2022年全国高考数学试卷合集

2022年全国甲卷高考理科数学真题及答案

注意事项：

1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题

卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴

好条形码。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1.若z=-1+/,贝()

ZZ-1

A.-1+\/3iB.-1—A/31C.——+-^-i

D.

2.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果，随机抽取10

位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这1。位社区居民在

讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图:

讲座前

讲座后

则（）

A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%

B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%

C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差

D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

3.设全集。={—2,—1,0,1,2,3},集合4={—1,2},8={X|f一4%+3=。}，则即(AUB)=

（）

A.{1,3}B.{0,3}C.{-2,1}D.{-2,0}

4.如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体

的体积为（）

5.函数y=(3x—3r)cos尤在区间—的图像大致为()

h

6.当尤=1时，函数/(x)=aln%+—取得最大值一2,则/'(2)=()

x

A.-1B.C.-D.1

22

7.在长方体ABC。-4用GR中，已知与。与平面A3CD和平面至四台所成的角均为

30°,贝。()

A.AB=2ADB.四与平面ABC。所成的角为30°

C.AC=CBXD.耳。与平面551cle所成的角为45。

8.沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，

如图，是以。为圆心，的为半径的圆弧，。是的中点，〃在上，CDJ_AB.“会

CD~

圆术”给出AB的弧长的近似值s的计算公式：s=AB+——.当。4=2,ZAOB=60°时,

OA

s=()

9-4A/3

2

9.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2兀，侧面积分别为S甲和S乙,

体积分别为%和彩.若券=2,则承=()

s乙彩

A.A/5B.272C.A/10D.

4

22

10.椭圆C:二+与=1（。〉6〉0）的左顶点为4点户，。均在。上，且关于y轴对称.若

ab

直线的斜率之积为5，则C的离心率为（）

V21

c.D.

~T23

11.设函数/（x）=sin[tux+gj在区间（0,兀）恰有三个极值点、两个零点，则0的取值范

围是（）

12.已知。=一,/?=cos—,c=4sin—,贝U（）

3244

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.设向量。，〃的夹角的余弦值为:，且|们=1,传|=3,则（2a+b}b=

14.若双曲线>2—二=1（机〉0）的渐近线与圆式+9―4y+3=o相切，则冽=

m

15.从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为.

AC

16.已知△ABC中，点〃在边上，ZADB=120°,AD=2,CD=2BD.当——取得

AB

最小值时，BD—.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考

题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）

2s

记Sn为数列｛%｝的前〃项和.已知一丁+〃=2%+1.

（1）证明：｛4｝是等差数列；

（2）若%，%，为成等比数列，求S”的最小值.

18.（12分）

在四棱锥P—ABCD中，PDL底面

ABCD,CD//AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=布.

（2）求知与平面245所成的角的正弦值.

19.（12分）

甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得。分，

没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜

的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.

（1）求甲学校获得冠军的概率；

（2）用才表示乙学校的总得分，求才的分布列与期望.

20.（12分）

设抛物线C:;/=2px（p>0）的焦点为尸，点。（p,0）,过尸的直线交。于弘”两点.当

直线M垂直于x轴时，|皿耳=3.

（1）求C的方程；

（2）设直线MD,ND与。的另一个交点分别为A,B,记直线的倾斜角分别为

a,j3.当a—分取得最大值时，求直线4?的方程.

21.（12分）

（I）若〃力之0,求a的取值范围;

（2）证明：若/（九）有两个零点斗,々，则西々<1.

（-）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的

第一题计分。

22.［选修4-4：坐标系与参数方程］（10分）

2+%

x—,

在直角坐标系九0y中，曲线G的参数方程为46（方为参数），曲线G的参数方程

y=

2+s

x—，

为，6(s为参数).

、y=-&

(i)写出G的普通方程；

(2)以坐标原点为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线。3的极坐标方程为

2cos。—sin8=0,求C3与G交点的直角坐标，及G与交点的直角坐标.

