中正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则4.“x>0”是“”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.二次函数（a，b，c为常数且）的图象如图所示，则一次函数与反比例函数的图象可能是（）A. B. C. D.6.若函数和分别由下表给出：1234234112342143满足的值是（）A.4 B.3 C.2 D.17.已知函数，则函数的零点所在区间为（）A. B. C.1,2 D.8.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选1名代表，当各班人数除以10的余数大于5时再增选1名代表.那么各班可推选的代表人数与该班人数之间的函数关系用取整函数（表示不大于的最大整数）可以表示为（）A. B. C. D.9.已知函数在上单调递增，且函数的图象关于直线对称，设，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.10.已知函数，若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题.共5小题，每小题4分，共20分.11.已知函数，函数的定义域是___________.12.若是一元二次方程的两个根，则的值为______，的值为______．13.当时，的最小值为________．14.已知函数，若在上单调递减，则的取值范围是_________.15.已知函数，对于给定的实数，若存在，，满足：，使得，则记的最大值为.①当时，_____________；②当且时，函数的值域为___________.三、解答题.共5小题，共50分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.设集合，集合，集合.（1）求，；（2）若，求实数的取值范围.17.已知函数为二次函数，的零点为和2，且.（1）求的解析式，并写出的单调区间；（2）求在区间上的最大值和最小值.18.已知函数，为奇函数.（1）求的值；（2）用定义证明：在区间上是增函数；（3）若函数为定义在上的偶函数，且时，.求的解析式，并求不等式的解集.19.已知函数，.（1）若方程的根为和，求和的值；（2）若函数在区间上的最小值，与函数在区间上的最小值相同，求的值；（3）若函数的图象总在函数图象的上方，求的取值范围.20.设函数的定义域为，对于区间，若满足以下两条性质之一，则称为的一个“区间”.性质1：对任意，有；性质2：对任意，有.（1）分别判断区间是否为下列三个函数的“区间”（直接写出结论）；①；②；③.（2）已知定义在上，且图象连续不断的函数满足：对任意，且，有.求证：存在“区间”，且存在，使得不属于的所有“区间”.

参考答案一、选择题.共10小题，每小题3分，共30分.在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.【答案】B【分析】根据交集的概念和运算即可得答案.【详解】根据交集的概念和运算可得，故选：B.2.【答案】C【分析】结合一次、二次已经反比例函数的性质判断即可得答案.【详解】对于A，结合一次函数的性质可知是R上的递增函数，故A错误；对于B，结合反比例函数的性质可得在上的单调递增，故B错误；对于C，结合二次函数的性质可得在上的单调递减，故C满足题意；对于D，因为与都是上的增函数，所以在上的单调递增，故D错误，故选：C.3.【答案】D【分析】举反例说明ABC不成立，根据不等式性质说明D成立.【详解】当时，有，，所以A错误；当时，由得，所以B错误；当时，由得，所以C错误；由不等式两边同时加上一个数，不等式号不变，D正确,故选：D4.【答案】A【分析】化简“”，利用充要条件的定义可以判定.【详解】化简得，因为x>0时，；而时，不一定得出x>0.所以选A.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判定.利用集合间的关系或者借助数轴能方便求解.5.【答案】A【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴的位置、在纵轴的交点坐标的正负判断的正负性，再结合反比例函数、一次函数的图象特征逐一判断即可.【详解】由二次函数的图象可知：开口向上，因此；对称轴为，当时，；因为，所以反比例函数的图象在二、四象限，排除BC；因为，，所以一次函数的图象经过第一、三、四象限，故排除D，故选：A6.【答案】B【分析】从外到内逐步求值．【详解】根据题意，，则，所以.故选：B7.【答案】C【分析】数形结合，再由零点存在性定理即可直接判断.【详解】如图：作出与的图象，两图象只有一个交点，即有且只有一个零点，f1所以，且在上是连续函数，故的零点在上，故选：C.8.