23.［选修4-5：不等式选讲］(10分)

已知a,b,c均为正数，且标+/+牝？=3,证明：

(1)。+b+2c<3；

(2)若b=2c,则工+,23.

ac

绝密★启用前

理科数学参考答案

注意事项：

1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题

卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴

好条形码.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写

在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.C2.B.3.D4.B5.A6.B7.D8.B9.C10.A11.C12.A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.11

14.县

3

16.73-1##-1+73

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考

题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(-)必考题：共60分.

2S

17.(1)解：因为——+zi-2^+1j即2S〃+/I?=十〃①，

n

当2时，2S〃_i=2(〃一1)〃“1+(〃一1)②，

22

①-②得，2Sn+n-2Sn_1-(n-1)=2nan+n-2[n-l)an_i-(n-1),

即2an+2n-l-2nan-2(〃一1)%_]+1,

即2(孔一1)%-2(几一1应_1=2(几一1),所以。,一。〃_1=1,且九wN*,

所以｛4｝是以1为公差的等差数列.

(2)-78.

18.(1)证明：在四边形ABCD中，作DELAfi于E,CFLAB于尸，

因为C£>//A&AD=CD=C5=1,AB=2,

所以四边形ABCZ)为等腰梯形，

所以AE=BE=L,

2

故DE=号,BD=yjDE2+BE2=V3>

所以A£>2+3£>2="2,

所以ADL8D，

因为？D_L平面ABCD，u平面ABC。，

所以？DL5D,

又PDcAD=D,

所以80,平面

又因K4u平面PAD,

所以5DLR4；

⑵好.

5

19.(1)0.6；

(2)分布列见解析，E(X)=13.

【解析】依题可知，X的可能取值为0」0,20,30,所以，

p(x=0)=0.5x0.4x0.8=0.16,

P(X=10)=0.5x0.4x0.8+0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2=0.44,

P(X=20)=0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2+0.5x0.6x0.2=0.34,

p(X=30)=0.5x0.6x0.2=0.06.

即X的分布列为

X0102030

P0.160.440.340.06

期望E(X)=0x0.16+10x0.44+20x0.34+30x0.06=13.

20.⑴>2=4%；

(2)AB:x=y/2y+4.

21.已知函数f(x)=---Inx+x—a.

Cl)(-oo,e+l]

(2)由题知，/(x)一个零点小于1,一个零点大于1

不妨设石<l<x2

1

要证XjX2<1,即证西〈不

1(1

因为X],—e(0,l),即证/(玉)〉/—

7

因为/(%)=/(%)，即证/(々)>/—

\X2j

QX11

即证---]nx+x-xex-Inx——>0,xe(1,+oo)

xx

即证----xex-2]nx——x——>0

x2\x)

下面证明%>1时,<0

、ex-

设g(x)=----xex,x>[,

x

1--

X

e%x—1

设9(x)=—(x>l),^(x)=1.J_e-^ex>0

Xx2x

所以0(x)>0(l)=e,而£<e

x-

所以Jee%>0,所以g'(x)>。

x

所以g(x)在(l,y)单调递增

x-

即g(x)>g⑴=0,所以Je—xe，>0

x

1

令//(x)=lnx-Ax,X>1

X

2X-X2-1_-(x-1)2

<0

x22x22x2

所以/无)在(l,y)单调递减

即/i(x)<h(l)=0,所以Inx-;1x1

<0；

x

ex11

综上，----XQX—2In%——|x—>0,所以占々<1.

xx

(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的

第一题计分.

［选修4-4：坐标系与参数方程］

22.（1）y1=6x-2（y>0）；

（2）G，G的交点坐标为W，（1,2）,6，。2的交点坐标为,3，—1；（-1,-2）.

［选修4-5：不等式选讲］

23.（1）证明：由柯西不等式有+（2c）］（仔+仔+F）+6+2c）,

所以Q+Z?+2c<3，

当且仅当〃=人=2。=1时，取等号，

所以〃+b+2c<3；

（2）证明：因为Z?=2c,〃>0,b>0,c>0,由（1）得a+Z?+2c=a+4c<3,

即0<a+4c<3,所以

。+4c3

由权方和不等式知工+3=4+与>（+2）2=9之3,

aca4ca+4ca+4c

1?1

当且仅当一二一，即a=l,c=一时取等号，

a4c2

所以一+—23

ac

2022年全国甲卷高考文科数学真题及答案

注意事项：

1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题

卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴

好条形码。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上、

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1.设集合A={—2,—1,0,1,2},3=|刀|0,,%<|},则4口3=()

A.{0,1,2}B.{-2,-1,0}C.{0,1}D.{1,2}

2.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果，随机抽取10

位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在

讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：

则()

A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%

B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%

C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差

D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

3.若z=l+i.则|iz+3z|=()

A.4A/5B.472C.2A/5D.272

4.如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1,则该多面体

的体积为()

A.8B.12C.16D.20

5.将函数/。）=5m［。%+1］（0〉0）的图像向左平移5个单位长度后得到曲线4若。

关于y轴对称，则。的最小值是（）

A.-B.-C.-D.-

6432

6,从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上

的数字之积是4的倍数的概率为（）

2

A.-B.-C.D.

533

7.函数/（%）=（3*—3-工卜。5%在区间一的图像大致为（）

A.-1B.--C.-D.1

22

9.在长方体ABC。-中，已知耳。与平面A3CD和平面A443所成的角均为

30°,贝ij()

A.AB=2ADB.4?与平面A4£O所成的角为30。

C.AC=CB]D.耳。与平面3gGC所成的角为45。

10.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2兀，侧面积分别为S甲和S乙,

体积分别为%和彩.若妙=2,则氏=（

)

s乙吟

5M

A.A/5B.2^/2C.A/TO

4

Y2y2I

11.已知椭圆。:二十4=1（〃>6>0）的离心率为士，A，4分别为。的左、右顶点，B

ab3

为。的上顶点.若丽・瓯=—1,则。的方程为（

2222

A,工+匕=1B,二+上=1C.

181698

12.已知9'”=10,a=10'"—11力=8"—9,贝。（

A.a>0>bB.a>b>QC.b>a>0D.b>Q>a

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知向量a=（根,3）,〃=（1,根+1）.若。_1办，则加二

14.设点〃在直线2x+y—1=0上，点（3,0）和（0,1）均在。M上，则。M的方程为

15.记双曲线=—4=1（。〉0/〉0）的离心率为e,写出满足条件“直线y=2x与C

ab~

无公共点”的e的一个值______________.

16.已知ZVIBC中，点，在边况上，4405=120。,40=2,8=260.当——取得最

AB

小值时，BD=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，

每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（-）必考题：共60分。

17.（12分）

甲、乙两城之间的长途客车均由/和方两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情

况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：

准点班次数未准点班次数

A24020

B21030

（1）根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；

（2）能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关?

n(ad-be)?

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2..k)0.1000.0500.010

k2.7063.8416.635

18.(12分)

记S”为数列｛4｝的前A项和.已知二、+"=2a〃+l.

n

（1）证明：｛4｝是等差数列；

（2）若a4M7,为成等比数列，求S“的最小值.

19.（12分）

小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面A3CD是

边长为8（单位：cm）的正方形，△EAB,AFBC,AGCD,Z\HDA均为正三角形,且它

们所在的平面都与平面A3CD垂直.

（1）证明：即〃平面ABCZ）；

（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）.

20.（12分）

已知函数/（x）=d—》,g（x）=x2+a,曲线y=/（x）在点（%,/（%））处的切线也是曲线

y=g（x）的切线.

（1）若X］=-1,求a：

（2）求a的取值范围.