【答案】B【分析】可分余数为和两种情况分别表示出班级人数和代表人数关系式，再推理即可判断得答案.【详解】设各班人数除以10的余数为，当时，，，，；当时，，，，，所以所求的函数关系为.故选：B9.【答案】A【分析】首先利用对称性将不在上的自变量值转化到上对应的自变量值，再根据单调性比较函数值大小.【详解】因为函数的图象关于直线对称，所以有.那么，.已知函数在上单调递增.在上，，根据单调性，当时，，所以.即，也就是.故选：A.10.【答案】B【分析】作出函数的图象，分、、三段讨论即可．【详解】分情况讨论，当时，要使有三个不同的根，则；当时，要使有三个不同的根，同理可知，需要．当时，两个分段点重合，不可能有三个不同的根，故舍去．的取值范围是，故选：B．【点睛】本题考查根的存在性及根的个数判断，数形结合思想的运用是关键，分析得到临界位置的高低是难点，属于中档题．二、填空题.共5小题，每小题4分，共20分.11.【答案】【分析】由根式型函数的定义域列不等式即可直接求得答案.【详解】由题意可得，解得，故答案为：.12.【答案】①.②.【分析】根据韦达定理可求得，再根据即可求解.【详解】因为是一元二次方程的两个根，则，所以.故答案为：；.13.【答案】5【分析】构造乘积为定值，应用基本不等式求出最小值即可.【详解】因为x>1,则，当时，的最小值为5.故答案为：5.14.【答案】【分析】先分别确定每段函数单调递减时参数的取值范围，再考虑分段点处函数值的大小关系.【详解】对于二次函数，其对称轴为.因为二次函数开口向上，要使其在上单调递减，则对称轴需在或其右侧，即，解得.对于一次函数，要使其单调递减，则，解得.考虑分段点处函数值的大小关系当时，的值为；的值为.因为函数在上单调递减，所以在分段点处，应有.即，移项可得，，解得.综合以上三个条件，取交集可得，所以的取值范围是.故答案为：.15.【答案】①.##②.【分析】取，找到，从而得解；按分类讨论求出，再由单调性得出值域.【详解】依题意，，当时，，使得，即，则，解得，由，得，解得，则，所以；当且时，，则，当时，，依题意，，整理得，，而函数在上单调递增，，当时，，则，整理得，于是，函数在上单调递增，因此函数在上单调递减，，所以函数的值域为，故答案为：：【点睛】关键点点睛：第二空，按分类讨论求出函数的解析式是求解的关键.三、解答题.共5小题，共50分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）解不等式化简集合，再利用交集、补集的定义求出结果.（2）按分类讨论，结合集合的包含关系求出范围.【小问1详解】解不等式，得或，则或，而，所以，.【小问2详解】当时，，满足，则；当时，，由，得，解得，所以实数的取值范围是.17.【答案】（1），递减区间为，递增区间为；（2）最大值为8，最小值为.【分析】（1）根据给定条件，利用二次函数的两根式设出解析式，进而求出解析式及单调区间.（2）利用二次函数的性质求出最值.【小问1详解】由二次函数的的零点为和2，设，由，得，解得，则，所以的解析式，递减区间为，递增区间为.【小问2详解】由（1）知，，的图象对称轴为，，当时，；当时，，所以在区间上的最大值和最小值分别为8和.18.【答案】（1）（2）证明见解析（3），【分析】（1）利用，即可得到的解析式；（2）利用定义法，证明为增函数即可；（3）利用奇偶性和单调性，解不等式即可.【小问1详解】∵函数是定义上的奇函数，∴，即，经检验符合题意；【小问2详解】任取，且，则=，因为，所以，，，，所以，即.∴函数在0,1上为增函数.【小问3详解】设，则，因为函数hx为定义在-1,1所以，所以，由于hx为定义在-1,1上的偶函数，且在0,1所以不等式hx-1>h12，可得得.19.【答案】（1）（2）（3）.【分析】（1）结合一元二次方程根与系数的关系即可求得答案；（2）先确定在上的最小值为2，在结合二次函数的性质分类讨论即可求得a的值；（3）将原问题转化为恒成立，利用判别式即可求得a的范围.【小问1详解】因为的两个根分别是-1和b，所以，解得；【小问2详解】在上的最小值为，所以在上的最小值为2，当，即时，，解得（舍）；当，即时，，解得（舍）；当，即时，，解得；综上：；【小问3详解】因为函数的图象总在函数图象的上方，所以恒成立，因此x2+所以，解得.20.【答案】（1）①是，②不是，③不是；（2）证明见解析【分析】（1）根据新定义直接判断即可得出结论；（2）由所给函数性质分析出满足性质2，转化为不恒成立，存在“区间”，再构造函数，证明有唯一零点，且.【小问1详解】对①，当，，满足性质1，是函数的“区间”，对②，当时，，当时，，故不满足性质1,2，不是函数的“区间”，对③，当，当时，，当时，，故不满足性质1,2，不是函数的“区间”.【小问2详解】对于任意区间，记，依题意，在上单调递减，则.因为，所以，即S的长度大于的长度，故不满足性质①.因此，如果为的“区间”，只能满足性质②，即，即只需存在使得，