21.（12分）

设抛物线C：/=2px（p〉0）的焦点为凡点。（夕,0）,过歹的直线交。于例”两点.当

直线必垂直于x轴时，可=3.

（1）求C的方程：

（2）设直线MD,NO与。的另一个交点分别为A,B,记直线的倾斜角分别为

a,/3•当a-6取得最大值时，求直线的方程.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的

第一题计分。

22.［选修4-4：坐标系与参数方程］（10分）

2+1

JQ-----

在直角坐标系九0y中，曲线C］的参数方程为｛6（1为参数），曲线G的参数方程

2+s

x=------

为46（S为参数）.

y=一

(1)写出q的普通方程；

(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线G的极坐标方程为

2cos6>-sin6>=0,求C3与4交点的直角坐标，及C3与02交点的直角坐标.

23.［选修4-5：不等式选讲］(10分)

已知均为正数，S.a2+b2+4c2=3,证明：

(1)a+b+2c„3

(2)若b=2c,贝I］LL.3.

ac

文科数学解析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合A={—2,-1,0,1,2},3={讨0<》<：］,则()

A.{0,1,2}B.{-2,-1,0}C.{0,1}D.{1,2}

【答案】A

【解析】

【分析】根据集合的交集运算即可解出.

【详解】因为A={—2,—1,0,1,2},B=L|0<X<|L所以4门3={0,1,2}.

故选：A.

2.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果，随机抽取10位

社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲

座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：

95%..........................•-...........*

90%♦...........♦............冰.............

树85%...............-♦...........*...♦...

遑80%.........•............................*....*讲座前

目75%------------------------松------------------•讲座后

70%........*..............................

65%*........-...........-...-.....-.......

...*........咏...........................

12345678910

居民编号

则()

A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%

B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%

C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差

D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

【答案】B

【解析】

【分析】由图表信息，结合中位数、平均数、标准差、极差的概念，逐项判断即可得解.

70%+75%

【详解】讲座前中位数为>70%,所以A错;

2

讲座后问卷答题的正确率只有一个是80%,4个85%,剩下全部大于等于90%,所以讲座后

问卷答题的正确率的平均数大于85%,所以B对；

讲座前问卷答题的正确率更加分散，所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确

率的标准差，所以C错；

讲座后问卷答题的正确率的极差为100%—80%=20%,

讲座前问卷答题正确率的极差为95%—60%=35%>20%,所以D错.

故选:B

3.若z=l+i.则位+3泊=()

A.475B.472C.2^D.272

【答案】D

【解析】

【分析】根据复数代数形式的运算法则，共轨复数的概念以及复数模的计算公式即可求出.

【详解】因为z=l+i，所以iz+35=i（l+i）+3（l—i）=2—2i,所以

|iz+3z|=V4+4=2V2.

故选：D.

4.如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1,则该多面体的

体积为（）

A.8B.12C.16D.20

【答案】B

【解析】

【分析】由三视图还原几何体，再由棱柱的体积公式即可得解.

【详解】由三视图还原几何体，如图，

则该直四棱柱的体积V=——x2x2=12.

2

故选：B.

5,将函数/（x）=sin[0x+1]（0〉O）的图像向左平移1个单位长度后得到曲线C,若C

关于y轴对称，则。的最小值是（）

Illi

A.-B.—C.—D.-

6432

【答案】C

【解析】

Cf'lTT7T7T

【分析】先由平移求出曲线。的解析式，再结合对称性得一+—=—+br,左eZ,即可

232

求出。的最小值.

/JT\TT（f）JTIT

【详解】由题意知：曲线。为丁=5111%+—l+y=sin（（y%+—+y）,又。关于y

,.一匚r.CO71TC7111r

轴对标，则---1—=—Hki,keZ,

232

解得。=』+2左/eZ,又。＞0,故当k=0时，。的最小值为

33

故选：C.

6.从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上

的数字之积是4的倍数的概率为（）

1122

A.—B.—C.—D.一

5353

【答案】C

【解析】

【分析】先列举出所有情况，再从中挑出数字之积是4的倍数的情况，由古典概型求概率即

可.

【详解】从6张卡片中无放回抽取2张，共有

(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)

15种情况，

其中数字之积为4的倍数的有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,5),(4,6)6种情况，故概率为

6_2

155'

故选：C.

7.函数y=(3'-3一1cos尤在区间—与］的图象大致为()

【解析】

【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.

【详解】令/(x)=(3"—3*)cosx,xe—•—,

则/(-^)=(3"x-3')cos(-%)=-(3工一3T)cosx=-/(%),

所以/(X)为奇函数，排除BD；

又当时，3*—3T〉0,cosx〉0,所以/(力＞0,排除C.

故选：A.

b

8.当％=1时，函数/(%)=。1口%+—取得最大值—2,贝1」/'(2)=()

x

11

A.—1B.----C.—D.1

22

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意可知/(I)=-2,/'⑴=0即可解得。力，再根据尸(九)即可解出.

【详解】因为函数"％)定义域为(0,+。)，所以依题可知，/(I)=-2,尸⑴=0,而

r(x)=q_与,所以P=-2,a——=0,即a=_2力=_2,所以/■'(%)=_2+鼻,因

X-XXX

此函数/(%)在(0,1)上递增，在(L”)上递减，x=1时取最大值，满足题意，即有

r(2)=-i+；=j

故选：B.

9.在长方体ABCO-中，已知四。与平面A3CD和平面A&与3所成的角均为30。，

则()

A.AB^2ADB.AB与平面ABiG。所成的角为30。

C.AC=CB{D.用。与平面所成的角为

45°

【答案】D

【解析】

【分析】根据线面角的定义以及长方体的结构特征即可求出.

【详解】如图所示：

不妨设A3=a,AD="A&=c,依题以及长方体的结构特征可知，耳。与平面A3CD所

cb

成角为NB^DB,用。与平面441AB所成角为/。耳A,所以sin30。=与木=%大，即

D}L)D}U

b=c,B.D=2c=^Ja~+b2+c2，解得a=0c.

对于A,AB=a,AD=b,AB=A/5AD，A错误；

对于B,过B作5E_LA4于£,易知班1平面ABC]。，所以A3与平面做a。所成

角为NBAE,因为tanNR4E=£=Y2,所以/BAEw30°，B错误；

a2

222

对于C，AC=da+b?=也（3,CB1-yjb+c=Mc，ACwCB],C错误；

对于D,耳。与平面54cle所成角为NDBC,sinZDB,C=—=—=—,而

B.D2c2

0<ZD^C<90°,所以ZD4c=45°.D正确.

故选：D.

10.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2兀，侧面积分别为际和S乙，

体积分别为。和吃.若"=2,贝i]}=()

3乙V乙

A.75B.2V2c.710D.

4

【答案】C

【解析】

【分析】设母线长为/,甲圆锥底面半径为彳，乙圆锥底面圆半径为弓，根据圆锥的侧面积

公式可得4=2%,再结合圆心角之和可将分别用/表示，再利用勾股定理分别求出两

圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解.

【详解】解：设母线长为/,甲圆锥底面半径为(，乙圆锥底面圆半径为马,

则并署/2,

所以彳=2%,

又过+包=2»,

则二1，

所以4=|/,2=；/,

所以甲圆锥的高4=j/2—3/2=与,

乙圆锥的高％=J7—\/2=孚

1兀产h4广义逐

町九个与

所以Tio.

K12,

乙父丫24

93

故选：C.

2]

11.已知椭圆c：J+去=1（。〉6〉0）的离心率为§,4,4分别为c的左、右顶点，B

a

为C的上顶点.若明.砥=—1,则C的方程为（

22R炉十9722

A九y1

A.----1-----=1D.---H------1C.土+乙=1D.

18169832

2

—X+V2=11

2

【答案】B

【解析】

【分析】根据离心率及珂・丽=-1,解得关于的等量关系式，即可得解.

【详解】解：因为离心率e=£K解得》[T二

a

A，4分别为c左右顶点，则4（—0）,4（。,0）,

B为上顶点，所以3（0,。）.

所以珂=（—。，―份,砥=（。,—5）,因为珂•砥=—1

Q

所以—/+〃=—1，将代入，解得/=9/2=8,

22

故椭圆的方程为三+乙=1.

98

故选：B.

12.已知9'"=10,a=10"'—11,>=8"'—9,则（）

A.a>0>bB.a>b>0C.b>a>QD.

b>Q>a

【答案】A

【解析】

【分析】根据指对互化以及对数函数的单调性即可知加=1。891。＞1，再利用基本不等式,

换底公式可得加>ign,iog89>根，然后由指数函数的单调性即可解出.

【详解】由9"'=10可得〃，=1。8910=怨〉1，而

1g9

lg91gli<[g9；gn]=[等]<i=(igioy,所以需〉黑，即机>ign,所

以。=10"'—11〉10电”-11=0.

又Ig81gio<[lg8；gl。)=僵2)<0g9)2,所以皆>■,Bplog89>m,

所以b=8"'—9<8”曲9—9=0.综上，a>0>b.

故选：A.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知向量彳=(加,3),5=(1,加+1).若£_1心，则加=.

3

【答案】一—##-0.75

4

【解析】

【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可.

一3

【详解】由题意知：a-b=m+3(m+1)=0,解得m=—.

4

3

故答案为：-

4

14.设点M在直线2x+y—1=。上，点(3,0)和(0,1)均在O/上，则的方程为

【答案】(x-l)2+(y+l)2=5

【解析】

【分析】设出点M的坐标，利用(3,0)和(0,1)均在OM上，求得圆心及半径，即可得圆的

方程.

【详解】解：回点M在直线2x+y—1=0上，

团设点M为(«,l-2a),又因为点(3,0)和(0,1)均在0M上，

团点M到两点的距离相等且为半径R,

07(«-3)2+(1-2«)2=M+(-2a)2=R，

a2—6a+9+4«2—4a+1=5«2>解得a—\,

0M(1,-1),R=^

QM的方程为(1)2+(y+1)2=5.

故答案为：(x-l)2+(y+l)2=5

22

15.记双曲线C:鼻-1=1（。＞0力＞0）的离心率为e,写出满足条件“直线y=2元与C无公

ab

共点''的e的一个值______________.

【答案】2（满足皆可）

【解析】

bb

【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线y=±—x中0（一〈2即可求得满足要求的e

aa

值.

22Z_

【详解】解：C:二-口=1（。＞0力＞0）,所以C的渐近线方程为丁=土一X,

a"ba

bh2

结合渐近线的特点，只需0〈一＜2,即勺＜4,

aa

可满足条件"直线y=2%与c无公共点"

所以e=£=Jl+—＜J1+4=5/5，

a\a~

又因为e＞l,所以l＜eV6，

故答案为：2（满足1＜小有皆可）

16.已知AABC中，点。在边BC上，ZADB=12Q°,AD=2,CD=2BD.当——取得最

AB

小值时，BD=.

【答案】6-1##-1+石

【解析】

Ar2

【分析】设CD=28D=2m＞0,利用余弦定理表示出丝—后，结合基本不等式即可得

AB2

解.

【详解】设CD=2BD=2m＞0,

则在△AB。中，AB2=BD2+AD2-2BDADcosZADB=m2+4+2m，

在AAC£>中，AC2=CD2+AD2-2CD-ADcosZADC=4m2+4-4m,

4(m2+4+2m)-12(l+m)

AC24m2+4—4m“12

=4-----------

所以至7―功2+4+2〃m2+4+2m

(m+l)+----

I7m+1

>4——.=4-2A/3

+3

V7m+1